經(jīng)典層次分析法分析及實例教程

1、層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價、最后 作出決策。這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法 解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了 一種能有效處理這類問題的實用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是 一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計分析法兩 種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者 以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近 年

2、發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析 的數(shù)學(xué)工具之一。,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中 間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。 例1 的層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層,方案層,目標(biāo)層,設(shè)某層有 個因素，,2 構(gòu)造成對比較矩陣,要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定 在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把 個因素對上 層某一目標(biāo)的影響程度排序）,用 表示第 個因素相對于第 個因素的比較結(jié)果，則,則稱為成對比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時取19尺度。,尺度,第 個因素與第 個因素的影響相同,第 個因素比第 個因

3、素的影響稍強(qiáng),第 個因素比第 個因素的影響強(qiáng),第 個因素比第 個因素的影響明強(qiáng),第 個因素比第 個因素的影響絕對地強(qiáng),含義,比較尺度：（19尺度的含義）,2,4,6,8表示第 個因素相對于第 個因素的影響介于上述 兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù) 。,2 4 6 8,比較尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9,心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個,用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對

4、比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。,便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：,成對比較陣和權(quán)向量,由上述定義知，成對比較矩陣,則稱為正互反陣。 比如，第二層A的各因素對目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：,滿足一下性質(zhì),1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,由上表，可得成對比較矩陣,問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上 層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗,層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。 用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。 例如 一塊石頭重量記為1

5、，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為：,則可得成對比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,即，,但在上例的成對比較矩陣中，,在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。,一致陣的性質(zhì)：,5. 的任一列(行)都是對應(yīng)于特征根 的特征向量。,若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應(yīng)于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當(dāng)且僅 當(dāng) 時， 為一致陣。,表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。,若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則,（為什么？）,這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.,定義一致性指標(biāo),其中 為 的

6、對角線元素之和，也為 的特征根之和。,則可得一致性指標(biāo),定義隨機(jī)一致性指標(biāo),隨機(jī)構(gòu)造500個成對比較矩陣,隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值：,一致性檢驗：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.1 及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對 進(jìn)行檢驗的過程。,一般，當(dāng)一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量 作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對 加 以調(diào)整。,時，認(rèn)為,4 層次總排序及其一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程， 稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：,對總目標(biāo)Z的排序為,的層次單排序為,即 層第 個因素對 總目標(biāo)的權(quán)值為：,層的層次總排序為：,A,

7、B,層次總排序的一致性檢驗,設(shè) 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為：,當(dāng) 時，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗。到 此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗,2.構(gòu)造成對比較矩陣,從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。,對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較

8、矩陣。,四 層次分析法的優(yōu)點和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同 時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。,3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得 結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局

9、限 性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。 第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點的一種途徑。,思考：多名專家的綜合決策問題,五 正互反陣最大特征值和特征向量實用算法,用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時； 成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計算是沒有必要的。 尋找簡便的近似方法。,定理,對于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對應(yīng) 的歸一化特征向量。,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計算,c) 歸一化,，即令,d) 對于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時,即為所求的特征向量；否則返回b；,e) 計算最大特征值,這是求特征根對應(yīng)特征向量的迭代方法，其收 斂性由定理的3