第二章-工程力學(xué)--第二章

1、1,第2章 平面力系的簡化與平衡,工程力學(xué),2,第2章 平面力系的簡化與平衡,2.1 平面匯交力系 2.2 平面力偶系 2.3 平面一般力系,本 章 目 錄,3,2-1 力線平移定理,力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力 平行移到任一 點(diǎn)B，但必須同時附加一個力偶。這個力偶 的矩等于原來的力 對新作用點(diǎn)B的矩。,4,說明：,5,第2章 平面力系的簡化與平衡,平面力系作用在物體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)。,工程實(shí)例：屋架、吊車：平面結(jié)構(gòu)承受平面力系。,空間對稱結(jié)構(gòu)承受對稱的外力，可簡化為平面問題。如汽車受力。,6,2.1 平面匯交力系,2.1.1 平面匯交力系合成和平衡的幾何法,平面匯交力

2、系： 各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。,包括自重與 液體重力,7,力多邊形法則：,匯交力系中各力首尾相連，構(gòu)成一個不封閉的折線Oabcd，稱為不封閉的力多邊形（力鏈）。合力為力多邊形的封閉邊Od，方向從第一個力的起點(diǎn)指向最后一個力的終點(diǎn)。,合力大小與分力的次序無關(guān)。,a,c,d,b,2.1 平面匯交力系,2.1.1 平面匯交力系合成和平衡的幾何法,1.合成的幾何法,8,合力可以表示為：,若力系為n個力，合力可以表示為：,2.1 平面匯交力系,2.1.1 平面匯交力系合成和平衡的幾何法,1.合成的幾何法,9,平面匯交力系平衡的充要條件是合力為零。,力系中各力首尾相連，力多邊形自行封

3、閉。,平衡條件的幾何形式：,平衡的幾何法,2.1 平面匯交力系,2.1.1平面匯交力系合成和平衡的幾何法,10,（4）確定未知力的大?。嚎闪咳￠L度，用比例尺換算。也可 利用三角關(guān)系求得。,（3）畫力多邊形：,確定未知力方向：力多邊形中各力的方向?yàn)閷?shí)際方向，與受力圖一致。,（5）答案：由作用反作用公理，AB受拉力 5 kN；BC受壓力 8.66 kN。,（1）研究對象：銷釘 B （2）畫受力圖；,選取比例尺；,解：,11,2.1.2 平面匯交力系合成和平衡的解析法,合成的解析法,合力,平面匯交力系,因?yàn)?每個力,合力投影定理：,2.1 平面匯交力系,12,已知合力在直角坐標(biāo)軸的投影 Fx、Fy

4、時，可求力FR 大小和方向。,合力的大小,合力的作用點(diǎn)為力系的匯交點(diǎn)。,Fx 0 Fy 0,Fx 0,Fx 0 Fy 0,Fx 0 Fy 0，F(xiàn)Ry0，所以合力指向第四象限，指向如圖。,14,平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力等于零。,平面匯交力系的平衡方程,平衡的解析條件： 力系中各力在x、y軸上 投影 的代數(shù)和為零。,有2個平衡方程， 只能求解2個未知量。,2.1.2 平面匯交力系合成和平衡的解析法,平衡的解析法,2.1 平面匯交力系,15,利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：,1、選選取研究對象。 應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。,2、畫畫受力圖。(標(biāo)清幾何關(guān)系),

5、3、建建立坐標(biāo)系。 原點(diǎn)可任意，使坐標(biāo)軸與較多的力平行（或垂直）。,4、列列平衡方程。 注意：不要列成左式等于右式的形式。,5、解解平衡方程。,6、答答案，必要時作出討論或說明。,2.1.2 平面匯交力系合成和平衡的解析法,平衡的解析法,2.1 平面匯交力系,16,解：,（3）建立坐標(biāo)系：Axy,（4）列平衡方程：,（5）解得：FA= 22.4kN,（1）研究對象：剛架,（2）受力如圖：,FA cos,+ P,= 0,FA sin, FD,= 0,FA 為負(fù)，表明其方向與圖示相反。,FD= 10kN FD為正，表明其方向與圖示相同。,17,（3）建立坐標(biāo)系：Bxy,（4）列平衡方程：,解： 分

