《數(shù)值分析積分上》PPT課件

1、第七章,數(shù)值積分與微分（上）,第七章目錄,1數(shù)值積分的基本概念1.1構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想1.2代數(shù)精度1.3插值型求積公式2牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式2.1牛頓一柯特斯公式2.2幾種低價N-C求積公式的余項2.3牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂性3復(fù)化求積公式3.1復(fù)化梯形公式3.2復(fù)化Simpson公式與復(fù)化Cotes公式,第七章目錄,4變步長方法（逐次分半算法）4.1梯形公式的逐次分半算法4.2Simpson公式的逐次分半算法5龍貝格（Romberg）求積公式5.1外推法5.2Romberg求積公式6高斯（Gauss）型求積公式7數(shù)值微分,序(1),計算定積分的值是經(jīng)

2、常遇到的一個問題，由微積分理論知道：只要求出f(x)的一個原函數(shù)F(x)，就可以利用牛頓萊布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定積分值：,但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實際使用上述求積分方法時，往往會遇到下面情況：,1.函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式，只有一些由實驗測試數(shù)據(jù)形成的表格或圖形。,序(2),3.f(x)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。,2.f(x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如：,由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計算方法，進而建立起上機計算定積分的算法，此外，數(shù)值積分也是研究微分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。,同樣，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，也有類似的問題，

3、需要研究數(shù)值微分方法。,1數(shù)值積分的基本概念,1.1構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想,定積分I=abf(x)dx在幾何上為x=a,x=b,y=0和y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。定積分計算之所以困難，就在于這個曲邊梯形中有一條邊y=f(x)是曲邊，而不是規(guī)則圖形。由積分中值定理，對連續(xù)函數(shù)f(x)，在區(qū)間a,b內(nèi)至少存在一點，使：,也就是說，曲邊梯形的面積I恰好等于底為（b-a），高為f()的規(guī)則圖形矩形的面積（圖7-1），f()為曲邊梯形的平均高度，然而點的具體位置一般是不知道的，因此難以準(zhǔn)確地求出f()的值。但是，由此可以得到這樣的啟發(fā)，只要能對平均高度f()提供一種近似算法，便可以相應(yīng)地得

4、到一種數(shù)值求積公式。,構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)）,如，用兩端點的函數(shù)值f(a)與f(b)取算術(shù)平均值作為平均高度f()的近似值，這樣可導(dǎo)出求積公式：,更一般地，可以在區(qū)間a,b上適當(dāng)選取某些點xk(k=0,1,n)，然后用f(xk)的加權(quán)平均值近似地表示f()，這樣得到一般的求積公式：,其中，點xk稱為求積節(jié)點，系數(shù)Ak稱為求積系數(shù)，Ak僅僅與節(jié)點xk的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)f(x)的具體形式，即xk決定了，Ak也就相應(yīng)的決定了。,構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)1）,回顧定積分的定義，積分值I是和式的極限：,其中xk是a,b的每一個分割小區(qū)間的長度，它與f(x)無關(guān)，去掉極限，由此

5、得到近似計算公式：,因此，式（7-1）可作為一般的求積公式，其特點是將積分問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)的困難，適合于函數(shù)給出時計算積分，也非常便于設(shè)計算法。便于上機計算。求積公式（7-1）的截斷誤差為：,Rn也稱為積分余項。,1.2代數(shù)精度,數(shù)值積分是一種近似方法，但其中有的公式能對較多的函數(shù)準(zhǔn)確成立，而有的公式只對較少的函數(shù)準(zhǔn)確成立。為了反映數(shù)值積分公式在這方面的差別，引入代數(shù)精度的概念。,定義1,如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于m的多項式都精確成立，而至少對一個m+1次多項式不精確成，則稱該公式具有m次代數(shù)精度。,一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好

