廣東省汕頭金山中學(xué)2011屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)理）

廣東省汕頭金山中學(xué)2011屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)理）一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，若存在實(shí)數(shù)a和b，使得f(a)+f(b)=0，則a+b的值為（）A.0B.1C.-1D.22.設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x^2-ax+1，若存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)=0，則a的取值范圍是（）A.a≥1B.a<1C.a>1D.a≤1二、填空題要求：把答案填在題中的橫線上。3.函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1在x=1處的切線斜率為_(kāi)_____。4.若函數(shù)g(x)=x^2+ax+b的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a^2-4b的取值范圍是______。三、解答題要求：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。5.（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an^2+an（n∈N*），求證：數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的。（2）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱中心。6.（1）已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+1，若存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)=0，求a的取值范圍。（2）已知函數(shù)g(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求函數(shù)g(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。四、解答題要求：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。7.（1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=15，S10=50，求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d。（2）已知函數(shù)f(x)=x^2-2kx+1，若存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)=0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。五、證明題要求：證明下列各題8.證明：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有x^3+3x≥0。六、應(yīng)用題要求：根據(jù)題目給出的條件，解答下列各題9.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別在x=-1和x=3處，求函數(shù)的解析式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.0解析：由題意知，f(a)+f(b)=a^3-3a+b^3-3b=0，即(a+b)(a^2-ab+b^2)-3(a+b)=0，化簡(jiǎn)得(a+b)(a^2-ab+b^2-3)=0。由于a^2-ab+b^2≥0，所以a+b=0。2.B.a<1解析：由題意知，x^2-ax+1=0有實(shí)數(shù)解，所以判別式Δ=a^2-4≥0，解得a≤-2或a≥2。又因?yàn)閍>0，所以a的取值范圍是a<1。二、填空題3.3解析：函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=6x^2-6x+4，代入x=1得f'(1)=6-6+4=4，所以切線斜率為4。4.(0,+∞)解析：由題意知，x^2+ax+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以判別式Δ=a^2-4b>0，解得b<a^2/4。由于a^2≥0，所以a^2-4b>0，即a^2-4b的取值范圍是(0,+∞)。三、解答題5.（1）證明：解析：由數(shù)列的定義知，a2=a1^2+a1=1+1=2，a3=a2^2+a2=2^2+2=6，以此類推，可得an+1-an=an^2≥0。因此，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的。（2）解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x=-1時(shí)，f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2；當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=1^3-3(1)=-2。所以對(duì)稱中心為(-1,2)。6.（1）解析：由題意知，x^2-2kx+1=0有實(shí)數(shù)解，所以判別式Δ=4k^2-4≥0，解得k≤-1或k≥1。（2）解析：函數(shù)g(x)=2x^3-3x^2+4x-1的導(dǎo)數(shù)為g'(x)=6x^2-6x+4，令g'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x=-1時(shí)，g(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+4(-1)-1=-7；當(dāng)x=1時(shí)，g(1)=2(1)^3-3(1)^2+4(1)-1=2。由于g(x)在x=-1處取得極小值，在x=1處取得極大值，所以g(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。四、解答題7.（1）解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，S5=5a1+10d=15，S10=10a1+45d=50。聯(lián)立方程組解得a1=1，d=1。（2）解析：由題意知，x^2-2kx+1=0有實(shí)數(shù)解，所以判別式Δ=4k^2-4≥0，解得k≤-1或k≥1。五、證明題8.證明：解析：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有x^3+3x=x(x^2+3)≥0。當(dāng)x=0時(shí)，等式成立；當(dāng)x≠0時(shí)，由于x^2+3>0，所以x(x^2+3)≥0，即x^3+3x≥0。六、應(yīng)用題9.解析：由題意知，函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別在x=-1和x=3處，所以函數(shù)的解析式