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文檔簡介

1、含有加減運算未定式中的等價代換楊 玉 華一、預備知識我們以為例，對其它的極限過程仍成立。1）無窮?。喝簦瑒t稱當時為無窮小。2）等價無窮?。喝?，且，則稱當時與為等價無窮小，記為。3）無窮小等價代換定理：當時，均為無窮小，且，。如果存在，則存在且有使用無窮小等價代換定理，可使極限運算簡化，例如：例1：求 解：當時，由無窮小等價代換定理可知此極限亦可借助于羅比塔法則求解，但麻煩多了。再如例2： 解：當時，上述求極限過程使用等價的因子之間是乘積或相除的關系，等價代換可以任意使用，不會出現(xiàn)什么問題。但若這些因子間是相加或相減的關系，使用等價代換就會出現(xiàn)問題。例如，求。此題正確解法是使用羅比塔法則，如下：

2、若直接使用無窮小等價代換，就會出現(xiàn)如下情況：為什么會出現(xiàn)這種情況呢？因為當時與不等價，所以不能利用等價代換定理。對含有加減運算的不定式，何時可以用無窮小等價代換定理呢？下面的討論就回答了這個問題。二、形如的不定式以下我們用到的均為時的無窮小量。以型為例給出使用條件。結論1：當時，且存在，則也存在且。證明：由 知由無窮小等價代換定理可知，結論1成立。注意，結論1中的條件是不能少的，否則結論不成立。有了結論1，再求含有加減運算未定式的極限就簡便多了。例3：求解：例4：求解：例5：求極限解：若，則結論1不能直接用，需要選取適當?shù)暮汀＝Y論2：設，在x0的某個領域內具有n+1階連續(xù)導數(shù)，且不恒為零。，分別為，的n次泰勒多項式，且0。當時，則（1）當時，；（2）若存在，則存在，且。證明：（1）由泰勒公式有從而有即時，。又，所以。（2） 其中所以結論成立。此結論的使用，需要掌握泰勒公式，和羅比塔法則相比，優(yōu)點不是很突出。所以當我們遇到時，

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