黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬試題 理（含解析）（通用）

1、黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬試題 理（含解析）注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2. 作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為（ ）A. 1B. -1C. 3D. -3【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡得到實(shí)部和虛部，令其相等即可得解.【詳解】，由題意知：，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)

2、算及實(shí)部和虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，再求并集即可.【詳解】由，得.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的描述法及并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.向量，若，的夾角為鈍角，則的范圍是（ ）A. B. C. 且D. 【答案】C【解析】【分析】若，的夾角為鈍角，則且不反向共線，進(jìn)而利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】若，的夾角為鈍角，則且不反向共線，得.向量，共線時(shí)，得.此時(shí).所以且.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積研究向量的夾角，當(dāng)為鈍角時(shí)，數(shù)量積為0，容易忽視反向共線時(shí)，屬于易錯(cuò)題.4.雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于（ ）A

3、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分別寫出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的頂點(diǎn)為.漸近線方程為：.雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5. 有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有A. 60種B. 70種C. 75種D. 150種【答案】C【解析】試題分析：因,故應(yīng)選C考點(diǎn)：排列數(shù)組合數(shù)公式及運(yùn)用6.已知某個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. B. 200C. D. 240【答案】B【解析】【分析】還原幾何體得

4、四棱柱，利用三視圖求底面積和高可得解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是以側(cè)視圖的四邊形為底面的四棱柱，高為10，底面面積為，故體積為：.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體及柱體的體積的求解，屬于基礎(chǔ)題.7.下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：首先選項(xiàng)C中函數(shù)的周期為4，故排除C；將分別代入A，B，D，得函數(shù)值分別為，而函數(shù)在對(duì)稱軸處取最值，故選B考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性8.我國古代名著莊子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完.現(xiàn)將該木棍依

5、此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計(jì)算截取20天后所剩木棍的長度（單位：尺），則處可分別填入的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由第一天剩余情況確定循環(huán)體，再由結(jié)束條件確定循環(huán)條件即可.【詳解】根據(jù)題意可知，第一天，所以滿足，不滿足，故排除AB，由框圖可知，計(jì)算第二十天的剩余時(shí)，有，且，所以循環(huán)條件應(yīng)該是.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的實(shí)際應(yīng)用問題，把握好循環(huán)體與循環(huán)條件是解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9.已知是第二象限角，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得，進(jìn)而由同角三角函數(shù)的關(guān)系及角所在象限得，再利

6、用正切的二倍角公式可得解.【詳解】由，得.因?yàn)槭堑诙笙藿牵?故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及正切的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.10.為圓：上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)?，在?nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域上的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得M軌跡是在以為圓心，以為半徑的圓繞原點(diǎn)一周所形成的圖形，根據(jù)幾何概型的概率公式，求出相應(yīng)的面積即可得到結(jié)論【詳解】設(shè),中點(diǎn),則代入，得，化簡得：，又表示以原點(diǎn)為圓心半徑為5的圓，故易知M軌跡是在以為圓心，以為半徑的圓繞原點(diǎn)一周所形成的圖形，即在以原點(diǎn)為圓心，寬度為3的圓環(huán)帶上，即應(yīng)有，那么在

7、C2內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的求解，涉及軌跡問題，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11.已知拋物線焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線交拋物線于，點(diǎn)，在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，以下四個(gè)結(jié)論：，的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值為2.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線為與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理可判斷，由拋物線定義可判斷，由可判斷，由梯形的中位線定理及韋達(dá)定理可判斷.【詳解】物線焦點(diǎn)為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線為.由，得.則，正確；，不正確； ，正確；的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離 .當(dāng)時(shí)取得最小值2. 正確.故選C.【點(diǎn)睛】

8、本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了設(shè)而不求的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的能力，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問題，然后求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】不等式即，結(jié)合可得恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；則的最小值為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)函數(shù)處理恒成立問題，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空

9、題：本大題共4小題，每小題5分.13.在銳角三角形中，分別為角、所對(duì)的邊，且，且的面積為，的值為_【答案】5【解析】【分析】由正弦定理邊化角可得，由面積公式和余弦定理列方程可得.【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得.在銳角三角形中，可得.所以的面積，解得.由余弦定理可得，解得.故答案為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在三棱錐中，則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】【解析】【詳解】如圖,取A為原點(diǎn)、AB和AS所在直線分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn),故,.于是,所求夾角的余弦值為.故答案為：15.如圖所示，有三根針和套在一根針上