6、析題意,滑輪大小不計(jì)，可為點(diǎn)B。,（1）研究對象：滑輪和銷軸。,（2）受力如圖：,F1cos30,FBC,F2sin30,=0,FBA= 0.366P,FBC為正，表明其方向與圖相同， FBC與圖相同，BC受壓。,FBC= 1.366P,FBA為負(fù)，表明其方向與圖相反，F(xiàn)BA與圖相反，AB受壓。,（5）解得：,F1=F2=P,F1sin30,F2cos30,FBA,=0,18,2.2 平面力偶系,2.2.1平面力偶系的合成,F2 d2F4 d,m = Fd =（F3F4）d,F1d1F3 d,= m1 + m2,= F1d1F2d2,設(shè)同一平面內(nèi)有兩個力偶（F1，F(xiàn)1）、（F2，F(xiàn)2），力偶臂

7、分別為d1、d2，力偶矩分別為 m1= F1d1 、m2=F2d2 。求它們的合成結(jié)果。,19,平面力偶系的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶矩等于各個力偶矩的代數(shù)和。,2.2.2 平面力偶系的平衡,只有一個平衡方程，只能求解一個未知量。,平面力偶系平衡的必要與充分條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。,2.2 平面力偶系,2.2.1平面力偶系的合成,20,（2） 受力如圖。,（1）研究對象：AB,（3）列平衡方程：,（5）由力偶的特點(diǎn)，A點(diǎn)反力RA=RB，方向如圖。,（4）解方程,解,21,例2-6 用多軸鉆床在水平工件上鉆孔時，每個鉆頭對工件施加一壓力和一力偶，如圖所示。已知三個力偶矩分別為： m1m

8、210Nm，m320Nm。固定螺釘A、B的間距為l200mm。 求兩個螺釘所受的水平力。,解：,研究對象：工件,由力偶系的平衡條件：,結(jié)果為正，說明圖示方向?yàn)榱Φ膶?shí)際方向。,FA、FB必組成力偶與其它三個力偶平衡。,從而,解得：,22,2.3 平面一般力系,2-3-1平面一般力系的簡化,O簡化中心,平面一般力系,平面匯交力系,為原力系的主矢。作用在O點(diǎn)，大小和方向與簡化中心O無關(guān)。,為原力系的主矩。大小和方向一般與簡化中心O有關(guān)。,平面力偶系,23,主矩的大?。?建立坐標(biāo)系xy,主矢的大?。?利用力和投影的關(guān)系，可以確定主矢的大小和方向。,2.3 平面一般力系,2-3-1平面一般力系的簡化,2

9、4,固定端約束,約束反力的確定：,按平面一般力系的簡化，得到一個力和一個力偶。,為便于計(jì)算，固定端的約束反力畫成正交分力和一個力偶。,2.3 平面一般力系,2-3-1平面一般力系的簡化,25,此時，簡化結(jié)果與簡化中心位置無關(guān)。,2.3.2 平面一般力系簡化結(jié)果的分析 合力矩定理,此時，簡化結(jié)果與簡化中心位置有關(guān)。,簡化結(jié)果,（1）,其合力偶矩,2.3 平面一般力系,26,即：合力矢等于主矢；合力作用線在簡化中心O那一側(cè)取決于主矢、主矩方向；合力作用線到O點(diǎn)的距離由d 確定。,(3),2.3.2 平面一般力系簡化結(jié)果的分析 合力矩定理,2.3 平面一般力系,27,合力矩定理,平面一般力系的合力對

