工程力學(xué)-第五講

1、1,第七章 梁的強(qiáng)度問題,2,對于梁的受力彎曲，其橫截面上的應(yīng)力分布將不再均勻，如何確定梁橫截面上的應(yīng)力分布便成了首要解決的問題。 只有確定了梁上任意橫截面的應(yīng)力分布情況，才能知道“危險截面”。 進(jìn)而進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計，考慮是否存在安全問題等。 絕大多數(shù)細(xì)長梁的失效，主要與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)力的影響是次要的，本章將主要確定梁橫截面上正應(yīng)力以及與正應(yīng)力有關(guān)的強(qiáng)度問題。,3,7.1 工程中的彎曲構(gòu)件,4,7.2 與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形的幾何性質(zhì),不同受力形式下桿件的應(yīng)力和變形，不僅取決于內(nèi)力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫截面的幾何形狀有關(guān)。因此，研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強(qiáng)度、

2、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。,5,7.2.1 靜矩、形心及其相互關(guān)系,1. 截面一次矩 或 靜矩,靜矩單位為m3,如果將dA視為垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對于z軸和y軸的力矩，而Sz和Sy則分別為A對z軸和y軸的力矩。,6,圖形幾何形狀的中心稱為形心(Centroid of an area),若將面積視為垂直于圖形平面的力，則形心即為合力的作用點。,設(shè)zc、yc為形心坐標(biāo)，則根據(jù)合力矩定理：,形心坐標(biāo)與靜矩之間的關(guān)系,7,根據(jù)上述關(guān)于靜矩的定義以及靜矩與形心之

3、間的關(guān)系可以看出： 靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)，同一平面圖形對于不同的坐標(biāo)軸有不同的靜矩：對某些坐標(biāo)軸靜矩為正；對另外一些坐標(biāo)軸靜矩則可能為負(fù)；對于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對其靜矩等于零(證明見下一頁)。 如果已經(jīng)計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐標(biāo)系中的位置，則可計算圖形對于這一坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的靜矩。,8,y,z,b,h,C,對于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對其靜矩等于零.,9,對于組合圖形，則先將其分解為若干個簡單圖形(可以直接確定形心位置的圖形)；然后由式(72)分別計算它們對于給定坐標(biāo)軸的靜矩，并求其代數(shù)和，即,10,再利用式子(7-3)，可以得到組合圖形的形心坐標(biāo)：,11,7

4、.2.2 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑,1) 截面二次軸距(second moment of an area),慣性矩(moment of inertia),2) 二次極距(second polar moment of an area),極慣性矩,單位為m4,單位為m4,12,3) 慣性積 (Product of inertia),4) 慣性半徑 (radius of gyration ),單位為m4,定義,慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標(biāo)軸位置的不同，可能為正，可能為負(fù)。三者的單位均為m4。,13,對于圓形橫截面：,此時坐標(biāo)軸通過橫截面的形心，得到極慣性矩為：,類似的得到圓環(huán)

5、截面對于圓環(huán)中心的極慣性矩為：,14,當(dāng)坐標(biāo)軸通過某圓形橫截面的中心，則該圓形橫截面對其中任意兩根軸具有相同的慣性矩。其數(shù)值均為：,類似的，對于圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結(jié)果為：,15,當(dāng)坐標(biāo)軸原點位于矩形橫截面的中心，則其慣性矩分別為：,16,7.2.3 慣性矩與慣性積的移軸定理,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,O,?,b,a,移軸定理要求坐標(biāo)軸通過橫截面的形心。,17,18,7.2.4 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,?,轉(zhuǎn)軸定理不要求坐標(biāo)軸通過橫截面的形心。,19,7.2.5 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩,如果圖形對

6、于過一點的一對坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱這一對坐標(biāo)軸為過這一點的主軸(principal axis)。 圖形對于主軸的慣性矩稱為主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有極大值或極小值的特征。,主慣性矩為：,20,21,22,23,24,25,26,小結(jié),dA,y,z,z,y,r,面積：,截面一次矩(靜矩),截面二次矩(慣性矩),截面二次極矩(極慣性矩),截面二次矩(慣性積),慣性半徑,27,特點：,靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是對某一指定坐標(biāo)系而言。 其中靜矩和慣性積可正可負(fù)，也可以為零。 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑都

7、是大于零的正值，且它們的值隨不同坐標(biāo)系變化而變化。 慣性半徑的量綱是長度的一次方，面積的量綱是長度的二次方，靜矩的量綱是長度的三次方，其余的(慣性矩、慣性積、極慣性矩)量綱是長度的四次方。,28,靜矩和形心位置的確定,單個圖形的情況：,組合圖形的情況：,29,注意幾點：,平面圖形有兩個對稱軸，則形心必定位于兩個對稱軸的交點上。 平面圖形有一個對稱軸，則形心必定必在這一條對稱軸上，只需確定其具體位置即可。,30,在工程中求平面圖形形心時，往往不用積分方法求靜矩，而盡量采用組合圖形求靜矩。 對同一平面圖形選取不同的參考坐標(biāo)系，其形心位置的坐標(biāo)也會不同。但形心在平面圖形中的位置是不變的。 平面圖形對