6、。為了便于應(yīng)用，由定義1容易得到下面定理。,定理1,一個求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對1,x,x2,xm精確成立，而對xm+1不精確成立。,代數(shù)精度(續(xù)1）,試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。,例1,同理可證明矩形公式的代數(shù)精度也是一次的,代數(shù)精度（續(xù)2）,上述過程表明，可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公式。例如，對于求積公式（7-1），若事先選定一組求積節(jié)點xk(k=0,1,n,)，xk可以選為等距點，也可以選為非等距點，則可令公式對f(x)=1,x,xn精確成立，即得：,這是關(guān)于A0、A1、An的線性方程組，系數(shù)行列式為范德蒙行列式，其值不等于零，故方程組存在唯一的一

7、組解。求解該方程組即可確定求積系數(shù)Ak，所得到的求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度。,代數(shù)精度舉例,例2,確定求積公式,使其具有盡可能高的代數(shù)精度。,解求積公式中含有三個待定參數(shù)，可假定近似式（7-3）的代數(shù)精度為m=2，則當(dāng)f(x)=1，x，x2時，式（7-3）應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：,代回去可得：,公式（7-4）不僅對特殊的次數(shù)不高于3次的多項式f(x)=1,x,x2,x3準(zhǔn)確成立，而且對任意次數(shù)不高于3次的多項式,a0+a1x+a2x2+a2x3（f(x)=1,x,x2,x3的線性組合）也準(zhǔn)確成立，事實上，令R(f)表式（7-4）的截斷誤差：,檢查（7-4）對m=3是否成立，為此，令f(x

8、)=x3代入（7-4），此時左邊。,再檢查（7-4）對m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此時:,因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為m=3.,代數(shù)精度舉例（續(xù)1）,由于對任意的常數(shù),和函數(shù)f(x)，g(x)成立:,這表明，誤差對f(x)=1,x,x2,x3準(zhǔn)確成立，則對它們的任意線性組合a0+a1x+a2x2+a3x3也準(zhǔn)確成立，所以通常檢查一個求積公式是否具有m次代數(shù)精度，只需檢查對f(x)=1,x,xm是否準(zhǔn)確成立即可。,上述方法稱為待定系數(shù)法！,代數(shù)精度舉例（續(xù)2）,待定系數(shù)法注釋,注1：由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計式，只能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準(zhǔn)

9、確程度。,注2：因此，希望由待定系數(shù)法確定的求積公式的代數(shù)精度越高越好，通常的方法是要確定n+1個待定系數(shù)?？稍O(shè)求積公式具有n次代數(shù)精度，去建立n+1個方程求解，否則的話，只設(shè)其具有0次代數(shù)精度，建立1個方程也可以求出n+1個待定參數(shù).,上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。,1.3插值型求積公式,其中l(wèi)k(x)為插值基函數(shù)。取f(x)Ln(x)，則有：,記：,則有：,設(shè)給定一組節(jié)點ax0x1xn-1xnb，且已知f(x)在這些節(jié)點上的函數(shù)值，則可求得f(x)的拉格朗日插值多項式：,插值型求積公式（續(xù)）,這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式

10、稱為插值型求積公式。,根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為：,其中a,b且與x有關(guān)。在插值中，因f(x)不知道，所以無法估計插值誤差。而在這里，f(x)作為被積函數(shù)，式（7-6）卻可以用于估計積分的誤差。,插值型求積公式代數(shù)精度定理,關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。,具有n+1個節(jié)點的數(shù)值求積公式（7-1）是插值型求積公式的充分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。,定理2,證：(充分性)設(shè)求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度，那么，由于插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,n)均是次數(shù)為n的多項式，故式（7-1）對li(x)精確成立，即:,定理2（續(xù)）,(必要性)設(shè)求積公式（

