2025年考研數(shù)學(xué)（三）線性代數(shù)與概率歷年真題精講試卷

2025年考研數(shù)學(xué)（三）線性代數(shù)與概率歷年真題精講試卷一、線性代數(shù)要求：本部分主要考察線性代數(shù)的基本概念、線性方程組、向量空間、線性變換等知識(shí)。1.設(shè)矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式和逆矩陣。2.已知向量組$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}$，證明向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性相關(guān)。二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)要求：本部分主要考察概率論的基本概念、隨機(jī)變量及其分布、大數(shù)定律、中心極限定理等知識(shí)。3.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，求$P\{X=2\}$。4.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，$X$服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，$Y$服從參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量$Z=X+Y$的分布函數(shù)。5.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$n$和$p$的二項(xiàng)分布，求$P\{X=k\}$的最大值所對(duì)應(yīng)的$k$值。6.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\mu$和$\sigma^2$的正態(tài)分布，求$P\{X>\mu+2\sigma\}$。四、線性方程組要求：本部分主要考察線性方程組的解法、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)以及非齊次線性方程組的解的存在性等知識(shí)。7.解線性方程組$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+y+3z=2\\-x+y-2z=0\end{cases}$。8.判斷下列線性方程組是否有解，若存在解，求出其通解：$\begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+2z=2\\3x+y+3z=3\end{cases}$。9.設(shè)線性方程組$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$，求系數(shù)矩陣$\boldsymbol{A}$的秩，并判斷方程組是否有解。五、向量空間要求：本部分主要考察向量空間的基本概念、基、維數(shù)、子空間等知識(shí)。10.設(shè)向量組$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，求向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$的極大線性無關(guān)組，并求該組所構(gòu)成的子空間的維數(shù)。11.設(shè)向量空間$V$的基為$\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$，其中$\boldsymbol{\beta}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_3=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}$，求向量$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$在基$\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$下的坐標(biāo)。12.設(shè)向量空間$V$是由$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$生成的，求$V$的維數(shù)和基。六、線性變換要求：本部分主要考察線性變換的概念、線性變換的性質(zhì)、線性變換的矩陣表示等知識(shí)。13.設(shè)線性變換$T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$，由$T(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_2$，$T(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_3$，$T(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_1$定義，求線性變換$T$的矩陣表示。14.設(shè)線性變換$T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$，由$T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$定義，其中$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$T$的核和像。15.設(shè)線性變換$T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$，由$T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$定義，其中$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，求$T$的特征值和特征向量。本次試卷答案如下：一、線性代數(shù)1.解：矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式為$1\cdot4-2\cdot3=-2$。由于行列式不為零，矩陣$\boldsymbol{A}$可逆，其逆矩陣為$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。2.解：由于$\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_3=3\boldsymbol{\alpha}_1$，所以向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性相關(guān)。二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.解：$P\{X=2\}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2}$。4.解：由于$X$和$Y$相互獨(dú)立，$Z=X+Y$的分布函數(shù)為$F_Z(z)=P\{Z\leqz\}=P\{X\leqz,Y\leqz\}=P\{X\leqz\}P\{Y\leqz\}=F_X(z)F_Y(z)$，其中$F_X(z)$和$F_Y(z)$分別是$X$和$Y$的分布函數(shù)。5.解：$P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，求導(dǎo)得$P\{X=k\}'=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}(1-kp)$，令$P\{X=k\}'=0$，解得$k=\frac{n}{p}$。6.解：$P\{X>\mu+2\sigma\}=1-P\{X\leq\mu+2\sigma\}=1-\Phi\left(\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(2)$，其中$\Phi$是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。四、線性方程組7.解：將方程組寫成增廣矩陣形式，進(jìn)行行變換：$$\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\2&1&3&2\\-1&1&-2&0\end{bmatrix}\xrightarrow[r_2-2r_1]{r_3+r_1}\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&5&0\\0&3&-1&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_3+r_2]{r_1+r_2}\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$得到方程組的解為$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$，$x_3=1$。8.解：由于系數(shù)矩陣的秩為$3$，而增廣矩陣的秩也為$3$，所以方程組有解。將增廣矩陣進(jìn)行行變換：$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&1&2&2\\3&1&3&3\end{bmatrix}\xrightarrow[r_2-2r_1]{r_3-3r_1}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$得到方程組的通解為$x_1=1+t$，$x_2=t$，$x_3=s$，其中$t$和$s$是任意常數(shù)。9.解：系數(shù)矩陣$\boldsymbol{A}$的秩為$2$，由于增廣矩陣的秩也為$2$，所以方程組有解。五、向量空間10.解：向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性相關(guān)，因此$\boldsymbol{\alpha}_2$和$\boldsymbol{\alpha}_3$可以由$\boldsymbol{\alpha}_1$線性表示。設(shè)$\boldsymbol{\alpha}_2=c_1\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_3=c_2\boldsymbol{\alpha}_1$，解得$c_1=2$，$c_2=3$，所以$\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_3=3\boldsymbol{\alpha}_1$。因此，極大線性無關(guān)組為$\{\boldsymbol{\alpha}_1\}$，該組所構(gòu)成的子空間的維數(shù)為$1$。11.解：設(shè)$\boldsymbol{\gamma}=c_1\boldsymbol{\beta}_1+c_2\boldsymbol{\beta}_2+c_3\boldsymbol{\beta}_3$，解得$c_1=2$，$c_2=3$，$c_3=4$，所以$\boldsymbol{\gamma}=2\boldsymbol{\beta}_1+3\boldsymbol{\beta}_2+4\boldsymbol{\beta}_3$。12.解：向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性無關(guān)，因此$V$的維數(shù)為$3$。基為$\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\}$。六、線性變換13.解：線性變換$T$的矩陣表示為$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}$。14.解：線性變換$T$的核為$\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\midA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}$，即$\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2