8、通過其形心的坐標(biāo)軸的靜矩為零，因此若平面圖形對某個軸的靜矩為零，則該坐標(biāo)軸必通過平面圖形的形心。,y,z,h,b,31,平行移軸公式,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,O,?,b,a,如果參考坐標(biāo)系oyz的原點位于形心，則：,32,dA,z,y,y,z,o,z1,y1,y1,z1,轉(zhuǎn)軸公式的幾點說明：,角從原坐標(biāo)軸y量起，以逆時針為正，順時針為負(fù)。 對于同一坐標(biāo)原點的任意兩個坐標(biāo)系yoz和y1o1z1存在下列關(guān)系：,33,主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩,如果圖形對于過一點的一對坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱這一對坐標(biāo)軸為過這一點的主軸(principal axis)。 圖形對

9、于主軸的慣性矩稱為主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有極大值或極小值的特征。,主慣性矩為：,34,幾個簡單平面圖形的形心主慣性矩,圓形截面,環(huán)形截面,矩形截面,35,7.3 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,7.3.1 平面彎曲和純彎曲的概念,對稱面：梁的橫截面具有對稱軸，所有相同的對稱軸組成的平面，稱為梁的對稱面(symmetric plane),梁的橫截面沒有對稱軸，但是都有通過橫截面形心的形心主軸，所有相同的形心主軸組成的平面，稱為梁的主軸平面(plane including principal axis)。由于對稱軸也是主軸

10、，所以對稱面也是主軸平面；反之則不然。以下的分析和敘述中均使用主軸平面。,36,平面彎曲：所有外力(包括力、力偶) 都作用梁的同一主軸平面內(nèi)時，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這種彎 曲稱為平面彎曲(plane bending)。,37,純彎曲：一般情形下，平面彎曲時，梁的橫截面上一般將有兩個內(nèi)力分量，就是剪力和彎矩。如果梁的橫截面上只有彎矩一個內(nèi)力分量，這種平面彎曲稱為純彎曲(pure bending),純彎曲情形下，由于梁的橫截面上只有彎矩，因而，便只有垂直于橫截面的正應(yīng)力。,僅在AB段區(qū)間,38,橫向彎曲：梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，其橫截面上將同時產(chǎn)生剪力

11、和彎矩。這時，梁的橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有切應(yīng)力。這種彎曲稱為橫向彎曲，簡稱橫彎曲(transverse bending)。,7.3.2 純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力分析,分析梁橫截面上的正應(yīng)力，就是要確定梁橫截面上各點的正應(yīng)力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸之間的關(guān)系。 由于橫截面上的應(yīng)力是看不見的，而梁的變形是可以看見的，應(yīng)力又和變形有關(guān)，因此，可以根據(jù)梁的變形情形推知梁橫截面上 的正應(yīng)力分布。,39,1. 平面假定與應(yīng)變分布,在伸長層與縮短層交界處的那一層，既不伸長也不縮短，該層稱為中性層或中性面(neutral surface)。,中性層與橫截面的交線，稱為中性軸(neutral axis),

12、中性軸垂直于加載方向，對于具有對稱軸的橫截面梁，中性軸垂直于橫截面的對稱軸。,40,變形前,變形后,整體變形效果,假設(shè)OO為中性層，并建立如圖所示的坐標(biāo)OXY。,弧AA=,弧OO=dx=,那么弧AA的絕對伸長量為：,那么弧AA的相對伸長量為：,41,(2) 物理方程,假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應(yīng)力狀態(tài)。,橫截面上的彎曲正應(yīng)力沿橫截面的高度方向從中性軸為零開始呈線性分布。 該式子還只是給出了正應(yīng)力分布情況，但是還不能具體求出數(shù)值。主要因為：y坐標(biāo)是從中性軸開始計算的，而中性軸的位置還沒有確定；中性軸的曲率半徑也沒有確定。,42,(3) 純彎曲情況下的靜力學(xué)關(guān)系：,中心軸Z通

