平行四邊形性質(zhì)和判定綜合(一)(教案)

1、平行四邊形性質(zhì)和判定綜合（一）適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60分鐘知識點1.平行四邊形的性質(zhì)；2.平行四邊形的判定；3.基本輔助線的作法。教學(xué)目標(biāo)1回顧平行四邊形的概念，了解平行四邊形的基本識別方法2按照課本操作步驟的要求，完成操作實踐 (1)結(jié)合第一個操作實踐活動，利用圖形平移的性質(zhì)了解“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形” (2)結(jié)合第二個操作實踐活動，利用圖形中心對稱的性質(zhì)了解“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”3準(zhǔn)備長度相等的木條各一對，嘗試在平面內(nèi)擺出平行四邊形，結(jié)合實踐活動了解“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”教學(xué)重點平行四邊形的性質(zhì)和

2、判定的應(yīng)用。教學(xué)難點對平行四邊形的性質(zhì)和判定的靈活運用。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 平行四邊形的識別方法（如圖1） 1從“邊”的角度考慮 (1) AB_，_BC， 四邊形ABCD為平行四邊形( ) (2) AD_， _， 四邊形ABCD為平行四邊形( ) (3) _CD，AD_， 四邊形ABCD為平行四邊形（ ） 2從“對角線”的角度考慮 AO_，BO_，即_與_互相_， 四邊形ABCD為平行四邊形( )二、知識講解1性質(zhì)：按邊、角、對角線三方面分類記憶平行四邊形的性質(zhì) 另外，由“平行四邊形兩組對邊分別相等”的性質(zhì)，可推出下面的推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等2判定方法：同樣按邊、角、對角線三方

3、面分類記憶邊 角：兩組對角分別相等對角線：對角線互相平分3注意的問題：平行四邊形的判定定理，有的是相應(yīng)性質(zhì)定理的逆定理 學(xué)習(xí)時注意它們的聯(lián)系和區(qū)別，對照記憶4特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）5. 研究平行四邊形問題的基本思想方法是轉(zhuǎn)化法，即把平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形及平移、旋轉(zhuǎn)和對稱圖形的問題來研究考點/易錯點1平行四邊形的判定的應(yīng)用容易與性質(zhì)的應(yīng)用混淆?？键c/易錯點2 平行四邊形的判定中注意“兩組對邊分別相等或者平行”中“分別”兩個字的重要性，注意區(qū)分。三、例題精析【例題1】【題干】如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AFCE，DFBE，DFBE 試說明：(1)AFD

4、CEB (2)四邊形ABCD是平行四邊形 【答案】解答：(1) DFBE，12 在AFD和CEB中，AFCE，12，DFBE，AFDCEB (2)AFDCEB，ADBC，34AD/BC 從而由ADBC，ADBC，得到四邊形ABCD是平行四邊形【解析】(1)說明三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS，本題要說明AF DCEB，已知AFCE，DFBE，只要說明DFACEB，而DFACEB，由DFBE可得到； (2)說明四邊形是平行四邊形的方法有四種，由于(1)中已經(jīng)說明AFDCEB，所以可得到ADBC，因而可考慮“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“一組對邊平行且相等的四邊形是平行

5、四邊形”，由題意發(fā)現(xiàn)易得ADBC點評：說明四邊形是平行四邊形常用的方法有四種，在解題過程中要注意分析條件和圖形，選擇合適的方法，使說明過程簡潔明了【例題2】【題干】如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AEBD于E，CFBD于F（1）求證：BE=DF；（2）若 M、N分別為邊AD、BC上的點，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）【答案】解答：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四邊形MENF是平行四邊形證明：有（1）可知：BE=DF，四邊形ABCD

6、為平行四邊行，ADBC，MDB=MBD，DM=BN， DNF BNE， NE=MF， MFD= NEB， MFE= NEF， MF NE，四邊形MENF是平行四邊形【解析】考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明ABECDF即可得到BE=DF；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形MENF的形狀點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)【例題3】【題干】如圖所示，AECF的對角線相交于點O，DB經(jīng)過點O，分別與AE，CF交于B，D求證：四邊形A

