高中數學論文：巧解外接球的問題（通用）

1、巧解外接球問題 摘要：外接球有關計算問題在近年高考試題中屢見不鮮，本文就長方體、正方體及棱錐的外接球有關問題，給出了特殊解法。關鍵詞：巧解 外接球 問題普通高中數學課程標準中對立體幾何初步的學習提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；?！庇纱丝梢姡L方體模型是學習立體幾何的基礎，掌握長方體模型，對于學生理解立體幾何的有關問題起著非常重要的作用。有關外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的難點之一，這與學生的空間想象能力以及化歸能力有關，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。

2、一、直接法1、求正方體的外接球的有關問題例1 （2020年廣東高考題）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 .解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因為正方體內接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故表面積為.例2 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，則該球的體積為 .解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對角線，因此，由正方體表面積可求出棱長，從而求出正方體的體對角線是所以球的半徑為.故該球的體積為.2、求長方體的外接球的有關問題例3 （2020年天津

3、高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為，則此球的表面積為 .解析：關鍵是求出球的半徑，因為長方體內接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為，故球的表面積為.例4、（2020年全國卷I）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）.A. B. C. D. 解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，因此，長方體的長、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例3，故選C.二、構造法1、構造正方體例5 （2020年福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是

4、 .解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側棱兩兩垂直，使我們很快聯想到長方體的一個角，馬上構造長方體，且側棱長均相等，所以可構造正方體模型，如圖1，則，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是.(如圖1)圖2圖1例 6 （2020年全國卷）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 解析：一般解法，需設出球心，作出高線，構造直角三角形，再計算球的半徑.在此，由于所有棱長都相等，我們聯想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構造一個

5、正方體，再尋找棱長相等的四面體，如圖2，四面體滿足條件，即，由此可求得正方體的棱長為1，體對角線為，從而外接球的直徑也為，所以此球的表面積便可求得，故選A. (如圖2)例7（2020年山東高考題）在等腰梯形中，為的中點，將與分布沿、向上折起，使重合于點，則三棱錐的外接球的體積為（ ）.A. B. C. D. 解圖3析：（如圖3） 因為，所以，即三棱錐為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故選C. 例8 （2020年浙江高考題）已知球的面上四點A、B、C、D，則球的體積等于 .解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于，聯想長方體中的相應線段關系，構造如圖4所示的長方體，又因為，則此長方體為正方體，所以長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.（如圖4）圖42、構造長方體例9（2020年安徽高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，若，則B、C兩點間的球面距離是 .圖5解析：首先可聯想到例8，構造下面的長方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑，要求B、C兩點間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點間的球面距離是.（如圖5）參