10、于作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。,原力系為平衡力系。,（4）,2.3.2 平面一般力系簡化結(jié)果的分析 合力矩定理,2.3 平面一般力系,28,求合力的大?。航⒆鴺?biāo)系A(chǔ)xy。,解：合力的方向向下。,取微段dx，,其上合力dFR =qxdx，方向向下。,在任意截面 x 處,分布力合力,求合力的作用線(利用合力矩定理),即：,即,29,總結(jié)：分布力的合力,（2）大?。旱扔谳d荷集度 q 乘以分布長度，即 ql。,（1）方向：與分布力 q 相同。,（3）作用線：通過分布長度的中點(diǎn)。,（1）方向：與分布力相同。 （2）大?。旱扔谟煞植驾d荷組成的 幾何圖形的面積。 （3）作用線：通

11、過由分布載荷組成的幾何圖形的形心。,ql,均布載荷的合力。 載荷集度為 q。,30,2.3.3平面一般力系的平衡條件,平面一般力系平衡的充要條件：,即：,平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。上式稱為平面一般力系的平衡方程。,有獨(dú)立三個方程，只能求解三個未知數(shù),為方便計(jì)算：,2、矩心應(yīng)取在兩未知力的交點(diǎn)上。,1、坐標(biāo)軸應(yīng)當(dāng)與盡可能多的未知力作用線相垂直。,31,解：,B,8,解方程得：,研究對象：水平梁AB,注意應(yīng)用合力投影定理與合力矩定理得出：（1）均布載荷的投影與對點(diǎn)之矩。（2）力偶的投影與力矩。,32,解得：FB

12、28.28kN,例：已知如圖ABBDl，載荷 P10kN。設(shè)梁和桿的自重不計(jì)，求鉸鏈A的約束反力和桿BC所受的力。,研究對象：ABD梁。,A,FAx,FBcos 45,0,FAy,FBsin 45,P,0,FBsin 45l,P2 l,0,FAx 20kN FAy10kN (負(fù)號表明反力方向與圖示相反),B,由作用反作用公理，BC桿受壓力 28.28kN,33,如果寫出對A、 B兩點(diǎn)的力矩方程和對x 軸的投影方程：,如果寫出對A、 D、 C三點(diǎn)的力矩方程：,說明三個方程相互獨(dú)立,說明三個方程相互獨(dú)立,討論,34,二、平衡方程的其它形式,二矩式：,三矩式：,x 軸不得垂直于A、B連線。,A、B、

13、C三點(diǎn)不共線。,這二組平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件（證明略，見P49）,對于受平面任意力系作用的單個研究對象的平衡問題，只可以寫出三個獨(dú)立的平衡方程，求解三個未知量。任何第四個方程只是前三個方程的線性組合，因而不是獨(dú)立的。,35,0,(2)當(dāng)空載時，受力如圖。,FB0,0,解：(1)當(dāng)滿載時，受力如圖。,例2-10： 塔式起重機(jī)如圖。機(jī)架重力W，吊起的最大重物重力P，欲使起重機(jī)在滿載和空載時都不致翻倒，求平衡配重的重量Q。,0,為使起重機(jī)不繞點(diǎn)A翻倒，必須FB0。,為使起重機(jī)不繞點(diǎn)B翻倒，必須FA0。,36,2.4 考慮摩擦?xí)r的平衡問題,摩擦,工程實(shí)際中，物體的接觸面不會完全光滑，

