天津市十二重點中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考試題（二）理（含解析）（通用）

1、天津市十二重點中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考試題（二）理（含解析）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時間120分鐘注意事項：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目填涂在答題卡規(guī)定的位置上2第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑；參考公式：如果事件、互斥，那么一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分 1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解絕對值不等式求出集合中的范圍，根據(jù)為整數(shù)求得集合；再根據(jù)并集定義求得結(jié)果.【詳解】 本題正確選項：【點睛】本題考查集合運算中的并集運算，其中涉

2、及到絕對值不等式的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)約束條件做出可行域，將問題轉(zhuǎn)化成在軸截距最大的問題，可知當(dāng)過點時截距最大，代入點坐標(biāo)求得的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件可得如下圖陰影部分所示的可行域： 則當(dāng)在軸截距最大時，取最大值由平移可知，當(dāng)過點時，截距最大由得：本題正確選項：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中型的最值的求解，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值問題，通過平移來解決.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為9，則輸出的結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照程序框

3、圖運行程序，直到時，輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運行程序，輸入，不滿足，循環(huán)則，不滿足，循環(huán)則，不滿足，循環(huán)則，滿足，輸出結(jié)果本題正確選項：【點睛】本題考查程序框圖中根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，則“”是“”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式分別求出的范圍，根據(jù)解集的包含關(guān)系和充要條件的判定方法得到結(jié)果.【詳解】 ，則 ，則 是的必要不充分條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判定，關(guān)鍵是能夠確定解集之間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.已知為直角三角形，點為斜邊的中點，

4、點是線段上的動點，則的最小值為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將利用線性運算進(jìn)行拆解，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和已知中的長度關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的二次函數(shù)問題，通過求解二次函數(shù)最小值得到結(jié)果.【詳解】由圖形可知：為直角三角形，斜邊為 ，即且，則又為中點 且設(shè)，則當(dāng)時，本題正確選項：【點睛】本題考查向量數(shù)量積取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠通過線性運算將所求數(shù)量積向已知模長和夾角的向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用向量共線定理，構(gòu)造出二次函數(shù)的形式，從而可以利用二次函數(shù)最值的求解方法得到結(jié)果.6.已知函數(shù) ,令，則的大小關(guān)系為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式

5、可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增；將的自變量都轉(zhuǎn)化到內(nèi)，通過比較自變量大小得到的大小關(guān)系.【詳解】定義域為且為上的偶函數(shù)當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增；，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小的問題，能夠通過函數(shù)的解析式得到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為自變量之間的比較是解決問題的關(guān)鍵.7.已知拋物線：的焦點為雙曲線：的頂點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，點在軸上，且滿足，若，則的面積為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線頂點求出拋物線方程；根據(jù)，可知與中點連線垂直于；直線與拋物線聯(lián)立后，借助韋達(dá)定理求出，從而可表示出，利用垂直關(guān)系求得，從而三角形面積

6、可求.【詳解】由題意可知 當(dāng)直線斜率不存在時，不合題意可設(shè)直線為：，且，聯(lián)立，整理得：，由得： 若，則，設(shè)中點為，則點坐標(biāo)為由可知 ，即由橢圓對稱性可知，當(dāng)，仍成立本題正確選項：【點睛】本題考查拋物線中三角形面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過長度的等量關(guān)系分析得到，從而得到斜率之間的關(guān)系，使得問題得以求解.8.已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調(diào)，把的圖象向右平移個單位之后與原來的圖象重合，當(dāng)且時，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入點求出，根據(jù)平移關(guān)系和在上單調(diào)，確定，從而得到；找到區(qū)間內(nèi)的對稱軸，由對稱性可得的值，進(jìn)而代入求得結(jié)果.詳解】過點 ，即又 又的圖象向右平移個單位

7、后與原圖象重合 在上單調(diào) 令，解得，當(dāng)時，為的一條對稱軸又當(dāng)，且時，本題正確選項：【點睛】本題考查三角函數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠通過三角函數(shù)的圖象平移、周期、特殊點等求解出函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的對稱性將問題轉(zhuǎn)化為特定角的三角函數(shù)值求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡中的相應(yīng)橫線上.9.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=_【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算的運算法則求解即可.【詳解】【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.10.在二項式展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中常數(shù)項等于_【答案】28【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為求得，再利用二項式

