高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角學(xué)案（無(wú)答案）新人教A版必修4（通用）

1、24.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過(guò)程，能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算.2.能根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模，并推導(dǎo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.3.能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個(gè)向量垂直知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)i，j是兩個(gè)互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量思考1ii，jj，ij分別是多少？答案ii11cos01，jj11cos01，ij0.思考2取i，j為坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基底，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，試將a，b用i，j表示，并計(jì)算ab.答案ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(

2、x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.思考3若ab，則a，b坐標(biāo)間有何關(guān)系？答案abab0x1x2y1y20.梳理設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為.數(shù)量積abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知識(shí)點(diǎn)二平面向量模的坐標(biāo)形式及兩點(diǎn)間的距離公式思考1若a(x，y)，試將向量的模|a|用坐標(biāo)表示答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xyij(yj)2x2i22xyijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a|.思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計(jì)算向量的模？答案

3、(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|.梳理向量模長(zhǎng)a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)為端點(diǎn)的向量|知識(shí)點(diǎn)三平面向量夾角的坐標(biāo)表示思考設(shè)a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a與b的夾角，那么cos如何用坐標(biāo)表示？答案cos.1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.()2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.()3若兩個(gè)非零向量的夾角滿足cos0，則兩向量的夾角一定是銳角()提示當(dāng)兩向量同向共線時(shí)，cos10，但夾角0，不是銳角.類(lèi)型一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例1(1)已知a(2，1)，b(1，

4、1)，則(a2b)(a3b)等于()A10B10C3D3考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)坐標(biāo)形式下的數(shù)量積運(yùn)算答案B解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.(2)如圖所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且2，則的值是_考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)坐標(biāo)形式下的數(shù)量積運(yùn)算答案解析以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)B，BC2，A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，E(，1)，點(diǎn)F在邊CD上，且2，F(xiàn).(，1)，2.反思與感悟數(shù)量

5、積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式abx1x2y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2.(2)在平面幾何圖形中求數(shù)量積，若幾何圖形規(guī)則易建系，一般先建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求數(shù)量積跟蹤訓(xùn)練1向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a等于()A1B0C1D2考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)坐標(biāo)形式下的數(shù)量積運(yùn)算答案C解析因?yàn)閍(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，則(2ab)a(1,0)(1，1)1，故選C.類(lèi)型二平面向量的模例2已知平面向量a(3,

6、5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大??；(2)若ca(ab)b，求|c|.考點(diǎn)平面向量模與夾角的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用坐標(biāo)求向量的模解(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.反思與感悟求向量a(x，y)的模的常見(jiàn)思路及方法(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系要靈活應(yīng)用公式a2|a|2x2y2，求模時(shí)，勿忘記開(kāi)方(2)aaa2|a|2或|a|，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練2已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，則|b|等于()

7、A.B.C5D25考點(diǎn)平面向量模與夾角的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用坐標(biāo)求向量的模答案C解析a(2,1)，a25，又|ab|5，(ab)250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.類(lèi)型三平面向量的夾角問(wèn)題例3(2020山東棗莊八中月考)已知點(diǎn)A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O(0,0)，若|，(0，)，則，的夾角為()A.B.C.D.考點(diǎn)平面向量夾角的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)求坐標(biāo)形式下的向量的夾角答案D解析因?yàn)閨2()222296cos113，所以cos，因?yàn)?0，)，所以，所以C，所以cos，因?yàn)?，所以，所以，的夾角為，故選D.反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩

8、向量夾角的一般步驟(1)利用向量的坐標(biāo)求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積(2)利用|a|求兩向量的模(3)代入夾角公式求cos，并根據(jù)的范圍確定的值跟蹤訓(xùn)練3已知a(1，1)，b(，1)，若a與b的夾角為鈍角，求的取值范圍考點(diǎn)平面向量夾角的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)已知坐標(biāo)形式下的向量夾角求參數(shù)解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夾角為鈍角，即1且1.的取值范圍是(，1)(1,1)類(lèi)型四平面向量的垂直問(wèn)題例4在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量垂直求參數(shù)解(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，則213k0

9、，k；若B90，則2(1)3(k3)0，k；若C90，則1(1)k(k3)0，k.故所求k的值為或或.反思與感悟利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決垂直問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把垂直條件代數(shù)化，若在關(guān)于三角形的問(wèn)題中，未明確哪個(gè)角是直角時(shí)，要分類(lèi)討論跟蹤訓(xùn)練4已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為()A.BC.D考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量垂直求參數(shù)答案B解析由向量ab與a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因?yàn)閍(3,2)，b(1,0)，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.1已知a(3,4)，b(5,12)，則a與b夾角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)

10、平面向量夾角的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)求坐標(biāo)形式下的向量的夾角答案A解析|a|5，|b|13.ab3541263.設(shè)a，b夾角為，所以cos.2若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，則x等于()A3B3C.D考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)已知數(shù)量積求參數(shù)答案A解析abx63，故x3.3已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則等于()A4B3C2D1考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量垂直求參數(shù)答案B解析因?yàn)閙n(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.4若平面向量a(1，2)與b的夾角是180，

