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1、第10章 應(yīng)力和應(yīng)變分析 強(qiáng)度理論,10 概述,應(yīng)力狀態(tài)分析,一、引言,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的?,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞?,三、單元體:?jiǎn)卧w構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物,是包圍被研究點(diǎn) 的無限小的幾何體,常用的是正六面體。 單元體的性質(zhì) a、平行面上,應(yīng)力均布; b、平行面上,應(yīng)力相等。,二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài): 過一點(diǎn)有無數(shù)的截面,這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合,稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(State of Stress at a Given Point)。,x,y,z,s,x,sz,s,y,應(yīng)力狀態(tài)分析,梁的內(nèi)力圖如圖所示,則m-m截面上的剪力和彎矩均為正,由此可得各點(diǎn)的應(yīng)
2、力狀態(tài)圖如下,應(yīng)力狀態(tài)分析,單元體的應(yīng)力狀態(tài):,主應(yīng)力的計(jì)算:,純剪切應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)分析,四、主單元體、主平面、主應(yīng)力:,主單元體(Principal element body): 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。,主平面(Principal Plane): 剪應(yīng)力為零的截面。,主應(yīng)力(Principal Stress ): 主面上的正應(yīng)力。,主應(yīng)力排列規(guī)定:按代數(shù)值大小,,應(yīng)力狀態(tài)分析,單向應(yīng)力狀態(tài)(Unidirectional State of Stress): 一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。,二向應(yīng)力狀態(tài)(Plane State of Stress): 一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。,三向應(yīng)
3、力狀態(tài)( ThreeDimensional State of Stress): 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng)力狀態(tài)分析,82 應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例 原始單元體(已知單元體):,例1 畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。,應(yīng)力狀態(tài)分析,102 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,應(yīng)力狀態(tài)分析,規(guī)定: 截面外法線同向?yàn)檎?t a繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正; a逆時(shí)針為正。,圖1,設(shè):斜截面面積為S,由分離體平衡得:,一、任意斜截面上的應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)分析,圖1,考慮剪應(yīng)力互等和三角變換,得:,同理:,應(yīng)力狀態(tài)分析,參考197頁(yè)例10-1,二、極值應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)分析,在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi), 且偏向于x 及y大的一側(cè)。,
4、應(yīng)力狀態(tài)分析,例2 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。,解:確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原 始單元體,求極值應(yīng)力,O,應(yīng)力狀態(tài)分析,破壞分析,鑄鐵,應(yīng)力狀態(tài)分析,例 題 4,薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用(如圖所示)。已知圓管的平均直徑D50 mm,壁厚2 mm。外加力偶的力偶矩Me600 Nm,軸向載荷FP20 kN。薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為,求:1圓管表面上過D點(diǎn)與圓管母線夾角為 30的斜截面上的應(yīng)力; 2. D點(diǎn)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。,解:1取微元,確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力,圍繞D點(diǎn)用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。,利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力:,在本例中有: x
5、63.7 MPa,y0, xy一76.4 MPa,120。,3確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力,D點(diǎn)的最大剪應(yīng)力為,第3節(jié) 廣義虎克定律,一、廣義虎克定律,1 單向應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律,軸向拉伸或壓縮時(shí),或,由于軸向變形還引起橫向變形,2 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律,或,一般情況下,描述一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)需要九個(gè)應(yīng)力分量,在小變形及線彈性范圍內(nèi),線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān),而與剪應(yīng)力無關(guān);剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān),而與正應(yīng)力無關(guān),滿足應(yīng)用疊加原理的條件。所以,我們利用單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律,分別求出各應(yīng)力分量相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變,然后,再進(jìn)行疊加。,正應(yīng)力分量在不同方向?qū)?yīng)的應(yīng)變,得出 、 和 方向的線應(yīng)變表達(dá)
6、式為,根據(jù)剪切虎克定律,在 、 和 三個(gè)面內(nèi)的 剪應(yīng)變分別為,4 主單元體時(shí)的廣義虎克定律,當(dāng)單元體為主單元體時(shí),且使 、 和 的方向分別與 、 和 的方向一致。這時(shí),對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài),廣義胡克定律為,201頁(yè)10-8式,這表明,對(duì)于各向同性材料,三個(gè)彈性常數(shù)中,只有兩個(gè)是獨(dú)立的。, 各向同性材料各彈性常數(shù)之間的關(guān)系,例 題 6,試求:容器所受的內(nèi)壓力。,為測(cè)量容器所承受的內(nèi)壓力值,在容器表面用電阻應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)變 。若已知容器平均直徑D500 mm,壁厚10 mm,容器材料的E210 GPa,0.25。,解:容器表面各點(diǎn)均承受二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)。所測(cè)得的環(huán)向應(yīng)變不僅與環(huán)向應(yīng)力有關(guān),而且與縱向