8、展開式通項公式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：二項式系數(shù)和 則展開式通項公式為：當(dāng)，即時常數(shù)項：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的問題，關(guān)鍵是能夠通過二項式系數(shù)和的性質(zhì)求得.11.已知圓錐的高為3，底面半徑長為4，若球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的體積為_【答案】【解析】【分析】先求圓錐側(cè)面積，再求球半徑，即得球體積.【詳解】因為圓錐側(cè)面積為，因此【點睛】本題考查圓錐側(cè)面積、球表面積與體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為設(shè)點在上，點在上，則的最小值為

9、_【答案】【解析】【分析】利用參數(shù)表示點坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為求到的距離的最小值；利用點到直線距離公式表示出，利用三角函數(shù)知識求得最值.【詳解】由可得： 設(shè)則的最小值即為到的距離的最小值當(dāng)時，本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查距離的最值問題的求解，涉及到極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，解題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為點到直線距離的最值問題，通過參數(shù)方程的意義，利用三角函數(shù)的知識來求解.13.若 則的最小值是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即 由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對數(shù)相

10、等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.14.已知函數(shù)，函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個不同的交點的問題；畫出圖象后可知，當(dāng)與在和上分別相切時，兩切線斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和二次函數(shù)的知識分別求解出兩條切線斜率，從而得到所求范圍.【詳解】有四個零點等價于與有四個不同的交點當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時，此時由此可得圖象如下圖所示：恒過，由圖象可知，直線位于圖中陰影部分時，有四個不同交點即臨界狀態(tài)為與兩段圖象分別相切當(dāng)與相切時，可得：當(dāng)與相切時設(shè)切點坐標(biāo)為，則又恒過，則即，解得： 由圖象可知：【

11、點睛】本題考查利用函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，其中還涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、二次函數(shù)的相關(guān)知識.解決零點問題的常用方法為數(shù)形結(jié)合的方法，將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點問題后，通過函數(shù)圖象尋找臨界狀態(tài)，從而使問題得以求解.三、解答題：本大題6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟15.在中，角、所對的邊分別為、，且（）求角的值；（）若,，求的面積【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用切化弦和正弦定理可得，從而求得；（）利用余弦定理構(gòu)造方程求得，代入三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】（）由得 （）， 整理可得，解得【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)

12、用，屬于常規(guī)題型.16.為響應(yīng)黨中央號召，學(xué)校以“我們都是追夢人”為主題舉行知識競賽?，F(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，王同學(xué)從中任取3道題解答.（）求王同學(xué)至少取到2道乙類題的概率;（）如果王同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立，已知王同學(xué)恰好選中2道甲類題，1道乙類題，用表示王同學(xué)答對題的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（）；（）見解析【解析】【分析】（）至少取到道乙類題的情況可分為：取到道和道乙類題，分別計算出兩種情況的取法，根據(jù)古典概型求得結(jié)果；（）首先確定所有可能的取值，再分別計算每個取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)

13、學(xué)期望的公式求得期望.【詳解】（）設(shè)“王同學(xué)至少取到道乙類題”為事件王同學(xué)取到道乙類題共有種取法王同學(xué)取到道乙類題共有種取法（）的所有可能取值為【點睛】本題考查古典概型的概率問題求解、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計算，屬于常規(guī)題型.17.如圖所示，在多面體中，四邊形為平行四邊形，平面平面，,，點是棱上的動點.（）當(dāng)時，求證平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若二面角所成角的余弦值為，求線段的長.【答案】（）見解析；（）；（）【解析】【分析】（）通過平行四邊形證得，從而根據(jù)線面平行的判定定理證得結(jié)果；（）通過作，可滿足空間直角坐標(biāo)系建立的條件，從而建立坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的向

