高中數學 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數量積 2.4.2 平面向量數量積的坐標表示、模、夾角學案（無答案）新人教A版必修4（通用）

1、24.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角學習目標1.理解兩個向量數量積坐標表示的推導過程，能運用數量積的坐標表示進行向量數量積的運算.2.能根據向量的坐標計算向量的模，并推導平面內兩點間的距離公式.3.能根據向量的坐標求向量的夾角及判定兩個向量垂直知識點一平面向量數量積的坐標表示設i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量思考1ii，jj，ij分別是多少？答案ii11cos01，jj11cos01，ij0.思考2取i，j為坐標平面內的一組基底，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，試將a，b用i，j表示，并計算ab.答案ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(

2、x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.思考3若ab，則a，b坐標間有何關系？答案abab0x1x2y1y20.梳理設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為.數量積abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知識點二平面向量模的坐標形式及兩點間的距離公式思考1若a(x，y)，試將向量的模|a|用坐標表示答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xyij(yj)2x2i22xyijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a|.思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計算向量的模？答案

3、(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|.梳理向量模長a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)為端點的向量|知識點三平面向量夾角的坐標表示思考設a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a與b的夾角，那么cos如何用坐標表示？答案cos.1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.()2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.()3若兩個非零向量的夾角滿足cos0，則兩向量的夾角一定是銳角()提示當兩向量同向共線時，cos10，但夾角0，不是銳角.類型一數量積的坐標運算例1(1)已知a(2，1)，b(1，

4、1)，則(a2b)(a3b)等于()A10B10C3D3考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點坐標形式下的數量積運算答案B解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.(2)如圖所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，且2，則的值是_考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點坐標形式下的數量積運算答案解析以A為原點，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系AB，BC2，A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，點E為BC的中點，E(，1)，點F在邊CD上，且2，F.(，1)，2.反思與感悟數量

5、積坐標運算的技巧(1)進行數量積運算時，要正確使用公式abx1x2y1y2，并能靈活運用以下幾個關系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2.(2)在平面幾何圖形中求數量積，若幾何圖形規(guī)則易建系，一般先建立坐標系，寫出相關向量的坐標，再求數量積跟蹤訓練1向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a等于()A1B0C1D2考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點坐標形式下的數量積運算答案C解析因為a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，則(2ab)a(1,0)(1，1)1，故選C.類型二平面向量的模例2已知平面向量a(3,

6、5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.考點平面向量模與夾角的坐標表示的應用題點利用坐標求向量的模解(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.反思與感悟求向量a(x，y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系要靈活應用公式a2|a|2x2y2，求模時，勿忘記開方(2)aaa2|a|2或|a|，此性質可用來求向量的模，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化跟蹤訓練2已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，則|b|等于()

7、A.B.C5D25考點平面向量模與夾角的坐標表示的應用題點利用坐標求向量的模答案C解析a(2,1)，a25，又|ab|5，(ab)250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.類型三平面向量的夾角問題例3(2020山東棗莊八中月考)已知點A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O(0,0)，若|，(0，)，則，的夾角為()A.B.C.D.考點平面向量夾角的坐標表示與應用題點求坐標形式下的向量的夾角答案D解析因為|2()222296cos113，所以cos，因為(0，)，所以，所以C，所以cos，因為0，所以，所以，的夾角為，故選D.反思與感悟利用向量的數量積求兩

8、向量夾角的一般步驟(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積(2)利用|a|求兩向量的模(3)代入夾角公式求cos，并根據的范圍確定的值跟蹤訓練3已知a(1，1)，b(，1)，若a與b的夾角為鈍角，求的取值范圍考點平面向量夾角的坐標表示與應用題點已知坐標形式下的向量夾角求參數解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夾角為鈍角，即1且1.的取值范圍是(，1)(1,1)類型四平面向量的垂直問題例4在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點已知向量垂直求參數解(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，則213k0

9、，k；若B90，則2(1)3(k3)0，k；若C90，則1(1)k(k3)0，k.故所求k的值為或或.反思與感悟利用向量數量積的坐標表示解決垂直問題的實質是把垂直條件代數化，若在關于三角形的問題中，未明確哪個角是直角時，要分類討論跟蹤訓練4已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab與a2b垂直，則實數的值為()A.BC.D考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點已知向量垂直求參數答案B解析由向量ab與a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因為a(3,2)，b(1,0)，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.1已知a(3,4)，b(5,12)，則a與b夾角的余弦值為()A.B.C.D.考點

10、平面向量夾角的坐標表示與應用題點求坐標形式下的向量的夾角答案A解析|a|5，|b|13.ab3541263.設a，b夾角為，所以cos.2若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，則x等于()A3B3C.D考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點已知數量積求參數答案A解析abx63，故x3.3已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則等于()A4B3C2D1考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點已知向量垂直求參數答案B解析因為mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.4若平面向量a(1，2)與b的夾角是180，