7、BCD是平行四邊形【答案】證明：四邊形AECF是平行四邊形OE=OF，OA=OC，AECF，DFO=BEO，F(xiàn)DO=EBO，F(xiàn)DOEBO，OD=OB，OA=OC，四邊形ABCD是平行四邊形【解析】考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的對角線互相平分，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形四、課堂運用【基礎(chǔ)】1. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分別為E，F(xiàn)（1）求證：ABECDF；（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO 答案證明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即BE=DE，AEBD，CFBD，A

8、EB=CFD=90，AB=CD，RtABERtCDF（HL）；（2）ABECDF，ABE=CDF，ABCD，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO 分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AEBD，CFBD，可得AEB=CFD=90，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：ABECDF；（2）由ABECDF，即可得ABE=CDF，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得ABCD，又由AB=CD，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO點評：此題考

9、查了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì)此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。2. 已知：如圖，在ABC中，BAC=90，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD求證：EF=AD答案證明：DE，DF是ABC的中位線，DEAB，DFAC，四邊形AEDF是平行四邊形，又BAC=90，平行四邊形AEDF是矩形，EF=AD 分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：由DE、DF是ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又BAC=90，則可證得平行四邊形AEDF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等即可得EF=AD點評：此

10、題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì)此題綜合性較強，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 3. 如圖，已知D是ABC的邊AB上一點，CEAB，DE交AC于點O，且OA=OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明答案解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等證明：CEAB，DAO=ECO，OA=OC，ADOECO，AD=CE，四邊形ADCE是平行四邊形，CDAE 分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：根據(jù)CEAB，DE交AC于點O，且OA=OC，求證ADOECO，然后求證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)

11、論點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證ADOECO，然后可得證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論 【鞏固】1. 如圖，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點求證：四邊形MFNE是平行四邊形答案證明：由平行四邊形可知，AD=CB，DAE=FCB，又AE=CF，DAEBCF，DE=BF，AED=CFB又M、N分別是DE、BF的中點，ME=NF又由ABDC，得AED=EDCEDC=BFC，MENF四邊形MFNE為平行四邊形分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的判定方法有多種，

12、選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為M、N分別是DE、BF的中點，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來解決點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法2. 如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A求證：四邊形AECF是平行四邊形答案證明：連接AC交BD于點O，四邊形ABCD為平行四邊形，OA=OC，OB=ODBE=DF，OE=OF四邊形AECF為平行四邊形分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析

13、：根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法3. 在ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊ADE和等邊BCF，連接BE、DF求證：四邊形BEDF是平行四邊形答案證明：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB，AD=CB，DAB=BCD又ADE和CBF都是等邊三角形，DE=BF，AE=CFDAE=BCF=60DCF=BCDBCF，BAE=DABDAE，DCF=BAEDCFBAE（SAS）DF=BE四邊形BEDF是平行四邊形分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

14、；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：由題意先證DAE=BCF=60，再由SAS證DCFBAE，繼而題目得證點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系4. 如圖所示，DBAC，且DB=AC，E是AC的中點，求證：BC=DE答案證明：E是AC的中點，EC=AC，又DB=AC，DB=EC又DBEC，四邊形DBCE是平行四邊形BC=DE分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證

15、明四邊形DBCE是平行四邊形，即可證明BC=DE點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系【拔高】1. 已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，直線PQ截梯形為兩個四邊形問當(dāng)P，Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？答案解：設(shè)P，Q同時出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)已知得到AP=t，PD

16、=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD=CQ，24t=2tt=88秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；（2）若四邊形APQB是平行四邊形，則AP=BQ，t=302tt=1010秒后四邊形APQB是平行四邊形分析考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；梯形。專題：動點型。分析：若四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，那么QD=CQ或AP=BQ，根據(jù)這個結(jié)論列出方程就可以求出時間點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，不過用運動的觀點結(jié)合梯形的知識出題學(xué)生不是很適應(yīng)課程小結(jié)1 靈活運用平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵。2. 三角形的

