中北六院工程力學(xué)10-章

1、第10章 應(yīng)力和應(yīng)變分析 強(qiáng)度理論,10 概述,應(yīng)力狀態(tài)分析,一、引言,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,三、單元體：?jiǎn)卧w構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn) 的無限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的性質(zhì) a、平行面上，應(yīng)力均布； b、平行面上，應(yīng)力相等。,二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)： 過一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（State of Stress at a Given Point）。,x,y,z,s,x,sz,s,y,應(yīng)力狀態(tài)分析,梁的內(nèi)力圖如圖所示,則m-m截面上的剪力和彎矩均為正,由此可得各點(diǎn)的應(yīng)

2、力狀態(tài)圖如下,應(yīng)力狀態(tài)分析,單元體的應(yīng)力狀態(tài)：,主應(yīng)力的計(jì)算：,純剪切應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)分析,四、主單元體、主平面、主應(yīng)力：,主單元體(Principal element body)： 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。,主平面(Principal Plane)： 剪應(yīng)力為零的截面。,主應(yīng)力(Principal Stress ）： 主面上的正應(yīng)力。,主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，,應(yīng)力狀態(tài)分析,單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。,二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。,三向應(yīng)

3、力狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng)力狀態(tài)分析,82 應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例 原始單元體（已知單元體）：,例1 畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。,應(yīng)力狀態(tài)分析,102 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,應(yīng)力狀態(tài)分析,規(guī)定： 截面外法線同向?yàn)檎?t a繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正； a逆時(shí)針為正。,圖1,設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：,一、任意斜截面上的應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)分析,圖1,考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：,同理：,應(yīng)力狀態(tài)分析,參考197頁例10-1,二、極值應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)分析,在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi)， 且偏向于x 及y大的一側(cè)。,

4、應(yīng)力狀態(tài)分析,例2 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。,解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原 始單元體,求極值應(yīng)力,O,應(yīng)力狀態(tài)分析,破壞分析,鑄鐵,應(yīng)力狀態(tài)分析,例 題 4,薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用（如圖所示）。已知圓管的平均直徑D50 mm，壁厚2 mm。外加力偶的力偶矩Me600 Nm，軸向載荷FP20 kN。薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為,求：1圓管表面上過D點(diǎn)與圓管母線夾角為 30的斜截面上的應(yīng)力； 2. D點(diǎn)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。,解：1取微元，確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力,圍繞D點(diǎn)用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。,利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力：,在本例中有： x

5、63.7 MPa，y0， xy一76.4 MPa，120。,3確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力,D點(diǎn)的最大剪應(yīng)力為,第3節(jié) 廣義虎克定律,一、廣義虎克定律,1 單向應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律,軸向拉伸或壓縮時(shí),或,由于軸向變形還引起橫向變形,2 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律,或,一般情況下，描述一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)需要九個(gè)應(yīng)力分量,在小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，而與剪應(yīng)力無關(guān)；剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)，而與正應(yīng)力無關(guān)，滿足應(yīng)用疊加原理的條件。所以，我們利用單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律，分別求出各應(yīng)力分量相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，然后，再進(jìn)行疊加。,正應(yīng)力分量在不同方向?qū)?yīng)的應(yīng)變,得出 、 和 方向的線應(yīng)變表達(dá)

6、式為,根據(jù)剪切虎克定律，在 、 和 三個(gè)面內(nèi)的 剪應(yīng)變分別為,4 主單元體時(shí)的廣義虎克定律,當(dāng)單元體為主單元體時(shí)，且使 、 和 的方向分別與 、 和 的方向一致。這時(shí),對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，廣義胡克定律為,201頁10-8式,這表明，對(duì)于各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)中，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。, 各向同性材料各彈性常數(shù)之間的關(guān)系,例 題 6,試求：容器所受的內(nèi)壓力。,為測(cè)量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)變 。若已知容器平均直徑D500 mm，壁厚10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。,解：容器表面各點(diǎn)均承受二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)。所測(cè)得的環(huán)向應(yīng)變不僅與環(huán)向應(yīng)力有關(guān)，而且與縱向

7、應(yīng)力有關(guān)。根據(jù)廣義胡克定律，就有,整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：,10.4 三向應(yīng)力狀態(tài)研究,整個(gè)單元體內(nèi)的應(yīng)力極值為：,體積應(yīng)變Volume strain及應(yīng)力的關(guān)系,1體積應(yīng)變,變形前單元體的體積為,變形后，三個(gè)棱邊的長度變?yōu)?由于是單元體，變形后三個(gè)棱邊仍互相垂直，所以，變形后的體積為,于是，單元體單位體積的改變,2體積應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系,稱為體積彈性模量,體積應(yīng)變只與平均應(yīng)力有關(guān)，或者說只與三個(gè)主應(yīng)力之和有關(guān)，而與三個(gè)主應(yīng)力之間的比值無關(guān)。體積應(yīng)變與平均應(yīng)力成正比，稱為體積虎克定律。,是三個(gè)主應(yīng)力的平均值,在軸向拉伸或壓縮時(shí)，根據(jù)外力功和應(yīng)變能在數(shù)值上相等的關(guān)系，導(dǎo)出比能的計(jì)算公式為,本節(jié)