11、且|b|3，則b等于()A(3,6) B(3，6)C(6，3) D(6,3)考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點已知數量積求向量的坐標答案A解析由題意設ba(，2)(0)，則|b|3，又0，3，故b(3,6)5已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a與b的夾角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求實數的值考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點已知向量垂直求參數解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.1平面向量數量積的定義及其坐標表示，提供了數量積運算的兩種不同的途徑準

12、確地把握這兩種途徑，根據不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程同時，平面向量數量積的兩種形式溝通了“數”與“形”轉化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關問題的有力工具2應用數量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題，在學習中要不斷地提高利用向量工具解決數學問題的能力3注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標形式，二者不能混淆，可以對比學習、記憶若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事實上應用平面向量的數量積公式解答某些平面向量問題時，向量夾角問題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會出現因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角”的

13、范圍，稍不注意就會帶來失誤與錯誤.一、選擇題1已知a(3，1)，b(1，2)，則a與b的夾角為()A.B.C.D.考點平面向量夾角的坐標表示與應用題點求坐標形式下的向量的夾角答案B解析|a|，|b|，ab5.cosa，b.又a，b的夾角范圍為0，a與b的夾角為.2設向量a(2,0)，b(1,1)，則下列結論中正確的是()A|a|b|Bab0CabD(ab)b考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點向量垂直的坐標表示的綜合應用答案D解析ab(1，1)，所以(ab)b110，所以(ab)b.3已知向量a(0，2)，b(1，)，則向量a在b方向上的投影為()A.B3CD3考點平面向量投影的坐標表示與應

14、用題點利用坐標求向量的投影答案D解析向量a在b方向上的投影為3.故選D.4已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a|等于()A1B.C2D4考點平面向量模與夾角的坐標表示的應用題點利用坐標求向量的模答案C解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.5若a(2，3)，則與向量a垂直的單位向量的坐標為()A(3,2)B.C.或D以上都不對考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點向量垂直的坐標表示的綜合應用答案C解析設與a垂直單位向量的坐標為(x，y)，(x，y)是單位向量的坐標形式，1，即x2y21，又(x，y)表示的向量垂直于a，2x3y0，

15、由得或6已知a(1,1)，b(0，2)，且kab與ab的夾角為120，則k等于()A1B2C1D1考點平面向量夾角的坐標表示與應用題點已知坐標形式下的向量夾角求參數答案C解析|kab|，|ab|，(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，又kab與ab的夾角為120，cos120，即，化簡并整理，得k22k20，解得k1.7已知(2,1)，(0,2)且，則點C的坐標是()A(2,6) B(2，6)C(2，6) D(2,6)考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點向量平行與垂直的坐標表示的綜合應用答案D解析設C(x，y)，則(x2，y1)，(x，y2)，(2,1)，2(x2)0，2xy20

16、，由可得C(2,6)二、填空題8已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，則|c|_.考點平面向量模與夾角的坐標表示的應用題點利用坐標求向量的模答案8解析由題意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.9已知a(3，)，b(1,0)，則(a2b)b_.考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點坐標形式下的數量積運算答案1解析a2b(1，)，(a2b)b1101.10設m(a，b)，n(c，d)，規(guī)定兩向量m，n之間的一個運算“”為mn(acbd，adbc)，若已知p(1,2)，pq(4，3)，則q的坐標為_考點平面向量數量積的坐標表示與

17、應用題點已知數量積求向量的坐標答案(2,1)解析設q(x，y)，則pq(x2y，y2x)(4，3)q(2,1)11(2020廣東揭陽惠來一中、揭東一中聯考)已知向量(1,7)，(5,1)(O為坐標原點)，設M為直線yx上的一點，那么的最小值是_考點平面向量數量積的坐標表示與應用題點坐標形式下的數量積運算答案8解析設M，則，(1x)(5x)(x4)28.所以當x4時，取得最小值8.三、解答題12已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且c與a方向相反，求c的坐標；(2)若|b|，且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點向量平行與

18、垂直的坐標表示的綜合應用解(1)設c(x，y)，由ca及|c|2，可得所以或因為c與a方向相反，所以c(2，4)(2)因為(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，所以2|a|23ab2|b|20，所以253ab20，所以ab.所以cos1.又因為0，所以.13平面內有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，點Q為直線OP上的一個動點(1)當取最小值時，求的坐標；(2)當點Q滿足(1)的條件和結論時，求cosAQB的值考點向量平行與垂直的坐標表示的應用題點向量平行與垂直的坐標表示的綜合應用解(1)設(x，y)，Q在直線OP上，向量與共線又(2,1)，x2y0，x2y，(2y，y)又(12y,7y)，(52y,1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故當y2時，有最小值8，此時(4,2)(2)由(1)知(3,5)，(1，1)，8，|，|，cosAQB.四、探究與拓展14已知向量a(1,1)，b(1，m)，其中m為實數，則當a與b的夾角在內變動時，實數m的取值范圍是()A(0,1) B.C.(1，) D(1，)考點平面向量夾角的坐標表示與應用題點已知坐標形式下的向量夾角求參數答案C解析