14、量求法求得結(jié)果；（）根據(jù)向量共線的性質(zhì)用表示出點坐標(biāo)；利用二面角的向量求法建立方程，求得的值，根據(jù)與的長度關(guān)系確定最終結(jié)果.【詳解】（）由已知得且， 則四邊形為平行四邊形 四邊形為平行四邊形 又平面，平面 平面（）過點作交于點， 過點作交于點平面平面，平面平面，平面平面 以為原點建立如圖的空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)平面的法向量為，即令 ， 又 直線與平面所成角的正弦值為（）， 設(shè)平面的法向量為，即，令 ，又可取平面的法向量解得 【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解直線與平面所成角的求解、利用二面角求解未知量的問題.其中利用二面角求解未知量時，通常采用向量共線的性質(zhì)表示出未知量

15、，再根據(jù)二面角來構(gòu)造方程，從而求得未知量.18.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，滿足，是數(shù)列的前項和，滿足 （）求數(shù)列,的通項公式；（）令，設(shè)數(shù)列的前項和，求的表達(dá)式【答案】（），；（）【解析】【分析】（）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求得，進(jìn)而得到公差；利用等差數(shù)列通項公式求得；根據(jù)可證得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式求得；（）對于奇數(shù)項和偶數(shù)項進(jìn)行分組求和；奇數(shù)項采用裂項相消法求和，偶數(shù)項通項采用錯位相減法求和；分別求得結(jié)果后再作和即可.【詳解】（）是等差數(shù)列且 當(dāng)時， 當(dāng)時，又 ，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列 （） 設(shè)前項中奇數(shù)項和為，偶數(shù)項的和為-得： 【點睛】本題考查等差和等比數(shù)列通項公式的求解、數(shù)

16、列求和問題，涉及到的求和方法有分組求和法、裂項相消法、錯位相減法.關(guān)鍵是要明確不同求和方法所試用的通項形式，分組求和法主要適用于通項為和差運算的形式；裂項相消法主要適用于分母為因式乘積形式且兩因式差為定值；錯位相減法適用于通項為等差與等比數(shù)列乘積的形式.19.已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（）求橢圓C的方程；（）過動點的直線交軸的負(fù)半軸于點，交C于點(在第一象限)，且是線段的中點，過點作x軸的垂線交C于另一點，延長線交C于點.(i)設(shè)直線，的斜率分別為，證明：；(ii)求直線的斜率的最小值.【答案】（）；（）(i)見解析；(ii)【解析】【分析】（）根據(jù)拋物線焦

17、點坐標(biāo)求得，再利用離心率和的關(guān)系求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（）(i)利用為線段中點表示出點坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓對稱性得到點坐標(biāo)；利用兩點連線斜率公式表示出和，從而結(jié)論可證；(ii)將直線方程與橢圓方成立聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可用和表示出，利用同理可求得，進(jìn)而利用兩點連線斜率公式寫出所求斜率，結(jié)合基本不等式求出最小值.【詳解】（）拋物線的焦點是 且 ，橢圓的方程（）(i)設(shè)，那么是線段的中點 ，(ii)根據(jù)題意得：直線的斜率一定存在且設(shè)直線為，則直線為聯(lián)立，整理得：利用韋達(dá)定理可知： 同理可得 當(dāng)且僅當(dāng)即為時，等號成立直線斜率最小值為【點睛】本題考察了橢圓問題中的定值類問題、最值類問題的求解，其中還涉及利

18、用橢圓幾何性質(zhì)求解標(biāo)準(zhǔn)方程的問題.本題整體計算量略大，易造成計算錯誤；解決最值問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺髥栴}利用參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成關(guān)于某一參數(shù)的函數(shù)問題，通過求解函數(shù)最值求得所求問題的結(jié)果，20.已知函數(shù)（）當(dāng)時，求在點處的切線方程；（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（）；（）見解析；（）【解析】【分析】（）利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式求得切點和切線斜率，從而得到切線方程；（）通過導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)性由的符號決定；分別在、兩種情況下判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）通過變量遷移可將問題變?yōu)樵谏虾愠闪⒌膯栴}；由與的符號易判斷；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可知時滿足題意；而當(dāng)時，由于存在使得，從而可知時，不等式不成立；由此總結(jié)可得結(jié)果.【詳解】（）當(dāng)時， ，函數(shù)在點處的切線方程為（）由題意，（）當(dāng)時，令，得；，得所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（）當(dāng)時，令，得；，得或所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減（）令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則則對恒成立等價于即，對恒成立