10、的個(gè)金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.（1）每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片；（2）在每次移動(dòng)過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為，則_【答案】7,2n-1;【解析】解：設(shè)h（n）是把n個(gè)盤子從1柱移到3柱過程中移動(dòng)盤子之最少次數(shù)n=1時(shí)，h（1）=1；n=2時(shí)，小盤2柱，大盤3柱，小柱從2柱3柱，完成，即h（2）=3=22-1；n=3時(shí)，小盤3柱，中盤2柱，小柱從3柱2柱，用h（2）種方法把中、小兩盤移到2柱，大盤3柱；再用h（2）種方法把中、小兩盤從2柱3柱，完成，h（3）=h（2）h（2）+1=32+1=7

11、=23-1，h（4）=h（3）h（3）+1=72+1=15=24-1，以此類推，h（n）=h（n-1）h（n-1）+1=2n-1，故答案為：7；2n-116.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，則該四面體的外接球的體積為_【答案】【解析】【分析】將四面體補(bǔ)充為長寬高分別為的長方體，體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法，由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長方體上，該長方體的長寬高分別為，長方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線，所以球半徑為，體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過補(bǔ)體得到長方體的外接球從

12、而得解，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：（共60分）17.設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求證是等比數(shù)列，并求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)條件可得，從而證得等比關(guān)系，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用分組求和即可.【詳解】（1），故是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，.（2），故 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造新等比數(shù)列，考查了數(shù)列的遞推關(guān)系及分組求和，屬于基礎(chǔ)題.18.為了解某市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，該市教研機(jī)構(gòu)組織了一

13、次檢測考試，并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績；（精確到個(gè)位）（2）研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布（，約為19.3），按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占；（i）估計(jì)本次檢測成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分？（精確到個(gè)位）（ii）從該市高三理科學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（說明表示的概率.參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）；（2）（i）;(ii) .【解析】【分析】（1）直方圖中，每個(gè)矩形

14、的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)相乘后求和，即可得到該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績；（2）（）令計(jì)算的值；（）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得出的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）該市此次檢測理科數(shù)學(xué)成績平均成績約為： （2）（）記本次考試成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績約為，根據(jù)題意，即.由得，所以，本次考試成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績約為分. （）因?yàn)椋?所以的分布列為YP所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直方圖的應(yīng)用、正態(tài)分別的應(yīng)用以及二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題. 求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示

15、的意義；“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；“求期望”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望對(duì)于某些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項(xiàng)分布），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度19.如圖，矩形所在平面，、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面

16、；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明面，可證得面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)由向量的夾角公式先求解線面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，.（1）證明：，為中點(diǎn)，是平行四邊形，又，面，面面.，為中點(diǎn)，面，面，面，平面平面.（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，.由（1）知面，.直線與平面所成角的正弦值為，由得.設(shè)為面的法向量，則，.由得，面，設(shè)二面角為，為銳角，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面和面面垂直的判斷及性質(zhì)，利用空間直線坐標(biāo)系，通過空間向量求解線面角及二面角，屬于中檔題.20.動(dòng)點(diǎn)滿足

17、.（1）求點(diǎn)的軌跡并給出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線：交點(diǎn)的軌跡于，兩點(diǎn)，設(shè)且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由方程知軌跡為橢圓，進(jìn)而得從而可得解；（2）由得，由直線與橢圓聯(lián)立，可結(jié)合韋達(dá)定理整理得，設(shè)，求其范圍即可得解.【詳解】（1）解：點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：設(shè)，由得由得，由得代入整理顯然的判別式恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得由得，代入整理得.設(shè)，則由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上為增函數(shù)，故得.所以，即的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了“設(shè)而不求”的思想，著重考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

18、21.已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，且，（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：【答案】（1）見解析；（2）（i），（ii）見解析.【解析】【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由可得解，進(jìn)而得單調(diào)區(qū)間；（2）（i）分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，所以，可得解；（ii）先證當(dāng)時(shí)，若，得存在，進(jìn)而證，再證時(shí)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可證得.【詳解】（1），若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，此時(shí)，為增函數(shù)，所以當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增（2）（i）， ，記，則，知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.又， ，在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，即，于是， .當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增.若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，且，易知，所以，解得.（ii）當(dāng)時(shí)有，令.由（i）中的單調(diào)性知，存在，當(dāng).，所以.下證當(dāng)時(shí)，.由，所以，由（i）知，當(dāng)，得.所以，令要證，即證.令單調(diào)遞增，且，所以單調(diào)遞增，所以.得證.【點(diǎn)睛】本題主要研究了函數(shù)