8、討論在已知主應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能,應(yīng)變比能（應(yīng)變能密度）,假定應(yīng)力按 ： ： 的比例同時(shí)從零增加至最終值，在線彈性情況下，每一主應(yīng)力與相應(yīng)的主應(yīng)變?nèi)员３志€性關(guān)系，因而與每一主應(yīng)力相應(yīng)的比能仍可按 計(jì)算，于是，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能是,=,+,體積改變比能和形狀改變比能,對(duì)于單元體的應(yīng)變能 也可認(rèn)為是由以下兩部分組成：因體積改變而儲(chǔ)存的比能 。稱作體積改變比能。體積不變，只因形狀改變而儲(chǔ)存的比能 。稱作形狀改變比能,10-5 強(qiáng)度理論的概念,強(qiáng)度理論,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,大家知道，單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪應(yīng)力狀態(tài)下的極限應(yīng)力值，是直

9、接由實(shí)驗(yàn)確定的。但是，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下則不能。這是因?yàn)椋阂环矫鎻?fù)雜應(yīng)力狀態(tài)各式各樣，可以說有無窮多種，不可能一一通過實(shí)驗(yàn)確定極限應(yīng)力；另一方面，有些復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)，技術(shù)上難以實(shí)現(xiàn)。,二、強(qiáng)度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效（failure by lost strength）起因”的假說。,三、材料的破壞形式： 屈服； 斷裂 。,一、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論： 認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。無論何種應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就發(fā)生斷裂破壞。,1、破壞判據(jù)：,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,強(qiáng)度理論,伽利略1638年提出了第一強(qiáng)度理論

10、，后經(jīng)蘭金等人修正；,二、最大伸長線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論： 認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就發(fā)生斷裂破壞。,1、破壞判據(jù)：,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,強(qiáng)度理論,馬里奧特1682年關(guān)于變形過大引起破壞的論述，是第二強(qiáng)度理論的萌芽，后經(jīng)圣維南等人于19世紀(jì)修正；,三、最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論： 認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就發(fā)生屈服破壞。,1、破壞判據(jù)：,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：,強(qiáng)度理論,庫侖1773年提出了最大剪

11、應(yīng)力理論；,四、形狀改變比能（第四強(qiáng)度）理論： 構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件就發(fā)生屈服破壞。,1、破壞判據(jù)：,2、強(qiáng)度準(zhǔn)則,3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,強(qiáng)度理論,貝爾特拉米1885年提出能量強(qiáng)度理論，后經(jīng)胡勃等修正。,第四強(qiáng)度理論是由米澤斯（R.von Mises）于1913年從修正最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則出發(fā)提出的。1924年，德國的亨奇（H.Hencky）從畸變能密度出發(fā)對(duì)這一準(zhǔn)則作了解釋，從而形成了畸變能密度準(zhǔn)則，因此，這一理論又稱為米澤斯準(zhǔn)則。,1926年，德國的洛德（Lode，W）通過薄壁圓管同時(shí)承受軸向拉伸與內(nèi)壓力

12、時(shí)的屈服實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證第四強(qiáng)度理論。他發(fā)現(xiàn)：對(duì)于碳素鋼和合金鋼等韌性材料，這一理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得相當(dāng)好。其他大量的試驗(yàn)結(jié)果還表明，第四強(qiáng)度理論能夠很好地描述銅、鎳、鋁等大量工程韌性材料的屈服狀態(tài)。,五、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。,其中， *相當(dāng)應(yīng)力。,89 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力,莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得出了他自己的強(qiáng)度理論。,強(qiáng)度理論,近似包絡(luò)線,極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線,O,t,s,一、兩個(gè)概念：,1、極限應(yīng)力圓：,2、極限曲線：極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線（envelope）。,強(qiáng)度理論,強(qiáng)度理論的應(yīng)用,一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：,1、外力分析：確定所需的外力值。,2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面。,3、應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體， 求主應(yīng)力。,4、強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，然后進(jìn)行 強(qiáng)度計(jì)算。,強(qiáng)度理論,已知： 和。 試寫出:第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的表達(dá)式。,討 論 題,1、外力分析,2、內(nèi)力分析,危險(xiǎn)截面在A端,3、應(yīng)力分析,橫截面上應(yīng)力分布,討 論 題,解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：,例1 直徑為d=0