11、7-1）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于n的多項式f(x)，按（7-6）其求積余項Rn=0，即公式是精確成立的。由定義1知求積公式至少具有n次代數(shù)精度。（證畢）,定理2說明，當(dāng)求積公式（7-1）選定求積節(jié)點xk后，確定求積系數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程組（7-2）或者計算積分（7-5）。由此得到的求積公式都是插值型的，其代數(shù)精度均不小于n次。,插值型求積公式舉例,例3,考察求積公式：,具有幾次代數(shù)精度。,此例說明三個節(jié)點的求積公式不一定具有二次數(shù)精度，其原因是此求積公式不是插值型的。,2牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式,本節(jié)介紹求積節(jié)點等距分布時的插值型求積公式，即牛頓一

12、柯特斯（Newton-Cotes）公式。,2.1牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式,設(shè)將積分區(qū)間a,b劃分為n等分，步長h=(b-a)/n，求積節(jié)點取為xk=a+kh(k=0,1,n)，由此構(gòu)造插值型求積公式，則其求積系數(shù)為:,牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)）,稱之為n階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式簡記為N-C公式，稱為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間a,b無關(guān)，且為多項式積分，其值可以事先求出備用。表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。,記：,柯特斯系數(shù),表7-1,牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)1）,經(jīng)計算或查表

13、得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對應(yīng)的牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,當(dāng)n=1時，按公式（7-7）有：,得求積公式：,即為梯形公式,相應(yīng)的求積公式：,稱為辛卜生（Simpson）公式。,牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)2）,所以柯特斯公式是：,當(dāng)n=4時，所得的公式稱作柯特斯公式，它有五個節(jié)點，其系數(shù)：,柯特斯系數(shù)的性質(zhì),1、與積分區(qū)間無關(guān)：當(dāng)n確定后，其系數(shù)和都等于1，即：,2、對稱性：,此特性由表7-1很容易看出，現(xiàn)就一般情況證明之。,3、柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的。從表7-1可以看出當(dāng)n=8時，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，在實際計算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計，從而

14、牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此實際計算中不用高階的牛頓一柯特斯公式。,柯特斯系數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）,2n階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。,一般地，由n次插值多項式導(dǎo)出的n次牛頓一柯特斯公式至少具有n次代數(shù)精度，更進一步有以下結(jié)論：,定理3,（證明見下屏）,N為偶時的?？鹿降拇鷶?shù)精度證明,上式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，故積分值為0，即：,所以2n階N-C公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。,N-C公式應(yīng)用舉例,例4,驗證辛卜生（Simpson）公式:,具有三次代數(shù)精度。,解：由定理2,辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精度,因此只需檢查對f(x)=x3

15、成立否。當(dāng)f(x)=x3時：,所以I=S，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項式準(zhǔn)確成立，用同樣的方法可以驗證對于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達到三次。在幾種低階N-C公式中，感興趣的是梯形公式（最簡單，最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。,N-C公式應(yīng)用舉例（續(xù)）,例5,解：由梯形公式（7-9）得：,由辛卜生公式（7-10）得：,由柯特斯公式（7-11）得：,事實上，積分的精確值：,分別用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算積分：,與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差，只有兩位

16、有效數(shù)字。,2.2幾種低價N-C求積公式的余項,1.考察梯形公式，按余項公式（7-6），梯形公式（7-9）的余項為：,這里被積函數(shù)中的因子(xa)(xb)在區(qū)間a,b上不變號（非正），故由積分中值定理，在a,b內(nèi)至少存在一點，使：,2.對于辛卜生公式，為得到其誤差估計式，在a,b區(qū)間上構(gòu)造三次多項式H(x)，讓H(x)滿足插值條件（帶導(dǎo)數(shù)插值）：,（緊接下屏）,辛卜生公式誤差估計式的推導(dǎo),而辛卜生公式至少具有三次代數(shù)精度，因此對上述三次多項式H(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：,其插值余項為：,因此，辛卜生公式的誤差就是對上述誤差公式的積分：,3.柯特斯公式（6-10）的余項為：,辛卜生公式誤差估計式的