14、摩擦總會存在。,本教材只講工程中常用的簡單近似的摩擦理論 。,摩擦,37,2.4.1 基本概念,大小根據(jù)主動力的情況，用不同的計(jì)算方法計(jì)算。,兩個表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸表面之間有相對滑動或相對滑動趨勢時，彼此作用有阻礙相對滑動的阻力，即滑動摩擦力。,摩擦力：,作用于相互接觸處；,方向與相對滑動的相對滑動趨勢的方向相反；,2.4 考慮摩擦?xí)r的平衡問題,38,1、靜摩擦力,（1）P為零時，物體沒有運(yùn)動趨勢，摩擦力Fs為零。,（2）P 較小時，物體有運(yùn)動趨勢，但仍靜止(平衡)，摩擦力Fs 不為零。由平衡方程確定靜摩擦力大小。,靜滑動摩擦力：當(dāng)兩物體有相對滑動趨勢時，在接觸面上有阻礙物體相對滑動趨勢

15、的力。靜摩擦力,實(shí)驗(yàn):,（3）當(dāng)主動力P 增加到某個數(shù)值，物體處于將動未動的臨界平衡狀態(tài)。這時的摩擦力稱為最大靜滑動摩擦力Fmax。,39,FN：正壓力。 fs：靜摩擦因數(shù)，為常數(shù)，由材料和接觸面狀況決定。實(shí)驗(yàn)測定。,靜摩擦定律,一般平衡狀態(tài),臨界平衡狀態(tài),綜上所述：,0FsFmax,FmaxfsFN,FmaxfsFN,靜摩擦力大小和方向由平衡方程確定。,方向恒與物體相對滑動的趨勢方向相反。,3. 動滑動摩擦力,F = f FN,FN：法向反力（正壓力） f ：動摩擦因數(shù)，為常數(shù)，由材料決定。一般 f fs。,2.最大靜摩擦力,最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力(即法向反力)成正比。,40,

16、2.4.2 摩擦角與自鎖現(xiàn)象,由圖可知:,摩擦角 與摩擦因數(shù) fs 一樣也是表示材料表面性質(zhì)的一個常量。,1、摩擦角,全反力：,摩擦角的正切等于摩擦因數(shù)。,摩擦角：臨界狀態(tài)時，全反力與法線的夾角。用 表示。,討論物體間靜摩擦性質(zhì)的幾何特點(diǎn)。,一般平衡,臨界狀態(tài),41,接觸點(diǎn)的全約束反力作用線只能在摩擦角以內(nèi)。,所以有： ,摩擦角：臨界狀態(tài)時，全反力與法線的夾角。用 表示。,42,2、自鎖現(xiàn)象,如果作用于物體的全部主動力的合力作用線 在摩擦角之內(nèi)，無論該力多大，物體總能保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。,設(shè)接觸面的摩擦角為 ，主動力FR與法向夾角為 。,水平主動力：FRsin，,若平衡：FRsin F

17、max fsFN = fsFRcos,即：物體平衡 ,法向主動力：FR cos 法向反力,而：,若 物體平衡，接觸面可提供與法線成 角的全反力。,證明：, 是物體平衡的充要條件。,與主動力無關(guān)而與摩擦角有關(guān)的平衡條件稱為自鎖條件。,43,當(dāng) 時，由于接觸面只能提供摩擦角范圍內(nèi)的全反力，不能保證與主動力共線。 物體滑動。,如果作用于物體的全部主動力的合力作用線在摩擦角之外，無論該力多小，物體一定會滑動。,44,例：在一個可以調(diào)整傾角的斜面上放一重為P的物體，物體與斜間的摩擦因數(shù)為fs，試求物體開始下滑時斜面的傾角。,解： （1）研究對象：物體。受力如圖。,（2）列平衡方程：,解得：,討論斜面上物

18、體的自鎖條件（即不下滑的條件）： ,45,工程實(shí)際中常應(yīng)用自鎖原理設(shè)計(jì)一些機(jī)構(gòu)或夾具，如千斤頂、壓榨機(jī)、圓錐銷等，使它們始終保持在平衡狀態(tài)下工作。也可應(yīng)用這個原理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。,46,因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角就是斜面的傾角。,斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。,對于千斤頂，螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊，加于螺母的軸向載荷，相當(dāng)物塊的重力。,要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角小于或等于摩擦角 。因此螺紋的自鎖條件是： ,若螺旋千斤頂?shù)穆輻U與螺母之間的摩擦因數(shù)為fS0.1， 5 42。為保證螺旋千斤頂自鎖，一般取螺紋升角 4430。,47,2.4.3 考慮摩擦?xí)r物體的平

