§9.3三重積分及其計算.ppt

1、將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù), 就得到三重積分的定義.,9.3 三重積分及其計算,一、三重積分的概念,三重積分的物理背景 以(x, y, z)為體密度函數(shù)的空間物體的質(zhì)量.,首先, 將閉區(qū)域 任意分成 n個小閉區(qū)域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 個小閉區(qū)域, 也表示它的體積, 在每個vi上任取一點(i, i, i ), 作乘積(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 該和式的極限存在, 則稱此極限為空間物體的質(zhì)量M, 即,當然, 在三維空間定義的函數(shù)u=f(x, y, z

2、)的“幾何”意義是四維空間的“曲面”, 我們可以想象, 但無論如何也無法畫出其“圖形”, 因此我們不再討論其幾何意義. 下面我們給出三重積分的定義:,定義: 設(shè)f(x, y, z)是空間有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù), 將閉區(qū)域 任意分成n個小閉區(qū)域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 個小閉區(qū)域, 也表示它的體積, 在每個vi上任取一點(i, i, i ), 作乘積 f(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 該和式的極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在閉區(qū)域, 上的三重積分, 并記為,即,其中dv 稱

3、為體積元素, 其它術(shù)語與二重積分相同.,同樣有: 閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定可積.,在直角坐標系中, 如果我們用三族(平行于坐標的)平面 x=常數(shù), y=常數(shù), z=常數(shù), 對空間區(qū)域進行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體. 其體積元素為: dv = dxdydz. 三重積分可寫成:,由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì), 不再敘述.,二、三重積分在直角坐標系中的計算法,與二重積分類似, 三重積分可化成三次積行計算.具體可分為先單后重和先重后單兩種類型.,z=z1(x, y),z=z2(x, y),先單后重:,設(shè)閉區(qū)域 在xoy面的投影為閉區(qū)域Dxy . 在閉區(qū)域Dxy內(nèi)任取一點(x, y

4、), 作垂直于xoy面的直線穿過閉區(qū)域 . 穿入 時的下邊界曲面方程: z=z1(x, y) 穿出 時的上邊界曲面方程: z=z2(x, y),先將x, y看作定值, f(x, y, z)看作z的函數(shù), 則積分,為閉區(qū)域Dxy上的函數(shù), 可以理解為壓縮在平面薄片Dxy 上的密度函數(shù).,也稱為先一后二，（ 先z次y后x ）,注意,用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。,化三次積分的步驟,投影，得平面區(qū)域,穿越法定限，穿入點下限，穿出點上限,對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法,例1: 將三重積分,化成三次積分,其中 為長方體, 各邊界面平行于坐標面.,解: 將 投影到x

5、oy面得Dxy , 它是一個矩形: c y d, a x b, 在Dxy內(nèi)任取一點(x, y)作平行于z 軸的直線, 交邊界曲面于兩點, 其豎坐標為l 和m(l m).,例2: 計算,平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域.,其中 是三個坐標面與,解: 畫出 在xoy面上的投影區(qū)域 Dxy: 0 y 1x, 0 x 1, 平行于z 軸直線穿過的下曲面為z=0, 上曲面為z=1xy, 有 0 z 1xy.,x+y+z=1,x+y=1,除了上面介紹的先單后重法(切條法)外, 利用先重后單法或稱截面法也可將三重積分化成三次積分. 先重后單, 就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分.,先重

6、后單:,設(shè)積分區(qū)域 介于兩平行平面z=c1, z=c2(c1c2)之間, 用任一平行且介于此兩平面的平面去截 , 得區(qū)域D(z), c1zc2.,則,易見, 若二重積分容易計算時, 特別是被積函數(shù)f(x, y, z)與x, y無關(guān)時, 則二重積分的結(jié)果就是D(z)的面積, 因此, 用截面法較為方便.,截面法的一般步驟: (1) 把積分區(qū)域 向某軸(例如 z 軸)投影, 得投影區(qū)間c1, c2; (2) 對zc1, c2用過 z 軸且平行xoy面的平面去截, 得截面D(z);,例5: 計算,解: 易見介于z = c 和 z = c 之間, 而,或,故,例6: 計算,解一: 先重后單. 介于z =

7、 0 和 z = 1之間,D(z): x2 + y2 z.,解二: 先單后重. 將 投影到xoy面得投影區(qū)域:,Dxy: x2 + y2 1.,平行于z 軸的直線穿過 的下曲面為z=x2+y2, 上曲面為z=1, 因此有 x2+y2 z 1.,(用極坐標, 用對稱性),所以,所以,此例介紹的是一種計算三重積分的方法, 這種方法也具有一定的普遍性, 這就是我們將要介紹的柱坐標系下的計算法.,三、在柱坐標系下的計算法,設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點, 并設(shè)點M在xoy面上的投影P的極坐標為r, , 則這樣的三個數(shù)r, , z 就叫點M的柱面坐標. 規(guī)定: 0r+, 0 2, z+.,直角坐標與