11、且|b|3，則b等于()A(3,6) B(3，6)C(6，3) D(6,3)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)已知數(shù)量積求向量的坐標(biāo)答案A解析由題意設(shè)ba(，2)(0)，則|b|3，又0，3，故b(3,6)5已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a與b的夾角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求實(shí)數(shù)的值考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量垂直求參數(shù)解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.1平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示，提供了數(shù)量積運(yùn)算的兩種不同的途徑準(zhǔn)

12、確地把握這兩種途徑，根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過(guò)程同時(shí)，平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問(wèn)題的有力工具2應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長(zhǎng)度等幾何問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力3注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事實(shí)上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問(wèn)題時(shí)，向量夾角問(wèn)題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會(huì)出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角”的

13、范圍，稍不注意就會(huì)帶來(lái)失誤與錯(cuò)誤.一、選擇題1已知a(3，1)，b(1，2)，則a與b的夾角為()A.B.C.D.考點(diǎn)平面向量夾角的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)求坐標(biāo)形式下的向量的夾角答案B解析|a|，|b|，ab5.cosa，b.又a，b的夾角范圍為0，a與b的夾角為.2設(shè)向量a(2,0)，b(1,1)，則下列結(jié)論中正確的是()A|a|b|Bab0CabD(ab)b考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)向量垂直的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用答案D解析ab(1，1)，所以(ab)b110，所以(ab)b.3已知向量a(0，2)，b(1，)，則向量a在b方向上的投影為()A.B3CD3考點(diǎn)平面向量投影的坐標(biāo)表示與應(yīng)

14、用題點(diǎn)利用坐標(biāo)求向量的投影答案D解析向量a在b方向上的投影為3.故選D.4已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a|等于()A1B.C2D4考點(diǎn)平面向量模與夾角的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用坐標(biāo)求向量的模答案C解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.5若a(2，3)，則與向量a垂直的單位向量的坐標(biāo)為()A(3,2)B.C.或D以上都不對(duì)考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)向量垂直的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用答案C解析設(shè)與a垂直單位向量的坐標(biāo)為(x，y)，(x，y)是單位向量的坐標(biāo)形式，1，即x2y21，又(x，y)表示的向量垂直于a，2x3y0，

15、由得或6已知a(1,1)，b(0，2)，且kab與ab的夾角為120，則k等于()A1B2C1D1考點(diǎn)平面向量夾角的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)已知坐標(biāo)形式下的向量夾角求參數(shù)答案C解析|kab|，|ab|，(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，又kab與ab的夾角為120，cos120，即，化簡(jiǎn)并整理，得k22k20，解得k1.7已知(2,1)，(0,2)且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A(2,6) B(2，6)C(2，6) D(2,6)考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用答案D解析設(shè)C(x，y)，則(x2，y1)，(x，y2)，(2,1)，2(x2)0，2xy20

16、，由可得C(2,6)二、填空題8已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，則|c|_.考點(diǎn)平面向量模與夾角的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用坐標(biāo)求向量的模答案8解析由題意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.9已知a(3，)，b(1,0)，則(a2b)b_.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)坐標(biāo)形式下的數(shù)量積運(yùn)算答案1解析a2b(1，)，(a2b)b1101.10設(shè)m(a，b)，n(c，d)，規(guī)定兩向量m，n之間的一個(gè)運(yùn)算“”為mn(acbd，adbc)，若已知p(1,2)，pq(4，3)，則q的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與

17、應(yīng)用題點(diǎn)已知數(shù)量積求向量的坐標(biāo)答案(2,1)解析設(shè)q(x，y)，則pq(x2y，y2x)(4，3)q(2,1)11(2020廣東揭陽(yáng)惠來(lái)一中、揭東一中聯(lián)考)已知向量(1,7)，(5,1)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)M為直線yx上的一點(diǎn)，那么的最小值是_考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)坐標(biāo)形式下的數(shù)量積運(yùn)算答案8解析設(shè)M，則，(1x)(5x)(x4)28.所以當(dāng)x4時(shí)，取得最小值8.三、解答題12已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且c與a方向相反，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|，且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)向量平行與

18、垂直的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用解(1)設(shè)c(x，y)，由ca及|c|2，可得所以或因?yàn)閏與a方向相反，所以c(2，4)(2)因?yàn)?a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，所以2|a|23ab2|b|20，所以253ab20，所以ab.所以cos1.又因?yàn)?，所以.13平面內(nèi)有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，點(diǎn)Q為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)Q滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求cosAQB的值考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用解(1)設(shè)(x，y)，Q在直線OP上，向量與共線又(2,1)，x2y0，x2y，(2y，y)又(12y,7y)，(52y,1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故當(dāng)y2時(shí)，有最小值8，此時(shí)(4,2)(2)由(1)知(3,5)，(1，1)，8，|，|，cosAQB.四、探究與拓展14已知向量a(1,1)，b(1，m)，其中m為實(shí)數(shù)，則當(dāng)a與b的夾角在內(nèi)變動(dòng)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,1) B.C.(1，) D(1，)考點(diǎn)平面向量夾角的坐標(biāo)表示與應(yīng)用題點(diǎn)已知坐標(biāo)形式下的向量夾角求參數(shù)答案C解析