13、過截面形心，并且垂直于對稱軸，所以，中心軸的位置就是確定截面的形心位置。,純彎曲時，在任何一個橫截面上只能有彎矩一個內(nèi)力分量，軸力必須等于零。,43,因為y軸為橫截面的一個對稱軸，所以其截面的慣性積等于0。,(7-34),(7-29),(3) 純彎曲情況下的靜力學(xué)關(guān)系：,在橫截面上：,44,5. 最大正應(yīng)力公式與彎曲截面模量,圓形截面,環(huán)形截面,矩形截面,Wz稱為彎曲截面模量,45,6. 梁彎曲后其軸線的曲率公式,這一結(jié)果表明：梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。,46,7.3.3 梁的彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用與推廣,需要注意幾個問題,首先是關(guān)于正應(yīng)力的正負(fù)號：決定正應(yīng)力是拉應(yīng)力還

14、是壓應(yīng)力。確定正應(yīng)力正負(fù)號比較簡單的方法是：首先確定橫截面上彎矩的實際方向，確定中性軸的位置；然后根據(jù)所要求應(yīng)力的那一點的位置，以及“彎矩是由分布正應(yīng)力合成的合力偶矩”這一關(guān)系。就可以確定這一點的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力(圖7-17)。 其次是關(guān)于最大正應(yīng)力計算： 如果梁的橫截面具有一對相互垂直的對稱軸，并且加載方向與其中一根對稱軸一致時，則中性軸與另一對稱軸一致。此時最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對值相等，由式(7-30)計算。,47,如果梁的橫截面只有一根對稱軸，而且加載方向與對稱軸一致，則中性軸通過截面形心并垂直對稱軸。這時，橫截面上最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力，可由絕對值不相等，下列二式分別計算：

15、,48,此外還要注意的是，某一個橫截面上的最大正應(yīng)力不一定就是梁內(nèi)的最大正應(yīng)力，應(yīng)該首先判斷可能產(chǎn)生最大正應(yīng)力的那些截面，這些截面稱為危險截面；然后比較所有危險截面上的最大正應(yīng)力，其中最大者才是梁內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力。保證梁安全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證這種最大正應(yīng)力不得超過允許的數(shù)值。,2. 純彎曲正應(yīng)力可以推廣到橫向彎曲 以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式。對于非純彎曲，也就是橫截面上除了彎矩之外、還有剪力的情形。如果是細(xì)長桿，也是近似適用的。理論與實驗結(jié)果都表明，由于切應(yīng)力的存在，梁的橫截面在梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，這種翹曲對正應(yīng)力分布的影響是很小的。對細(xì)長梁更小，

16、通常都可以忽略不計。,49,7.4 平面彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例,50,51,x,M,52,53,54,55,56,7.5 梁的強(qiáng)度計算,7.5.1 梁的失效判據(jù),與拉伸或壓縮桿件失效類似。 對于韌性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險截面上的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的屈服點時，便認(rèn)為梁發(fā)生失效； 對于脆性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險截面的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的抗拉強(qiáng)度時，便認(rèn)為梁發(fā)生失效。即,57,7.5.2 梁的彎曲強(qiáng)度計算準(zhǔn)則,根據(jù)上述強(qiáng)度條件，同樣可以解決三類強(qiáng)度問題： 強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計、確定許用載荷。,58,7.5.3 梁的彎曲強(qiáng)度計算步驟,根據(jù)梁的彎曲強(qiáng)度設(shè)計準(zhǔn)則，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計算的一般步驟為： 根據(jù)

17、梁約束性質(zhì)，分析梁的受力，確定約束力。 畫出梁的彎矩圖：根據(jù)彎矩圖，確定可能的危險截面。 根據(jù)應(yīng)力分布和材料的拉伸與壓縮強(qiáng)度性能是否相等，確定可能的危險點: 對于拉、壓強(qiáng)度相同的材料(如低碳鋼等)，最大拉應(yīng)力作用點與最大壓應(yīng)力作用點具有相同的危險性，通常不加以區(qū)分； 對于拉、壓強(qiáng)度性能不同的材料(如鑄鐵等脆性材料)最大壓應(yīng)力作用點和最大壓應(yīng)力作用點都有可能是危險點。,秘笈,59,應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計算： 對于拉伸和壓縮強(qiáng)度相等的材料，應(yīng)用強(qiáng)度條件式(7-38)和式(7-39)； 對于拉伸和壓縮強(qiáng)度不相等的材料，強(qiáng)度條件式 (7-38)和式(7-39)可以改寫為,抗拉許用應(yīng)力,抗拉強(qiáng)度,60,

18、61,62,63,64,2. 根據(jù)危險截面上的正應(yīng)力分布確定可能的危險點,65,3. 計算危險點的正應(yīng)力，進(jìn)行強(qiáng)度校核,上述結(jié)果表明：梁上所有危險截面的危險點的強(qiáng)度都是安全的。,66,67,由此解出：,于是得到了Fp加在輔助梁上作用點的范圍為：,68,2. 確定輔助梁所需要的工字鋼型號,69,70,7.6 斜彎曲,當(dāng)外力施加在梁的對稱面(或主軸平面)內(nèi)時，梁將產(chǎn)生平面彎曲。 所有外力都作用在同一平面內(nèi)，但是這一平面不是對稱面(或主軸平面)，梁也將會產(chǎn)生彎曲，但不是平面彎曲，這種彎曲稱為斜彎曲(skew bending)。 還有一種情形也會產(chǎn)生斜彎曲。這就是所有外力都作用于對稱面(或主軸平面)內(nèi)

