第7講函數(shù)的性質(zhì)（學(xué)生版）

第7講函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性的圖形趨勢(shì)（從左往右）上升趨勢(shì)下降趨勢(shì)2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【注意】（1）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，故單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)．（2）單調(diào)區(qū)間D?定義域I.（3）遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；（4）單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“∪”，可以用“和”來(lái)表示；3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)簡(jiǎn)記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡(jiǎn)稱(chēng)“同增異減”．知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論（4）奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．（5）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性1、關(guān)于線對(duì)稱(chēng)2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【解題方法總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型④常數(shù)函數(shù)3、函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系4、對(duì)稱(chēng)性技巧5、周期性技巧題型歸納【題型一】函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用A． B． C．0 D．1

【題型二】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．A． B． C． D．【題型三】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值方法技巧：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件A．有最大值2，無(wú)最小值 B．無(wú)最大值，有最小值0C．無(wú)最大值，無(wú)最小值 D．無(wú)最大值，有最小值1【題型四】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍方法技巧：若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．【題型五】 基本初等函數(shù)的單調(diào)性方法技巧：1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型六】 函數(shù)的奇偶性的判斷與證明方法技巧：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性．21．（2425高二下·云南保山·期中）為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開(kāi)展利用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象的一部分設(shè)計(jì)了如圖的，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（

）22．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（

）【題型七】 已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)A．0 B．1 C． D．2A． B． C．4 D．6A．4 B．3 C．2 D．1【題型八】 已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值方法技巧：抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式A． B．2 C．0 D．【題型九】 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性A．0 B．2025 C．2024 D．2A．1 B．2 C．3 D．4A． B． C．0 D．1A． B． C． D．【題型十】 函數(shù)性質(zhì)的綜合方法技巧：（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其