19、衡問題,求解考慮摩擦?xí)r的平衡問題的幾個特點(diǎn)：,（2）已知主動力，討論物體狀態(tài)?？稍O(shè)物體處于一般平衡，此時摩擦力的大小和方向可由平衡方程確定。但一定符合FSFmax 。 Fmax fSFN，否則物體運(yùn)動。,（1）受力分析時，必須考慮摩擦力，其方向與假設(shè)無摩擦?xí)r物體在其他力的作用下的滑動方向相反。,（4）工程中有不少問題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時可列補(bǔ)充方程FmaxfSFN 。有時為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。,（3）已知有摩擦求主動力。由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍(即0FSFmaxfSFN)，所以主動力的值也有一定的范圍。,48,例2-11 物

20、體重為P，放在傾角為（足夠大）的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為fS。當(dāng)物體處于平衡時，試求水平力F1的大小。,解：,(1)求力的最大值F1max 。,列平衡方程：,補(bǔ)充方程,49,(2)求力的最小值F1 min。,補(bǔ)充方程：,列平衡方程,例2-11 物體重為P，放在傾角為（足夠大）的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為fS。當(dāng)物體處于平衡時，試求水平力F1的大小。,綜上可知：,F1,解：,50,物體系: 由若干個物體所組成的物體系統(tǒng)。,2.5 靜定與靜不定的概念 物體系統(tǒng)的平衡,2.5.1 靜定與靜不定的概念,靜定問題：所有未知量都能由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。,實(shí)例：,顯然前面列舉的各

21、例都是靜定問題。,特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)中的未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。,51,靜定問題：,特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)中的未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。,實(shí)例,靜不定問題（超靜定問題）：未知量不能全部由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。,特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。,2.5 靜定與靜不定的概念 物體系統(tǒng)的平衡,2.5.1 靜定與靜不定的概念,52,物體系平衡時,構(gòu)成物體系的每部分都處于平衡。設(shè)一物體系由 n 個物體構(gòu)成,則每個物體一般可列出3個獨(dú)立的平衡方程,整個物體系則可列出3n個平衡方程。若物體系的未知量個數(shù)為3n個，問題可解，物體系為靜定系統(tǒng)。,討論物體系統(tǒng)平衡時，不僅

22、要考慮系統(tǒng)的外力，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力（內(nèi)力）。,若物體系的未知量多于3n個,問題不可解，則為靜不定系統(tǒng)。本部分不討論靜不定系統(tǒng)。,2.5 靜定與靜不定的概念 物體系統(tǒng)的平衡,2.5.2 物體系統(tǒng)的平衡,53,解：,（方案2）沖頭B和整體,（方案1）沖頭B和輪,全面進(jìn)行受力分析， 確定解題方案。,二力桿 相連的物體受力等值、反向，性質(zhì)與桿的受力一致。為簡便起見，二力桿的受力圖可以不畫。,54,例2-12 曲軸沖床由輪I、連桿AB和沖頭B組成。OAR，ABl。當(dāng)OA水平、沖壓力為F時系統(tǒng)處于平衡。求：(1) m；(2) O點(diǎn)約束力；(3) AB受的力；(4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。,解：,（1）研究對象：沖頭,方案1:沖頭B和輪,（2）研究對象：輪,FOy,FOx,m,55,解：,解題方案： CD和整體,整體上4個要求的力，在相關(guān)的受力圖上若能求出其中1個力，即可求其它力。,相關(guān)物體CD上有3個要求的力，可解。,受力分析：,先分析整體受力,56,例2-13 已知F20kN，q10kN/m，m2