2012-2013學年秋季學期《微積分A4》(A卷)答案

1、第 1 頁 ( 共 5 頁 )成績A、 B、 C、 D、得分評卷人二. 填空題：（每小題3分，共 15 分）6、的麥克勞林展開式為；7、冪級數(shù)在上的和函數(shù)為；8、微分方程的通解為；9、設為平面被柱面所限的部分，則的面積為；10、設為球面的外側，則曲面積分。草 稿 區(qū)上海大學20122013學年 秋 季學期試卷 A卷微積分A（四）（課程號）參考答案和評分標準 應試人聲明： 我保證遵守上海大學學生手冊中的上海大學考場規(guī)則，如有考試違紀、作弊行為，愿意接受上海大學學生考試違紀、作弊行為界定及處分規(guī)定的紀律處分。應試人 應試人學號 應試人所在院系 題號一二三四五六得分評卷人一

2、. 單項選擇題：（每小題3分，共15分）1、冪級數(shù)的收斂域為 （ A ）A、 B、 C、 D、2、設冪級數(shù)、和收斂半徑分別為、和，則 （ B ）A、 B、 C、 D、3、微分方程 必有如下形式的特解 ( D )A、 B、 C、 D、4、設為拋物線上從點到點的弧段，則曲線積分 （ B ）A、 B、 C、 D、5、設為正方向的圓周，則曲線積分 ( C )第 2 頁 ( 共 5 頁 )14、設向量場，求散度和旋度。解：記，則， 1+1分 2+1分草 稿 區(qū) 得分評卷人三.計算下列各題：（每小題5分，共20分）11、設是方程為的星形線，求其弧長。解：， 2分 1分 由對稱性， 1分 1分12、計算曲面

3、積分，其中是半錐面上的部分。解：， 2分 1分原式，其中表示在面上的投影 1分 1分13、計算曲線積分，其中是正方向的橢圓。解：記為反方向的單位圓，為與所界區(qū)域，由格林公式， 1分 1分而， 1分 1分故 1分第 3 頁 ( 共 5 頁 )18、求冪級數(shù)在上的和函數(shù)。解： ， 1分 ， ， ， 1分 1分， ， 1分 2分故 ， 1分草 稿 區(qū) 得分評卷人四.計算下列各題：（每小題7分，共28分）15、求微分方程滿足初始條件和的解。解：令，則，方程在附近可化為， 1+1+1分 在兩端積分并化簡， 1分由初始條件時，和，即有， 1分在兩端積分：，再由初始條件，故或 1分 1分16、求微分方程的通

4、解。解：令，有， 即 （*） 1+1+1分 特征方程的根， （*）有特解， 1+1分 代入（*），即， 1分 （*）的通解， 故原方程通解 1分17、將展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂域。解：， 利用， 2+1分， ， 1+1分 故， 收斂域為 1+1分第 4 頁 ( 共 5 頁 ) 草 稿 區(qū) 得分評卷人五.計算下列各題：（每小題8分，共16分）19、計算曲面積分，其中是半球面， 的上側。解：添一平面：，并取下側，則構成一封閉曲面（取內側），記所圍區(qū)域為，在面上的投影，由高斯公式 2分注意到對稱性， 有， 1+1+1分而， 1+1分 故 1分20、設二階連續(xù)可微，且使曲線積分與路徑無關，試求所有滿足條件的函數(shù)。解：記，由積分與路徑無關的條件 2分有，即 ， （*） 1分由于特征方程的根， 1分（*）有特解， 1+1分代入（*）， 1分故 1分第 5 頁 ( 共 5 頁 ) 草 稿 區(qū) 得分評卷人六.應用題：（共6分）21、有甲乙兩人，乙對甲采取盯梢，即乙的行進方向指向甲的位置并保持與甲的距離不變。若甲和乙的初始位置坐標分別為和，且甲沿軸正向行進，試求出乙行進的軌跡方程。解：設同一時刻甲和乙的位置坐標分別為和， 由乙的行進方向與乙甲位置的連