2012屆高考數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)精選課件(新人教A版)：10.4 推理與證明

1、考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)6,返回目錄,考 綱 解 讀,考 向 預(yù) 測,1.推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實(shí)際上對推理的考查無處不在.從近幾年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理能力，證明題是高考中?？嫉念}型之一. 2.綜合法、分析法是證明不等式常用的方法,不等式的證明近年來高考雖然淡化了單純的證明題，但是以能力立意的、與證明有關(guān)的綜合題卻頻繁出現(xiàn)，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角等綜合，考查邏輯推理能力，是高考考查的一項(xiàng)重要內(nèi)容. 3.反證法在高考中雖很少單獨(dú)命題，但是有時(shí)運(yùn)用反證法的證題思路判斷、分析命題有獨(dú)到之處.,返回目錄,1.由某類事物的部分對象具有某

2、些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是 、 .,由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理,返回目錄,2.由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.簡言之，類比推理是 . 3. 和 都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理. 4.從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理 是 . 5.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

3、,由特殊到特殊的推理,歸納推理,類比推理,由一般到特殊的推理,返回目錄,（1） 已知的一般原理； （2） 所研究的特殊情況； （3） 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷. 6.一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué) 、 、 等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法. 7.一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 為止,這種證明方法叫做分析法.,大前提,小前提,結(jié)論,定義,公理,定理,判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）,返回目錄,8. 反證法是間接證明的一種基本方法. 一般地，假設(shè) 不成立(即在原命題

4、的條件下,結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.,原命題,矛盾,返回目錄,【分析】根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項(xiàng),考點(diǎn)1 歸納推理,在數(shù)列an中，a1=1,an+1= (nN+),猜想這個(gè) 數(shù)列的通項(xiàng)公式.,返回目錄,【解析】 an中，a1=1,a2= a3= a4= , 所以猜想an的通項(xiàng)公式an= . 證明如下：因?yàn)閍1=1,an+1= , 所以 即 所以數(shù)列 是以 =1為首項(xiàng),公差為 的等差數(shù)列. 所以 . 所以通項(xiàng)公式an= .,返回目錄,通過歸納推理得出的結(jié)論可能正確

5、，也可能不正確，它的正確性需通過嚴(yán)格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推理給出證明.雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程，對于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)的發(fā)明是十分有用的.通過觀察實(shí)驗(yàn)，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推 出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.,返回目錄,設(shè)f(n)=n2+n+41,nN*,計(jì)算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10) 的值,同時(shí)作出歸納推理,并用n=40驗(yàn)證猜想是否正確.,返回目錄,f(

6、1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù), 歸納猜想:當(dāng)nN*時(shí),f(n)=n2+n+41的值都為質(zhì)數(shù), 當(dāng)n=40時(shí),f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141. f(40)的值是合數(shù),因此,由上

7、面歸納推理得到的猜想不正確.,返回目錄,在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求證: ，那么在四面體ABCD中，類比上述 結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.,【分析】首先利用綜合法證明結(jié)論正確，然后依據(jù) 直角三角形與四面體之間形狀的對比猜想結(jié)論，并予 以證明.,考點(diǎn)2 類比推理,返回目錄,【證明】如圖11-3-1所示，由射影定理得 AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC. 又BC2=AB2+AC2, 猜想：類比ABAC,ADBC猜想四面體ABCD中，AB,AC,AD兩兩垂直,返回目錄,AE平面BCD.則 如圖，連結(jié)BE交CD于F，連結(jié)AF. ABAC，ABAD, AB平面A

8、CD，而AF面ACD, ABAF.而RtABF中，AEBF, 在RtACD中，AFCD, 故猜想正確.,返回目錄,根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡稱類比）.類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的，也可能是假的，所以類比推理屬于合情推理.雖然類比推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，但是它由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)功能，對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻十分有用.類比推理應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比、歸納、提出猜想.平面圖形中的面積與空間圖形中的體積常常是類比的兩類對象. 類比推理的一般步

