2024北京二十中高三10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京二十中高三10月月考數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟榕己瘮?shù)的是（）A. B. C. D.4.已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，若，，，則a，b，c從小到大排序是（）A. B. C. D.6.的值可以為（）A.?8 B. C.8 D.97.在中，，，，若滿(mǎn)足條件的有2個(gè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，，，且在且單調(diào)，則的最大值為（）A.7 B.9 C.11 D.139.設(shè)an為等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退：心似平原跑馬，易放難收”（明：《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專(zhuān)心學(xué)習(xí)的．假設(shè)初始值為1，如果每天的“進(jìn)步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“進(jìn)步者”是“退步者”的倍．照此計(jì)算，大約經(jīng)過(guò)（）天“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A.35 B.37 C.38 D.39二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)=的定義域是_________.12.等差數(shù)列中，若為的前項(xiàng)和，則______．13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則______；______．14.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得，，，，則，兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_____.15.已知函數(shù)，（?。┤粼谏蠁握{(diào)，則的取值范圍是_______；（ⅱ）若對(duì)任意的，，則的最大值為_(kāi)_____．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出相應(yīng)文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．17.已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．18.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值.19.在中，已知，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使得存在，并解答下列問(wèn)題：（1）求的大??；（2）求和的值．條件①：；條件②：；條件③：．20.設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）已知函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．21.已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個(gè)數(shù).（1）若，求集合和，以及的值；（2）給定正整數(shù)n，集合，對(duì)于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合①求證：；②求的最小值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】D【分析】根據(jù)并集的概念，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：D.2.【答案】B【分析】根據(jù)乘法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，可知?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3.【答案】C【分析】對(duì)于A：根據(jù)余弦函數(shù)值域分析判斷；對(duì)于BD：代值結(jié)合偶函數(shù)定義分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)偶函數(shù)定義以及二次函數(shù)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，即，可知不為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，可知的定義域?yàn)镽，且，可知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知的值域?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D：令，則，即，可知?x不為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C.4.【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷AC；對(duì)于BD：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】對(duì)于AC：因?yàn)?，且、均在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，則，，故A錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于BD：例如，則，，故BD錯(cuò)誤；故選：C.5.【答案】A【分析】直接代入計(jì)算即可得結(jié)論.【詳解】由題可知：，，，由函數(shù)在定義域中是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以.故選：A.6.【答案】B【分析】分，兩種情況求得的取值范圍，可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為.故選：B.7.【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形解的個(gè)數(shù)，即可列式求解.【詳解】根據(jù)正弦定理，，則，若滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)，則，解得，所以的取值范圍是.故選：D.8.【答案】C【分析】由題意可得是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而可得，，計(jì)算可得或，結(jié)合在單調(diào)，可得結(jié)論.【詳解】函數(shù)，所以，所以①，又，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以②，由①②可得，又因?yàn)?，所以，且或，又函?shù)的最小正周期，又在單調(diào)，所以，所以，所以的最大值為.故選：C.9.【答案】C【分析】根據(jù)充分、必要條件、等比數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，，所以，所以，因?yàn)?，解得，又，?shù)列，所以“對(duì)于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的充分條件；因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以數(shù)列為等比數(shù)列，又遞減數(shù)列”，則可得，所以，所以“對(duì)于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要條件；所以“對(duì)于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的充要條件.故選：C.10.【答案】A【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】假設(shè)經(jīng)過(guò)天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍，列方程得，解得，即經(jīng)過(guò)約35天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍．故選：A．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【詳解】∵函數(shù)=∴要使函數(shù)有意義，則∴∴函數(shù)=的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?2.【答案】【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)得，再由求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知，則，所心.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】利用函數(shù)圖象求得周期，可求得，進(jìn)而利用函數(shù)過(guò)點(diǎn)，可求得進(jìn)而驗(yàn)證可得結(jié)論.【詳解】由圖象可得周期為，所以，解得，所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，又，所以或，當(dāng)，，是函數(shù)的圖象向左移動(dòng)而得，符合題意；當(dāng)，，是函數(shù)的圖象向左移動(dòng)而得，與圖象不符合，故舍去.所以；.故答案為：；.14.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得各個(gè)角度，即可得AD長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理，可得BD長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解?故答案為：15.【答案】①.；②..【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）分類(lèi)討論可得，進(jìn)而利用已知可得，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】（i）由，得，當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，則恒成立，即在上恒成立，所以，當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，則恒成立，即在上恒成立，所以，所以的取值范圍是.（ii）因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.所以的最大值為.故答案為：（i）；（ii）.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)變量差的最大值問(wèn)題，通過(guò)不等式恒成立，找到兩個(gè)變量之間的關(guān)系是關(guān)鍵，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值處理即可.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出相應(yīng)文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，則，所以.17.【答案】（1）（2）和【分析】（1）整理可得，結(jié)合最小正周期求的值；（2）由（1）可知：，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，設(shè)的最小正周期為，由題意可知：，即，且，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，因?yàn)?，則，且在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，令，，解得，，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.18.【答案】（1）（2）函數(shù)的最大值為2，最小值【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)和切線(xiàn)斜率，即可得切線(xiàn)方程；（2）根據(jù)求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率為，所以切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，且，則，令，則，解得；令，則，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且，所以函?shù)的最大值為2，最小值.19.【答案】（1）答案見(jiàn)詳解（2）答案見(jiàn)詳解【分析】（1）若選擇①②：利用正弦定理可得，結(jié)合可知，則，即可得結(jié)果；若選擇①③：由正弦定理可得，由可知，即可得結(jié)果；若選②③：根據(jù)三角形的性質(zhì)分析得出矛盾；（2）由（1）可知：不能選②③.只能選擇①②或選擇①③，利用同角三角關(guān)系以及兩角和差公式求，再利用正弦定理求的值.【小問(wèn)1詳解】若選擇①②：，，在中，由正弦定理得．因?yàn)?，即，可知，所以；若選擇①③：，，在中，因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫谥校?，即，可知，所以；若選②③：，，因?yàn)?，即，可知；又因?yàn)?，即，可知；兩者相矛盾，故不成?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：不能選②③.若選擇①②：在中，，即，可知，且，可得，則，可知，則，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以；選擇①③：在中，，即，可知，且，可得，則，且，可得，又因?yàn)?，則，由正弦定理可得．20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)后可得實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性，進(jìn)而可證得；（Ⅲ）令得，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，整理得對(duì)任意的恒成立，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則，，則，，，所以，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）由，得，設(shè)函數(shù)，，則，令，得．隨著變化，與的變化情況如下表所示：極大值所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因?yàn)?，，，且，如下圖所示：所以，當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同解，因此，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查推理能力與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.21.【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①見(jiàn)解析；②【分析】（1）直接根據(jù)定義求解即可；（2）①分若A∪B中含有一個(gè)不在S中的元素和，且，兩種情況討論即可，當(dāng)，且時(shí)，可通過(guò)得證；②結(jié)合①知，討論若，