湖南省長沙市長沙大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知兩個非零向量與的夾角為，我們把數(shù)量叫作向量與的叉乘的模，記作，即.若向量，，則（）A. B.10 C. D.23.已知函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.下圖為抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點(diǎn)A處測得其頂點(diǎn)P的仰角為45°、點(diǎn)B處測得其頂點(diǎn)P的仰角為30°，若米，且，則解放碑的高度為（）A.米 B.55米 C.米 D.米5.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6.若對任意正實數(shù)都有，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與、及的中點(diǎn)重合），矩形內(nèi)接于扇形，且．，設(shè)矩形的面積與的關(guān)系為，則最大值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)滿足.點(diǎn)與關(guān)于軸對稱.則復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.10.在棱長為正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.無論點(diǎn)在線段的什么位置，三棱錐的體積為定值B.無論點(diǎn)在線段的什么位置，都有C.當(dāng)時，與異面D.若直線與平面所成的角為，則的最大值為11.通過等式（，）我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實上，由這個等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x（，），則b為x的函數(shù)，記為，下列關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的值為0三、填空題12.2024年10月21日，第52個梅森素數(shù)被發(fā)現(xiàn)，這也是迄今為止發(fā)現(xiàn)最大素數(shù).集合以這52個梅森素數(shù)為元素，其非空真子集有________個.13.如圖，四邊形的頂點(diǎn)都在圓上，且經(jīng)過圓的圓心，若圓的半徑為，，四邊形的面積為，則______．14設(shè)函數(shù)，若恰有個零點(diǎn)，.則下述結(jié)論中:①若恒成立，則的值有且僅有個；②在上單調(diào)遞增；③存在和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個解”的必要條件.所有正確結(jié)論的編號是______________；四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍．16.已知復(fù)數(shù)，其中，虛數(shù)單位.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）定義，是否存在，使得?若存在，求出；若不存在，說明理由.17.某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，為長方形薄板，沿折疊后，交于點(diǎn)，當(dāng)凹多邊形的面積最大時制冷效果最好．（1）設(shè)米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；（2）若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬?18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，.（1）求，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，將中的項按原有順序依次插入到數(shù)列中，使與之間插入2項，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項的和.19.布洛卡點(diǎn)是三角形內(nèi)部的一特殊的點(diǎn)，由法國數(shù)學(xué)家亨利·布洛卡于19世紀(jì)提出，它通過等角條件聯(lián)系三角形邊與頂點(diǎn)，其角度和位置揭示了三角形的對稱性與比例特性，是經(jīng)典幾何學(xué)中兼具美學(xué)與實用價值的點(diǎn)．其定義如下：設(shè)P是內(nèi)一點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，角θ為△ABC的布洛卡角．如圖，在△ABC中