19、，但不是同一對稱面(梁的截面具有兩個或兩個以上對稱軸)或主軸平面內(nèi)。,71,7.6 斜彎曲,為了確定斜彎曲時梁橫截面上的應(yīng)力，在小變形的條件下，可以將斜彎曲分解成兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)(或主軸平面)的平面彎曲，然后將兩個平面彎曲引起的同一點應(yīng)力的代數(shù)值相加。便得到斜彎曲在該點的應(yīng)力值。,72,上式不僅對于矩形截面，而且對于槽形截面、工字形截面也是適用的。因為這些截面上由兩個主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都發(fā)生在同一點。,對于圓截面，上述計算公式是不適用的。這是因為，兩個對稱面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應(yīng)力不發(fā)生在同一點，最大壓應(yīng)力也不發(fā)生在同一點。,對于圓截面，因為過形心的任意軸均為截面的

20、對稱軸，所以當(dāng)橫截面上同時作用有兩個彎矩時，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對稱軸分布，合彎矩的作用面仍然與對稱面一致，所以平面彎曲的公式依然適用。于是，圓截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力計算公式為,73,此外還可以證明，斜彎曲情形下，橫截面依然存在中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的形心，但不垂直于加載方向，這是斜彎曲與平面彎曲的重要區(qū)別。,74,y,z,FP,75,3. 計算兩個平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力,76,77,具有很強(qiáng)的工程意義！,78,7.7 彎矩與軸力同時作用時橫截面上的正應(yīng)力,當(dāng)桿件同時承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線方向的縱向力時，桿件的橫截

21、面上將同時產(chǎn)生軸力、彎矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面上產(chǎn)生正應(yīng)力。,如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種情形稱為偏心加載。這時如果將縱向力向橫截面的形心簡化，同樣，將在桿件的橫截面上產(chǎn)生軸力和彎矩。,79,80,81,82,2. 確定危險截面并計算最大應(yīng)力,83,84,7.8 結(jié)論與討論,7.8.1 關(guān)于彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用條件,平面彎曲正應(yīng)力公式只能應(yīng)用于平面彎曲情形。對于截面有對稱軸的梁，外加載荷的作用線必須位于梁的對稱平面內(nèi)，才能產(chǎn)生平面彎曲。對于沒有對稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位于梁的主軸平面內(nèi)，也可以產(chǎn)生平面彎曲。 只有在彈性范圍內(nèi)加載，橫截面上

22、的正應(yīng)力才會線性分布，才會得到平面彎曲正應(yīng)力公式。 平面彎曲正應(yīng)力公式是在純彎情形下得到的，但是，對于細(xì)長桿，由于剪力引起的切應(yīng)力比彎曲正應(yīng)力小得多，對強(qiáng)度的影響很小，通常都可以忽略。 由此，平面彎曲正應(yīng)力公式也適用于橫截面上有剪力作用的情形。也就是對于細(xì)長梁純彎曲的正應(yīng)力公式也適用于橫彎曲。,85,7.8.2 彎曲切應(yīng)力的概念,當(dāng)梁發(fā)生橫向彎曲時，橫截面上一般都有剪力存在，截面上與剪力對應(yīng)的分布內(nèi)力在各點的強(qiáng)弱程度稱為切應(yīng)力，用希臘字母表示。 切應(yīng)力的方向一般與剪力的方向相同，作用線位于橫截面內(nèi)，如圖7-30所示。,彎曲切應(yīng)力在截面上的分布是不均勻的，分布狀況與截面的形狀有關(guān)，一般情形下最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面中性軸上的各點。,86,對于寬度為b、高度為h的矩形截面，最大切應(yīng)力為:,對于直徑為d的圓截面，最大切應(yīng)力為:,對于內(nèi)徑為d、外徑為D的圓環(huán)截面，最大切應(yīng)力為:,87,7.8.3 關(guān)于截面的慣性矩,橫截面對于某一軸的慣性矩，不僅與橫截面的面積大小有關(guān)，而且還與這些面積到這一軸的距離的遠(yuǎn)近有關(guān)。同樣的面積，到軸的距離遠(yuǎn)者，慣性矩大；到軸的距離近者，慣性矩小。為了使梁能夠承受更大的力，我們當(dāng)然希望截面的慣性矩越大越好。,對于圖7-31a中承受