8、柱面坐標的變換公式:,三重積分 在柱坐標系和球坐標系下的計算,z,M,r,S,z,r =常數(shù) 圓 柱 面 z =常數(shù) 垂直z軸的平面,動點M(r, , z),柱面坐標系的坐標面,z,M,r,S,P,r =常數(shù) 圓 柱 面 z =常數(shù) 垂直z軸的平面,動點M(r, , z),柱面坐標系的坐標面, =常數(shù) 過z軸的半平面,dr,r,rd,d,z,柱面坐標下的體積元素,元素區(qū)域由六個坐標面圍成:,半平面及+d ; 半徑為r及r+dr的圓柱面; 平面z及z+dz;,dr,r,rd,d,z,底面積:rdrd,dz,.,柱面坐標下的體積元素,元素區(qū)域由六個坐標面圍成:,半平面及+d ; 半徑為r及r+dr

9、的圓柱面; 平面z及z+dz;,dr,r,rd,d,z,底面積: rdrd,dz,.,dv,柱面坐標下的體積元素,元素區(qū)域由六個坐標面圍成:,半平面及+d ; 半徑為r及r+dr的圓柱面; 平面z及z+dz;,所以: dv = rdrddz.,所以,然后再把它化為三次積分來計算. 積分次序一般是先z次r后 . 積分限是根據(jù) z, r, 在積分區(qū)域中的變化范圍來確定.,解: 積分區(qū)域 為一圓錐面與平面z=1圍成. 將積分區(qū)域 投影到xoy面得Dxy: x2 + y2 1.,例1:計算三重積分:,則積分限為: 0 2, 0r 1, r z 1.,注: 若空間區(qū)域為以坐標軸為軸的圓柱體, 圓錐體或旋

10、轉(zhuǎn)體時, 通常總是考慮使用柱坐標來計算.,所以,例2: 計算三重積分,面 z=1, z=2 和圓錐面,圍成的區(qū)域.,其中 是由平,解: 確定變量 z, r, 的變化范圍.,r, 的范圍容易定出: 0 2, 0r 2.,z 呢?,當0 r 1時, 1 z 2; 當1 r 2時, r z 2.,作圖!,由圖可以看出:,所以,四、在球坐標系下的計算法,設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點, 則點M可用三個有次序的數(shù)r, , 來確定, 其中 r 為原點O與點M間的距離, 為有向線段OM與 z 軸正向的夾角, 為從 z 軸正向來看自 x 軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP 的夾角, 這里P 為點M在 xoy

11、面上的投影, 這樣的三個數(shù) r, , 就叫做點M的球面坐標.,x=OA y=OB z=OC OM=r.,=OMsin cos =OMsin sin =OMcos,=OPcos =OPsin,所以,規(guī)定: 0 r +, 0 , 0 2 .,S,r,M,r 為常數(shù) 為常數(shù), 球 面 圓錐面,球面坐標系的坐標面:,動點M(r,),C,C,S,M,P,r 為常數(shù) 為常數(shù) 為常數(shù), 球 面 圓錐面 半平面,球面坐標系的坐標面:,動點M(r,),r,dr,d,rsin,圓錐面,rd,球面r,圓錐面 +d,球面r+dr,元素區(qū)域由六個坐標面圍成:,rsind,半平面 及+d ; 半徑為r及r+dr的球面;

12、圓錐面及+d.,球面坐標下的體積元素,d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,.,dv = r2sindrdd,dv,元素區(qū)域由六個坐標面圍成:,半平面 及+d ; 半徑為r及r+dr的球面; 圓錐面及+d.,球面坐標下的體積元素,rsind,然后把它化成對r, , 的三次積分, 具體計算時需要將 用球坐標系下的不等式組表示, 積分次序通常是先r次后.,解一: 用球坐標.,平面 z=a ,x2+y2=z2 ,解二: 用柱坐標.,x2+y2=z2 z=r,所以, : r z a, 0 r a, 0 2 .,例4: 求曲面x2+y2+z22a2與,立體體積.,所圍成的,解: 由錐面和球面圍成.

13、,采用球面坐標.,由x2+y2+z2=2a2 r =,由三重積分的性質(zhì)知: 所求立體的體積V為:,注: 若積分區(qū)域為球體, 球殼或其一部分被積函數(shù)呈x2+y2+z2的形式,而用球坐標后積分區(qū)域的球坐標方程比較簡單, 通常采用球坐標,補充: 利用對稱性簡化三重積分計算,使用對稱性時應(yīng)注意: 1.積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性; 2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個坐標軸的奇偶性.,一般地, 當積分區(qū)域 關(guān)于xoy平面對稱, 且被積函數(shù)f(x, y, z)是關(guān)于 z 的奇函數(shù), 即f(x, y, z)= f(x, y, z),則三重積分為零; 若被積函數(shù)f(x, y, z)是關(guān)于 z 的偶函數(shù),即f(x, y, z)=f(x, y, z), 則三重積分為 在xoy平面上方的半個閉區(qū)域上的三重積分的兩倍.,“你對稱, 我奇偶”.,六、小結(jié):,三重積分換元法: 柱面坐標, 球面坐標.,(1) 柱面坐標的體積元素: dv = rdrddz; (2) 球面坐標的體積元素: dv =