高三數(shù)學(xué) 集合與簡易邏輯考點題型與變式 4集合中的計數(shù)問題（通用）

1、4集合中的計數(shù)問題4.1集合元素的個數(shù)問題【例1】（2020江蘇）已知集合，則集合中元素的個數(shù)為_【解析】，集合中元素的個數(shù)為5【評注】看清題中元素的屬性， 注意元素的互異性，常會把兩個相同的對象錯算作集合中的兩個元素【變式1】（2020新課標(biāo)）已知集合，則集合中的元素個數(shù)為（ ） A 5 B4 C3 D2【變式2】已知集合，中元素個數(shù)為（ ）A2B3C4D5 【變式3】(2020江蘇)已知集合，則集合中有_個元素.【變式4】已知且A中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合A共有_個.【變式5】已知全集UAB中有m個元素，(UA)(UB)中有n個元素若AB非空，則AB的元素個數(shù)為_【例2】（2020廣東

2、卷）設(shè)集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為（ ）A.60 B.90 C.120 D.130【解析】法一：因為的取值只有三種情況：，故.記，則由題意可知.（1）當(dāng)時，只有一個，其余的值都取0，故不同的有序數(shù)對共有個；（2）當(dāng)時，有兩個，其余的值都取0，故不同的有序數(shù)對共有個；（3）當(dāng)時，有三個，其余的值都取0，故不同的有序數(shù)對共有個.綜上，不同的有序數(shù)對共有個，故選D.法二：（間接法）因為的取值只有三種情況：，故.記，則.（1）當(dāng)時， ；（2）當(dāng)時，有4個，其余一個的值取0，故不同的有序數(shù)對共有個；（3）當(dāng)時，有5個，故不同的有序數(shù)對共有個.所以集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為：，故選D.

3、【評注】求解此類集合元素個數(shù)題的關(guān)鍵是過好雙關(guān)：第一關(guān)、分類討論關(guān)、即對集合中的元素所具有的特點，分類進行討論；第二關(guān)、統(tǒng)計關(guān)、即利用排列組合的公式，計算此集合中的元素的總的個數(shù)【變式1】設(shè)集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為_.4.2子集的個數(shù)問題【例3】設(shè)集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（ ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個故擇C【評注】當(dāng)集合元素較少時，可以按子集的元素的個數(shù)分類枚舉，避免遺漏和重復(fù)當(dāng)集合元素較多時，常用如下公式：若集合M中含有個元素，則集合的所有子集個數(shù)為；真子集

4、個數(shù)有【變式1】在集合的子集中，含有元素的子集共有（ ）A2個 B4個 C6個 D8個【變式2】設(shè)集合，則的子集的個數(shù)是（ ）A4 B3 C 2 D1【變式3】已知集合，則集合P的真子集的個數(shù)為（ ）A4 B6 C15 D63【變式4】滿足，且的集合M的個數(shù)是（ ） A1B2C3D4【變式5】設(shè)集合P(x，y)|xy4，x，y，則集合P的非空子集個數(shù)是_4.3和n有關(guān)的元素的個數(shù)【例4】集合，則中所有元素的和等于_. 【解析】首先求出在內(nèi)形式為的整數(shù)， ，中滿足條件的數(shù)為.和為【評注】有關(guān)某范圍內(nèi)的指數(shù)形式的元素個數(shù)問題，常常要學(xué)會估算，或者記住幾個常用的指數(shù)值. 本題中，先研究形如2的、且與

5、1912和2020接近的數(shù)，只有2和2,再試驗，看哪些數(shù)在1912,2020間且具有的形式；閉區(qū)間內(nèi)的整數(shù)個數(shù)為,但若中的是小數(shù)，最簡單辦法就是找簡單例子試驗一下，易得區(qū)間內(nèi)的整數(shù)個數(shù)是不超過的最大的整數(shù). 【變式1】 (2020啟東模擬)設(shè)集合Mm|m2n，nN，且m500，則M中所有元素的和為_【變式2】若是正整數(shù)，區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)是，設(shè)函數(shù)的定義域是()，那么函數(shù)的值域中有_個整數(shù).【變式3】若是正小數(shù)，區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)是設(shè)函數(shù)的定義域是(),那么函數(shù)的值域中有_個整數(shù).答案4.1【例1】1.D【解析】 依題意，得集合，所以集合中的元素個數(shù)為2，故選D2. B【解析】因為，所以當(dāng)時，或，

6、此時；當(dāng)時，或，此時；所以集合共3個元素，應(yīng)選B.3.0【解析】由得.0，A=，.所以中有0個元素.4.5【解析】若A中僅一個奇數(shù),則可以是,;若A中兩個奇數(shù),則為.故A共有5個5. mn【解析】UAB中有m個元素，(UA)(UB)U(AB)中有n個元素，AB中有mn個元素【例2】1. 90【解析】記，由題意.（1）若，則可分為三類：第一類，中含有四個0，一個1，則不同的有序數(shù)對有個；第二類，中含有兩個0，兩個1，一個-1，則不同的有序數(shù)對有個；第三類，中含有兩個-1，三個1，則不同的有序數(shù)對有個；故不同的有序數(shù)對有個.（2）若，則可分為兩類：第一類，中含有三個1，一個-1，一個0，則不同的有

7、序數(shù)對有個；第二類，中含有兩個1，三個0，則不同的有序數(shù)對有個；故不同的有序數(shù)對為個.（3）若，則可分為兩類：第一類，中含有三個1，兩個0，則不同的有序數(shù)對有個；第二類，中含有四個1，一個0，則不同的有序數(shù)對有個；故不同的有序數(shù)對為個.綜上，不同的有序數(shù)對為個.4.2【例3】1.B【解析】A的子集共個，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4個選B.2. A【解析】集合是以原點為對稱中的，長半軸長為3，短半軸長為2的橢圓；集合是過點（0，1）的指數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可知中有兩個元素，所以的子集的個數(shù)是4，應(yīng)選A3.D【解析】由已知得，故集合P的真子集的個數(shù)為4.B【解析】集合M中必含有,則或.故集合M的個數(shù)是2.，選B.5.7【解析】集合P的元素個數(shù)為3，所以其非空子集個數(shù)為：4.3【例4】1.51