【數(shù)學(xué)】2015年高考真題――福建卷(文)

1、第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1若（是虛數(shù)單位），則的值分別等于（ ）A B C D2若集合，則等于（ ） A B C D3下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )A B C D 4閱讀如圖所示的程序框圖，閱讀相應(yīng)的程序若輸入的值為1，則輸出的值為（ ）A2 B7 C8 D1285若直線過點，則的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D56若，且為第四象限角，則的值等于（ ）A B C D 7設(shè)，若，則實數(shù)的值等于（ ）A B C D8如圖，矩形中，點在軸上，點的坐標(biāo)為且點與點在函數(shù)的圖像上若在矩形內(nèi)隨機取一點，則該

2、點取自陰影部分的概率等于（ ）A B C D9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（ ）A B C D10變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)等于（ ）A B C D11已知橢圓的右焦點為短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）A B C D12“對任意，”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13某校高一年級有900名學(xué)生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方

3、法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為_14若中，則_15若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值等于_16若 是函數(shù) 的兩個不同的零點，且 這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于_三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求的值18（本題滿分12分）全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響了的綜合指標(biāo)根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)

4、進(jìn)行分組統(tǒng)計，結(jié)果如表所示組號 分組頻數(shù) 1 2 2 8 3 7 4 3（）現(xiàn)從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進(jìn)行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在的概率；（）根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù)19（本小題滿分12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且（）求拋物線的方程；（）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切20（本題滿分12分）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且（）若為線段的中點，求證平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點在線段上，求的最小值21（本題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的

5、最小正周期；（）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2（）求函數(shù)的解析式；（）證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得22（本小題滿分14分）已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）證明：當(dāng)時，；（）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時，恒有參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1【答案】A【解析】試題分析：由已知得，所以，選A考點：復(fù)數(shù)的概念2【答案】D3【答案】D【解析】試題分析：函數(shù)和是非奇非偶函數(shù)；是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D考點：函數(shù)的奇偶性4【答案】C【解析】

6、試題分析：由題意得，該程序表示分段函數(shù)，則，故選C考點：程序框圖5【答案】C考點：基本不等式6【答案】D【解析】試題分析：由，且為第四象限角，則，則，故選D考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式7【答案】A考點：平面向量數(shù)量積8【答案】B考點：古典概型9【答案】B【解析】試題分析：由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底分別為，直角腰長為，斜腰為底面積為，側(cè)面積為則其表面積為，所以該幾何體的表面積為，故選B考點：三視圖和表面積10【答案】C【解析】試題分析：將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值，則直線縱截距最小，故當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，畫出可行域，如圖所示， 其中顯然

7、不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得，解得，故選C考點：線性規(guī)劃11【答案】A考點：1、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)；2、點到直線距離公式12 【答案】B考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13【答案】【解析】試題分析：由題意得抽樣比例為，故應(yīng)抽取的男生人數(shù)為考點：分層抽樣14【答案】【解析】試題分析：由題意得由正弦定理得，則，所以考點：正弦定理15【答案】【解析】試題分析：由得函數(shù)關(guān)于對稱，故，則，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在遞增，故，所以實數(shù)的最小值等于考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)16【答案】9考點：等差中項和等比中

8、項三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）利用基本量法可求得，進(jìn)而求的通項公式；（）求數(shù)列前n項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前10項和試題解析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得，解得所以考點：1、等差數(shù)列通項公式；2、分組求和法18（本題滿分12分）【答案】（）；（）解法一：（I）融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，；融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取家的所有基本事件是：，共個其

9、中，至少有家融合指數(shù)在內(nèi)的基本事件是：，共個所以所求的概率（II）這家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于解法二：（I）融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，；融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取家的所有基本事件是：，共個其中，沒有家融合指數(shù)在內(nèi)的基本事件是：，共個所以所求的概率（II）同解法一考點：1、古典概型；2、平均值19（本小題滿分12分）【答案】（）；（）詳見解析【解析】試題分析：（）利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化本題由可得，可求的值，進(jìn)而確定拋物線方程；（）欲證明以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切

10、可證明點到直線和直線的距離相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明，可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)試題解析：解法一：（I）由拋物線的定義得因為，即，解得，所以拋物線的方程為（II）因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由，可得直線的方程為由，得，解得或，從而又，所以，所以，從而，這表明點到直線，的距離相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切解法二：（I）同解法一（II）設(shè)以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由，可得直線的方程為由，得，解得或，從而又，故直線的方程為，從而又直線的方程為，所以點到直線的距離這表明以點為圓心且與直線

11、相切的圓必與直線相切考點：1、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和圓的位置關(guān)系20（本題滿分12分）【答案】（）詳見解析；（）；（）【解析】試題分析：（）要證明平面，只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線首先由垂直于圓所在的平面，可證明；又，為的中點，可證明，進(jìn)而證明結(jié)論；（）三棱錐中，高，要使得體積最大，則底面面積最大，又是定值，故當(dāng)邊上的高最大，此時高為半徑，進(jìn)而求三棱錐體積；（）將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，此時線段的長度即為的最小值試題解析：解法一：（I）在中，因為，為的中點，所以又垂直于圓所在的平面，所以因為，所以平面（II）因為點在圓上，所以當(dāng)時，到的距離最大，且最大值為又，所以面積的最大值

12、為又因為三棱錐的高，故三棱錐體積的最大值為（III）在中，所以同理，所以在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示當(dāng)，共線時，取得最小值又因為，所以垂直平分，即為中點從而，亦即的最小值為解法二：（I）、（II）同解法一（III）在中，所以，同理所以，所以在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示當(dāng)，共線時，取得最小值所以在中，由余弦定理得： 從而所以的最小值為考點：1、直線和平面垂直的判定；2、三棱錐體積21（本題滿分12分）【答案】（）；（）（）；（）詳見解析【解析】試題分析：（）首先利用證明二倍角公式和余弦降冪公式將化為，然后利用求周期；（）由函數(shù)的解析式中給減

13、，再將所得解析式整體減去得的解析式為，當(dāng)取1的時，取最大值，列方程求得，從而的解析式可求；欲證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，可解不等式，只需解集的長度大于1，此時解集中一定含有整數(shù)，由周期性可得，必存在無窮多個互不相同的正整數(shù)試題解析：（I）因為所以函數(shù)的最小正周期（II）（i）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個單位長度后得到的圖象又已知函數(shù)的最大值為，所以，解得所以（ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，即由知，存在，使得由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，均有因為的周期為，所以當(dāng)（）時，均有因為對任意的整數(shù)，所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得亦即存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得考點：1、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2、三角不等式22（本小題滿分14分）【答案】() ；（）詳見解析；（）【解析】試題分析：()求導(dǎo)函數(shù)，解不等式并與定義域求交集，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）構(gòu)造函數(shù)，欲證明，只需證明的最大值小于