2015高考復(fù)習(xí)專(zhuān)題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 含近年高考試題

1、2015專(zhuān)題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無(wú)極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D若D 恒成立則有(10)若對(duì)、

2、，恒成立，則.若對(duì)，使得,則. 若對(duì)，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對(duì),，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)幾何意義：角度一求切線方程1(2014洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過(guò)曲線yx3上一點(diǎn)P(a，b)的切線方程為()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10解析：選A由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin 2x2cos 2x，

3、則af32sin2cos1.由yx3得y3x2，過(guò)曲線yx3上一點(diǎn)P(a，b)的切線的斜率k3a23123.又ba3，則b1，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，故過(guò)曲線yx3上的點(diǎn)P的切線方程為y13(x1)，即3xy20.角度二求切點(diǎn)坐標(biāo)2(2013遼寧五校第二次聯(lián)考)曲線y3ln xx2在點(diǎn)P0處的切線方程為4xy10，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)解析：選C由題意知y14，解得x1，此時(shí)41y10，解得y3，點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)角度三求參數(shù)的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)

4、圖像的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m等于()A1 B3C4 D2解析：選Df(x)，直線l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，當(dāng)x(ln 2，)時(shí)，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，f(x)0，x10得，x；由F(x)0得，x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.當(dāng)0x3時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數(shù)；當(dāng)2x3時(shí)，f(x)0，x1.當(dāng)0x0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(1，)上為增

5、函數(shù)，不合題意當(dāng)a0時(shí)，f(x)0(x0)等價(jià)于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a1.當(dāng)a0)等價(jià)于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)針對(duì)訓(xùn)練(2014荊州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa

6、)(a0)，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)(3)g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)時(shí)，a0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無(wú)極值當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無(wú)極大值綜上，當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在xln a處

7、取得極小值ln a，無(wú)極大值針對(duì)訓(xùn)練設(shè)f(x)2x3ax2bx1的導(dǎo)數(shù)為f(x)，若函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，且f(1)0.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解：(1)因?yàn)閒(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，從而f(x)62b，即yf(x)關(guān)于直線x對(duì)稱從而由題設(shè)條件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，即f(x)在(，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(2,1)時(shí)，f(x)0

8、，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞增從而函數(shù)f(x)在x2處取得極大值f(2)21，在x1處取得極小值f(1)6.考點(diǎn)五 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題 典例已知函數(shù)f(x)ln xax(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時(shí)，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0x0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.當(dāng)2，即0a時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1

9、,2上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(1)a.當(dāng)12，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a，當(dāng)aln 2時(shí)，最小值是f(1)a；當(dāng)ln 2a1時(shí)，最小值為f(2)ln 22a.綜上可知，當(dāng)0a0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切， (1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，當(dāng)xe時(shí)，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)

10、間5，)上的最大值解(1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因?yàn)閑x0，所以yf(x)的零點(diǎn)就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點(diǎn)，且f(x)與g(x)符號(hào)相同又因?yàn)閍0，所以3x0，即f(x)0，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5. 針對(duì)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)x1處的切線為l：3xy10，若x時(shí)，yf(x)有極值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.當(dāng)x1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2ab0，當(dāng)x時(shí)，

11、yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解之，得x12，x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的取值及變化情況如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值為13，最小值為.考點(diǎn)七：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題及參數(shù)求解 典例(2013全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c

12、，d的值；(2)若x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.()若1ke2，則2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x(x1，)時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，x1)上單調(diào)遞減，在(x

13、1，)上單調(diào)遞增，故F(x)在2，)上的最小值為F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)上單調(diào)遞增，而F(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(2)2ke222e2(ke2)0.從而當(dāng)x2時(shí)，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2針對(duì)訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)x2exxex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x2,2時(shí)，不等式f(x)m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f

14、(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，則f(x)0；若x0，所以f(x)0，則1ex0，所以f(x)0.f(x)在(，)上為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上單調(diào)遞減故f(x)minf(2)2e2，mm恒成立故m的取值范圍為(，2e2)考點(diǎn)八、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題典例(2013河南省三市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axex(a0)(1)若a，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)1a1e時(shí)，求證：f(x)x.解(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)xex.f(x)ex，令f(x)0，得xln 2.當(dāng)x0；當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)x

15、成立()當(dāng)1a1e時(shí)，F(xiàn)(x)ex(a1)exeln(a1)，當(dāng)xln(a1)時(shí)，F(xiàn)(x)ln(a1)時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(，ln (a1)上單調(diào)遞減，在(ln(a1)，)上單調(diào)遞增F(x)F(ln(a1)eln(a1)(a1)ln(a1)(a1)1ln(a1)，10,1ln(a1)1ln(1e)10，F(xiàn)(x)0，即f(x)x成立綜上，當(dāng)1a1e時(shí)，有f(x)x.法二：令g(a)xf(x)xaxex，只要證明g(a)0在1a1e時(shí)恒成立即可g(1)xxexex0，g(1e)x(1e)xexexex，設(shè)h(x)exex，則h(x)exe，當(dāng)x1時(shí)，h(x)1時(shí)，h(x)0，h(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)e1e10，即g(1e)0.由知，g(a)0在1a1e時(shí)恒成立當(dāng)1a1e時(shí)，有f(x)x.針對(duì)訓(xùn)練(2014東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2ax3(a0)，函數(shù)g(x)f(x)ex(x1)，函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若ae，()求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；()求證：x0時(shí)，不等式g(x)1ln x恒成立解：(1)f(x)xax2ax，當(dāng)f(x)0時(shí)，x0或x，又a0，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)的極小值為f(0)0，f(x)的極大值為f.(2)ae，g(x