高中數(shù)學 解題方法介紹12 三角函數(shù) 蘇教版（通用）

1、第12講 三角函數(shù)高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點突出。因此，在復習過程中既要注重三角知識的基礎性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)。以及化簡、求值和最值等重點內(nèi)容的復習，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識的應用意識。一、知識整合1熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法化弦法，降冪法，角的變換法等；并能應用這些方法進行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實際問題2熟練掌握正弦函數(shù)、余弦

2、函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復合函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點，并會用五點畫出函數(shù)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化二、 高考考點分析2020年各地高考中本部分所占分值在1722分，主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分，我認為有以下幾個層次：第一層次：通過誘導公式和倍角公式的簡單運用，解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。第二層次：三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三層次：充分利用三角函數(shù)作為

3、一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì)，解決較復雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復合函數(shù)值域等。三、方法技巧1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。（4）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公

4、式進行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。四、例題分析例1已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) .說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進行弦、切互化，

5、就會使解題過程簡化。例2求函數(shù)的值域。解：設，則原函數(shù)可化為，因為，所以當時，當時，所以，函數(shù)的值域為。例3已知函數(shù)。（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。解： (1)所以的最小正周期，因為，所以，當，即時，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因為，所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。例4 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx

6、+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以當函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為x|x=+k,kZ（2）將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像； （iv）

7、把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當cosx=0時，y=1；當cosx0時，y=+1=+1化簡得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此時對應自變量x的值集為x|x=k+,kZ例5已知函數(shù) （

8、）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標； （）如果ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.解： （）由=0即即對稱中心的橫坐標為（）由已知b2=ac 即的值域為.綜上所述， ， 值域為 . 說明：本題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學生的運算能力，對知識進行整合的能力。例6在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面積。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因為，所以，因為，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。例7已知向量，且，(1)求函數(shù)的表達式；(2)若，求的最大值與最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令導數(shù)，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)導數(shù)00+極大值遞減極小值遞增而所以。例8已知向量，(1) 求的值；(2) (2)