17、推導(dǎo)（續(xù)）,2.3牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂性,根據(jù)定理2，牛頓一柯特斯公式（6-7）對f(x)=1精確成立，即：,由此可得：,下面來分析f(xk)的誤差對數(shù)值求積結(jié)果的影響。設(shè)f(xk)有誤差k，并設(shè):,則由此引起的計算誤差為：,牛頓一柯公式的穩(wěn)定性和收斂性（續(xù)）,關(guān)于收斂性可以證明，并非對一切連續(xù)函數(shù)f(x)，都有：，,也就是說牛頓柯特斯公式的收斂性沒有保證。因此，在實際計算中，一般不采用高階(n8)的牛頓柯特斯公式。,在實驗計算中常用的就是以上三種低階的N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這些求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當(dāng)n8時

18、，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式，事實上，增加節(jié)點，從插值的角度出發(fā)，必然會提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點時，考慮對被積函數(shù)用分段低次多項式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。,3復(fù)化求積公式,3.1復(fù)化梯形公式,用分段線性插值函數(shù)近似被積函數(shù)，等于把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積，即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值。如圖7-2所示，這樣求得的近似值顯然比用梯形公式計算高。定積分存在定理表明，只要被積函數(shù)連續(xù)，當(dāng)小區(qū)間長度趨于零時，小梯形面積之和趨于曲邊

19、梯形面積的準(zhǔn)確值，即定積分的準(zhǔn)確值。,復(fù)化梯形公式,它實際上就是用定積分定義計算積分，經(jīng)等分區(qū)間，在每個小區(qū)間上以直線近似替代曲頂（線）然后求知，略掉無限細(xì)分區(qū)間（求極限）這一步而得到的近似值。,式（7-15）稱為復(fù)化梯形公式。,復(fù)化梯形公式的截斷誤差,因為f(x)在a,b連續(xù)，由介值定理，存在(a,b)，使得：,從而有：,這就是復(fù)化梯形公式的截斷誤差。,復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性討論,下面簡單討論復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性。設(shè)計算函數(shù)值f(xk)時產(chǎn)生誤差為k(k=0,1,n)，則用式（7-15）計算結(jié)果的誤差為：,因此，無論n為多大，復(fù)化梯形公式是數(shù)值穩(wěn)定的。,3.2復(fù)化Simpson公式和復(fù)

20、化Cotes公式,如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson公式計算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化Simpson公式。,整理后得到：,式（7-17）稱為復(fù)化Simpson公式。,（緊接下屏）,復(fù)化Simpson公式的截斷誤差,如果f(x)C(4)a,b，由式（7-13）可得復(fù)化Simpson公式的截斷誤差為：,因為f(4)(x)連續(xù)，故存在(a,b)，使得：,式（7-18）表明，步長h越小，截斷誤差越小。與復(fù)化梯形公式的分析相類似，可以證明，當(dāng)n時，用復(fù)化Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。,復(fù)化Cotes公式,將區(qū)間a,b分成n等分，分點為：,

21、用Cotes公式得到復(fù)化Cotes公式：,復(fù)化Cotes公式的截斷誤差為：,復(fù)化求積公式舉例,根據(jù)函數(shù)表,例6,解：（1）由復(fù)化梯形公式,n=8,h=1/8：,例6(續(xù)）,（2）由復(fù)化Simpson公式,n=4,h=1/4：,與準(zhǔn)確值I=0.9460831比較，顯然用復(fù)化Simpson公式計算精度較高。,事實上，由誤差公式（7-16）與（7-18）有RT(f)=O(h2),RS(f)=O(h4)，故當(dāng)h比較小時，用復(fù)化Simpson公式計算誤差較小。,由誤差估計公式不僅可以計算所求近似值的誤差，反之，亦可由給定的精度估計應(yīng)取多大步長。,復(fù)化求積公式舉例（續(xù)）,若用復(fù)化求積公式計算積分:,的近似