7、應(yīng)力有關(guān)。根據(jù)廣義胡克定律,就有,整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為:,10.4 三向應(yīng)力狀態(tài)研究,整個(gè)單元體內(nèi)的應(yīng)力極值為:,體積應(yīng)變Volume strain及應(yīng)力的關(guān)系,1體積應(yīng)變,變形前單元體的體積為,變形后,三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度變?yōu)?由于是單元體,變形后三個(gè)棱邊仍互相垂直,所以,變形后的體積為,于是,單元體單位體積的改變,2體積應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系,稱為體積彈性模量,體積應(yīng)變只與平均應(yīng)力有關(guān),或者說只與三個(gè)主應(yīng)力之和有關(guān),而與三個(gè)主應(yīng)力之間的比值無關(guān)。體積應(yīng)變與平均應(yīng)力成正比,稱為體積虎克定律。,是三個(gè)主應(yīng)力的平均值,在軸向拉伸或壓縮時(shí),根據(jù)外力功和應(yīng)變能在數(shù)值上相等的關(guān)系,導(dǎo)出比能的計(jì)算公式為,本節(jié)
8、討論在已知主應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能,應(yīng)變比能(應(yīng)變能密度),假定應(yīng)力按 : : 的比例同時(shí)從零增加至最終值,在線彈性情況下,每一主應(yīng)力與相應(yīng)的主應(yīng)變?nèi)员3志€性關(guān)系,因而與每一主應(yīng)力相應(yīng)的比能仍可按 計(jì)算,于是,復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能是,=,+,體積改變比能和形狀改變比能,對(duì)于單元體的應(yīng)變能 也可認(rèn)為是由以下兩部分組成:因體積改變而儲(chǔ)存的比能 。稱作體積改變比能。體積不變,只因形狀改變而儲(chǔ)存的比能 。稱作形狀改變比能,10-5 強(qiáng)度理論的概念,強(qiáng)度理論,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的?,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞?,大家知道,單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪應(yīng)力狀態(tài)下的極限應(yīng)力值,是直
9、接由實(shí)驗(yàn)確定的。但是,復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下則不能。這是因?yàn)椋阂环矫鎻?fù)雜應(yīng)力狀態(tài)各式各樣,可以說有無窮多種,不可能一一通過實(shí)驗(yàn)確定極限應(yīng)力;另一方面,有些復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn),技術(shù)上難以實(shí)現(xiàn)。,二、強(qiáng)度理論:是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效(failure by lost strength)起因”的假說。,三、材料的破壞形式: 屈服; 斷裂 。,一、最大拉應(yīng)力(第一強(qiáng)度)理論: 認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。無論何種應(yīng)力狀態(tài)下,當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí),構(gòu)件就發(fā)生斷裂破壞。,1、破壞判據(jù):,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則:,3、實(shí)用范圍:實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,強(qiáng)度理論,伽利略1638年提出了第一強(qiáng)度理論
10、,后經(jīng)蘭金等人修正;,二、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變(第二強(qiáng)度)理論: 認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí),構(gòu)件就發(fā)生斷裂破壞。,1、破壞判據(jù):,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則:,3、實(shí)用范圍:實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,強(qiáng)度理論,馬里奧特1682年關(guān)于變形過大引起破壞的論述,是第二強(qiáng)度理論的萌芽,后經(jīng)圣維南等人于19世紀(jì)修正;,三、最大剪應(yīng)力(第三強(qiáng)度)理論: 認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí),構(gòu)件就發(fā)生屈服破壞。,1、破壞判據(jù):,3、實(shí)用范圍:實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則:,強(qiáng)度理論,庫(kù)侖1773年提出了最大剪
11、應(yīng)力理論;,四、形狀改變比能(第四強(qiáng)度)理論: 構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)形狀改變比能時(shí),構(gòu)件就發(fā)生屈服破壞。,1、破壞判據(jù):,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則,3、實(shí)用范圍:實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,強(qiáng)度理論,貝爾特拉米1885年提出能量強(qiáng)度理論,后經(jīng)胡勃等修正。,第四強(qiáng)度理論是由米澤斯(R.von Mises)于1913年從修正最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則出發(fā)提出的。1924年,德國(guó)的亨奇(H.Hencky)從畸變能密度出發(fā)對(duì)這一準(zhǔn)則作了解釋,從而形成了畸變能密度準(zhǔn)則,因此,這一理論又稱為米澤斯準(zhǔn)則。,1926年,德國(guó)的洛德(Lode,W)通過薄壁圓管同時(shí)承受軸向拉伸與內(nèi)壓力
12、時(shí)的屈服實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證第四強(qiáng)度理論。他發(fā)現(xiàn):對(duì)于碳素鋼和合金鋼等韌性材料,這一理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得相當(dāng)好。其他大量的試驗(yàn)結(jié)果還表明,第四強(qiáng)度理論能夠很好地描述銅、鎳、鋁等大量工程韌性材料的屈服狀態(tài)。,五、相當(dāng)應(yīng)力:(強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式)。,其中, *相當(dāng)應(yīng)力。,89 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力,莫爾認(rèn)為:最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素,莫爾得出了他自己的強(qiáng)度理論。,強(qiáng)度理論,近似包絡(luò)線,極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線,O,t,s,一、兩個(gè)概念:,1、極限應(yīng)力圓:,2、極限曲線:極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線(envelope)。,強(qiáng)度理論,強(qiáng)度理論的應(yīng)用,一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟:,1、外力分析:確定所需的外力值。,2、內(nèi)力分析:畫內(nèi)力圖,確定可能的危險(xiǎn)面。,3、應(yīng)力分析:畫危面應(yīng)力分布圖,確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體, 求主應(yīng)力。,4、強(qiáng)度分析:選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力,然后進(jìn)行 強(qiáng)度計(jì)算。,強(qiáng)度理論,已知: 和。 試寫出:第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的表達(dá)式。,討 論 題,1、外力分析,2、內(nèi)力分析,危險(xiǎn)截面在A端,3、應(yīng)力分析,橫截面上應(yīng)力分布,討 論 題,解:危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖:,例1 直徑為d=0
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