9、驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性;（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.,返回目錄,2009年高考江蘇卷在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長比為1:2,則它們的面積比為1:4,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長比為1:2,則它們的體積比為 .,【解析】兩個(gè)正三角形是相似的三角形,它們的面積之比是相似比的平方.同理,兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體,體積之比為相似比的立方,所以它們的體積比為1:8.,返回目錄,在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求證：AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等.,考點(diǎn)3 演繹推理,【分析】解答本題需要利用直角三角

10、形斜邊上的中 線性質(zhì)作為大前提.,返回目錄,【證明】（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角 三角形 大前提 在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提 所以ABD是直角三角形 結(jié)論 （2）因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半 大前提 而M是RtABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線 小前提 所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.,返回目錄,演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理.三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.三段論的公式中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供

11、了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況;這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論.演繹推理是一種必然性推理,演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系.因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.,返回目錄,證明:根據(jù)題意,0 ,0 , 0+,又tan= ,tan= , tan(+)= 0+,+= .,如圖是三個(gè)拼在一起的正方形，求證：+= .,返回目錄,【證明】要證 只要證 a0,故只要證,考點(diǎn)4 分析法證明,已知a0,求證:,【分析】所給條件簡單,所證結(jié)論復(fù)雜,一般采用分析法.,返回目

12、錄,從而只要證 只要證 即 ,而上述不等式顯然成立, 故原不等式成立.,即,返回目錄,分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說,即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 (定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時(shí)命題得證.,返回目錄,已知0a1,0b1,0c1,求證:,返回目錄,證明:a0,b0,c0, 要證 , 只需證1+ab+bc+caa+b+c+abc, 即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0. 1+ab+bc+ca-(a+b+c

13、+abc)=(1-a)(1-b)(1-c), 且a1,b1,c1,(1-a)(1-b)(1-c)0, 1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0成立, .,返回目錄,【分析】不等式中的a,b,c為對稱的，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個(gè)正數(shù)的均值定理，再根據(jù)不等式性質(zhì)推導(dǎo)出證明的結(jié)論.,考點(diǎn)5 綜合法證明,已知a,b,c0.求證：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).,返回目錄,【證明】a2+b22ab,a0,b0, (a2+b2)(a+b)2ab(a+b). a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2. a3+b3a2b+ab2. 同理:b3+c

14、3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2. 將三式相加得: 2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, 3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).,返回目錄,（1）在用綜合法證明不等式時(shí)，常利用不等式的基本性質(zhì)，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件.簡言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法. （2）一般問題都是用綜合法解決的，要保

15、證前提條件正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結(jié)論的正確性.,返回目錄,在銳角三角形ABC中,求證： sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目錄,證明:銳角三角形ABC中，A+B , A -B. 0 -BA . 又在（0, ）內(nèi)正弦函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù), sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcosA. 由+得 sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目錄,【分析】本題結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn)，從正面思考 有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明.,考點(diǎn)6 反證法證明,若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y

16、2,求證： 或 中至少有一個(gè)成立.,返回目錄,【證明】假設(shè) 或 都不成立,則有 和 同時(shí)成立. 因?yàn)閤0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 兩式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 這與已知條件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一個(gè)成立.,返回目錄,（1）當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來證.反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等方面.反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器. （2）利用反證法證明問題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題

17、的結(jié)論證明的定理;否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤.,返回目錄,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn滿足Sn=2an-3n(nN*). (1)求證：an+3為等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列an是否存在三項(xiàng)使它們按原順序可以構(gòu)成等 差數(shù)列?若存在,求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請說 明理由.,返回目錄,(1)證明:Sn=2an-3n(nN*), a1=S1=2a1-3,a1=3. Sn=2an-3n Sn+1=2an+1-3(n+1), 得an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3, an+1+3=2(an+3), an+3是首項(xiàng)為a1+3=6,公比為2的等比數(shù)列. an+3=62n-1,即an=3(2n-1).,又由,返回目錄,(2)假設(shè)數(shù)列an中存在三項(xiàng)ar,as,at(rst),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列. 由(1)知arasat,則2as=ar+at, 6(2s-1)=3(2r-1)+3(