22、值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？,例7,解因為當(dāng)0x1時有0.3e-1e-x1于是：,要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過10-4/2。又因為:,因此若用復(fù)化梯形公式求積分，n應(yīng)等于41才能達到精度。,由復(fù)化梯形公式誤差估計式：,若用復(fù)化Simpson公式,由式（7-18）,即得n1.6。故應(yīng)取n=2。,即得n3.2。故應(yīng)取n=4。,a,b分成n等分，分點為：,所以這里在0,1上實際上共有5個分點。,若用公式,注意這里是將區(qū)間,例6、例7說明,例7的計算結(jié)果表明，為達到相同的精度，用復(fù)化Simpson公式所需的計算量比復(fù)化梯形公式少，這也說明了復(fù)化Simpson公式的精度較

23、高，實際計算時多采用復(fù)化Simpson公式。,復(fù)化求積方法又稱為定步長方法，要應(yīng)用復(fù)化求積公式，必須根據(jù)預(yù)先給定的精度估計出合適的步長或n，進而確定對積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，如同例7一樣。然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計式給出合適的步長，就要估計被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值，而這一點是相當(dāng)困難的。,（緊接下屏）,例6、例7說明（續(xù)）,要使截斷誤差不超過10-3/2，h應(yīng)取多大？,如對例6，用復(fù)化梯形求積公式計算積分:,4逐次分半算法(變步長方法),用復(fù)化求積公式（定步長方法）必須要用誤差估計式對于預(yù)先給定的精度給出步長h或n,但由于誤差估計式中要估計高階導(dǎo)數(shù)，而這一點往往很困難，因此實際計算時，常采用

24、變步長方法：逐步縮小步長，每次將步長縮小一半，或者說逐次等分區(qū)間,反復(fù)利用復(fù)化求積公式，直到相鄰兩次計算結(jié)果相差不大為止或者滿足給定精度為止。,4.1梯形法的遞推公式,因此計算梯形序列T2m可按：,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)1）,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)1）,4,設(shè)將區(qū)間a,bn等分，共有n+1個分點，,如果將積分區(qū)間再等分一次，則分點增為2n+1個，將等分前后兩個積分值聯(lián)系起來加以考察：,注意到每個子區(qū)間,經(jīng)過等分只增加了一個分點：,用復(fù)化梯形公式可求得,上的積分值為,注意，這里,代表等分前的步長。,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)2）,此為復(fù)化梯形公式的遞推公式,將每個子區(qū)間上的積分值相加得：

25、,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)3）,復(fù)化梯形公式的停止計算控制,f(m-1)與f(m)是二階導(dǎo)數(shù)f(x)在a,b上2m-1個點與2m個點的算術(shù)平均數(shù)（每個小區(qū)間上取一個點），若f(x)在a,b的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則當(dāng)m較大時：,以此作為停止計算的控制。,復(fù)化simpson的停止計算控制,4.2Simpson公式的逐次分半法,（緊接下屏）,Simpson公式的逐次分半法（續(xù)）,梯形公式的逐次分半法舉例,用自動選擇步長的梯形公式計算I，要求誤差,例8,例8（續(xù)）,上例說明Tn收斂慢，求T128要計算64個新增的函數(shù)值，而將T8與T4重新組合可構(gòu)造S8。,例8說明,由T8與T4重新組合可構(gòu)造S8，這一結(jié)果并不是偶然，因為有：,例8說明（續(xù)1）,我們將此誤差估計加到T2m上構(gòu)成新的近似值：,在復(fù)化梯形公式逐次分半算法中：,而在Simpson逐次分半算法中：,(緊接下屏！),即由Simpson序列可構(gòu)造出收斂更快的Cotes序列。,例8說明（續(xù)2）,例8說明（續(xù)3）,并且我們的具體做法都是利用控制結(jié)束的誤差式，構(gòu)成新的，收斂更快的序列，而由前面的推導(dǎo)可知，下面這些公式具有如下規(guī)律性：,例8說明（續(xù)4）,類似地，也可以推導(dǎo)出：,5龍貝格（Romberg）求積公式,5.1外推法,從上面例，我們看到復(fù)化梯形序列T2m收斂較慢，而利用梯