17、相關(guān)性質(zhì)定理起到輔助解答的作用。3輔助線的作法比較簡單，構(gòu)造全等或者構(gòu)造出對角線相交等等。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1. 如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點，求證：AE與DF互相平分考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：要證AE與DF互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定，就必須先四邊形ADEF為平行四邊形解答：證明：D、E、F分別是ABC各邊的中點，根據(jù)中位線定理知：DEAC，DE=AF，EFAB，EF=AD，四邊形ADEF為平行四邊形故AE與DF互相平分點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等

18、和平行提供了依據(jù)2. 已知：如圖，在ABCD中，對角線AC交BD于點O，四邊形AODE是平行四邊形求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：因為ABCD，OB=OD，又AODE是平行四邊形，AE=OD，所以AE=OB，又AEOD，根據(jù)平行四邊形的判定，可推出四邊形ABOE是平行四邊形同理，也可推出四邊形DCOE是平行四邊形解答：證明：ABCD中，對角線AC交BD于點O，OB=OD，又四邊形AODE是平行四邊形，AEOD且AE=OD，AEOB且AE=OB，四邊形ABOE是平行四邊形，同理可證，四邊形DCOE也是平行四邊形點評：此題要求掌握

19、平行四邊形的判定定理：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【鞏固】1. 如圖，已知四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且點E、F、G、H有在同一條直線上求證：EF和GH互相平分考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證明EF和GH互相平分，只需構(gòu)造一個平行四邊形，運用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分即可證明解答：證明：連接EG、GF、FH、HE，點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點在ABC中，EG=BC；在DBC中，HF=BC，EG=HF同理EH=GF四邊形EGFH為平行四邊形EF與GH互相平分點評：本題考查的是綜合

20、運用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系2. 如圖：ABCD中，MNAC，試說明MQ=NP考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：先證AMQC為平行四邊形，得AC=MQ，再證APNC為平行四邊形，得AC=NP，進(jìn)而求解解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AMQC，APNC又MNAC，四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形APNC為平行四邊形AC=MQ AC=NPMQ=NP點評：本題考查的知識點為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形3. 已知：如圖所示

21、，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF經(jīng)過點O并且分別和AB，CD相交于點E，F(xiàn)，點G，H分別為OA，OC的中點求證：四邊形EHFG是平行四邊形考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證四邊形EHFG是平行四邊形，需證OG=OH，OE=OF，可分別由四邊形ABCD是平行四邊形和OEBOFD得出解答：證明：如答圖所示，點O為平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點，OA=OC，OB=ODG，H分別為OA，OC的中點，OG=OA，OH=OC，OG=OH又ABCD，1=2在OEB和OFD中，1=2，OB=OD，3=4，OEBOFD，OE=OF四邊形

22、EHFG為平行四邊形點評：此題主要考查平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形4. 如圖，已知在ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題；探究型。分析：（1）先由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD，ABCD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得GBE=HDF再由SAS可證GBEHDF，利用全等的性質(zhì)，證明GEF

23、=HFE，從而得GEHF，又GE=HF，運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證（2）仍成立可仿照（1）的證明方法進(jìn)行證明解答：（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，GBE=HDF又AG=CH，BG=DH又BE=DF，GBEHDFGE=HF，GEB=HFD，GEF=HFE，GEHF，四邊形GEHF是平行四邊形（2）解：仍成立（證法同上）點評：本題考查的知識點為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【拔高】1. 如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連接AE、CF（1）求證：AF=CE；（2）如果AC=EF，且ACB=135，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的判定。專題：證明題。分析：（1）由AFEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DFA=DEC，DAF=DCE，而DA=DC，易證得DAFDCE，得到結(jié)論；（2）由AFEC，AF=CE，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等即AC=EF，可判斷平行四邊形AFCE是矩形，則FCE=CFA=90，通過ACB=135，可得到