云南省峨山彝族自治縣2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何備考學(xué)案 新人教A版選修2-1（通用）

1、備注方案3空間向量和立體幾何一、空間向量的概念和運算1 .在空間中，具有大小和方向的量稱為空間向量2 .矢量可以用有向線段表示。 有向線的長度表示矢量的大小，箭頭指向的方向表示矢量的方向3 .將向量的大小稱為向量的類型(或長度)，記為4 .地震震級(長度)為0的向量稱為零向量，類型為1的向量稱為單位矢量5 .將與向量長度相等方向相反的向量稱為的相反向量。6 .方向相同、類型相等的矢量稱為相等矢量即，若將空間上以相同點o為起點的兩個已知的向量作為鄰接邊來制作平行四邊形，則以o為起點的對折角線為和，求該向量和的方法是向量相加的平行四邊形8 .求兩個向量差的運算稱為向量減法，遵循三角形法則9 .實數(shù)

2、和空間向量的乘積是向量，稱為向量的乘法。 當(dāng)時和方向相同，當(dāng)時和方向相反，零矢量記載為.的長度是長度的兩倍10 .實數(shù)，只要空間上的任何兩個向量，乘法都滿足分配律和聯(lián)合律分配律： 結(jié)合律。11 .如果存在表示空間的有向線段的直線相互平行或者重疊，則將這些個的向量稱為共線向量或者平行向量，規(guī)定零向量和任何向量都是共線12 .向量共線的充分條件：對于空間的任意兩個向量，的充分條件是存在實數(shù)1-3 .平行于同一平面的向量稱為共面量14 .向量共面定理：空間的一點在平面內(nèi)的充分條件是有序?qū)崝?shù)對存在，或者對于空間的任意點，或者是4點，共面的話15.2個非零向量的和是已知的，如果在空間上取任意點，則稱為向

3、量、的夾角， 2個向量夾角可取的值的范圍為：16 .對于兩個非零向量之和，如果向量相互垂直。17.2個非零向量之和已知，稱為的數(shù)量積，即.零向量和任意向量的數(shù)量積標(biāo)記為0。18 .在相等長度和方向上的心理投射的乘積19 .非零矢量，如果是單位矢量，則有； 、； 。20、矢量積的運算法則： ；。例1 :如該圖所示，在空間四邊形OABC中，如果=a、=b、=c、點m在OA上，并且OM=2MA、n在BC中點，則等于()A.a-b cB.-a b cC.a b-cD.-a b-c已知例|a|=1、|b|=，如果a-b垂直于a，則a和b的夾角為()A.60B.30C.135D.45二、空間向量的坐標(biāo)和坐

4、標(biāo)運算1 .如果是，則空間的三個垂直向量，其中對于任何空間向量存在規(guī)則真實陣列，并且向量被稱為“、上的分量”2 .空間向量基本定理： 3個矢量，如果不在同一平面內(nèi)，則對于任何空間矢量都存在實陣列3 .由三個向量、非共面的所有空間向量構(gòu)成的集合，該集合稱為向量、生成的、空間的一個基底，可以認(rèn)為空間的任意三個非共面的向量構(gòu)成空間的一個基底。4 .以具有共同起點的3個垂直的單位矢量(將這些個稱為單位正交基底)、的共同起點為原點，分別以、的方向為軸、軸、軸的正方向來作成空間直角坐標(biāo)系設(shè)定為.是零以外的矢量如果是那樣的話.。，是。例1 :已知的空間4點a (4，1，3 )、b (2，3，1 )、c (3

5、，7，-5)、D(x，- 1，3 )共面。A.4B.1 C.10D.11已知a=(1，2，-y )、b=(x，1，2 )，如果(a2b )是(2a-b )的話()。A.x=、y=1B.x=、y=-4C.x=2，y=- D.x=1，y=-1例3 :已知a=(2，4，x )、b=(2，y，2 )，如果|a|=6，ab，則xy的值為()A.-3或1B.3或-1C.-3D.1例4 :已知空間三點a (0，2，3 )、b (-2，1，6 )、C(1，- 1，5 )。求出以(1)、為鄰邊的平行四邊形面積(|a|=、且a分別垂直于、則求向量a的坐標(biāo)。三、立體幾何中的矢量方法1 .在空間中，如果以某一點為基點

6、，則能夠用矢量表示空間中任意點的位置.點是直線上的點，向量表示直線的方向向量。對于直線上的任何點，這樣的點和向量不僅表示直線的位置，也可以具體表示直線上的任何點。假設(shè)這兩條交叉線與點相交，則它們的方向向量分別是平面上的任意點，因為存在規(guī)則的實數(shù)對，所以該點和向量決定平面的位置.4 .直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量5 .如果空間不重疊兩條直線，則的方向向量分別為、的雙曲馀弦值。6 .如果直線的方向矢量是，則平面的法向量是的雙曲馀弦值。7 .空間不重疊的兩個平面的法向量分別是、的雙曲馀弦值。8 .異面直線所成的角度，方向向量所成的角度有的9 .設(shè)直線的方向矢量與平面的法向量所成

7、的角為所成的角，則為10 .二面角的兩個面，如果是其法向量，則向量，的夾角(或其校正角)為二面角的平面角的大小。11 .點和點之間的距離能夠被轉(zhuǎn)換為兩點對應(yīng)向量的地震震級校正運算12 .在直線上搜索點，如果經(jīng)過定點并且與直線垂直的向量是，則從定點到直線的距離是13 .點是平面外的點，是平面內(nèi)的一定點，是平面的法向量，從點到平面的距離是例1 :在圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1是立方形，得出以下結(jié)論。直線DD1的單向式向量為(0，0，1 )； 直線BC1的單向式向量為(0，1，1 )；平面ABB1A1的法向量為(0，1，0 )； 平面B1CD的一個法向量是(1，1，1 )。正確的個數(shù)

8、是()a .一個b .兩個c .三個d .四個例2 :平面的法向量u=(x，1，-2)、平面的法向量v=、，我的意思是例3 :在正四棱錐P-ABCD中，底面正方形的邊的長度為3，角錐的棱的長度為5，e、f、g分別在BC、CD、PC的中點，求出證據(jù)。(1)EFPA(2)EF平面PBD(3)直線PA與平面EFG不平行。例4 :如圖所示，在四角錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形、PA平面ABCD、AP=AB=2，BC=2、e、f分別在AD、PC的中點求證： PC平面BEF。例5 :如圖所示，在四角錐P-A BCD中，ABCD、ABAD、AB=4、AD=2、CD=2，PA平面ABCD，PA=4。(1

9、)求證： BD平面PAC；(2)點q是線段PB的中點，求出直線QC與平面PAC所成的角的正弦值.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，e是CD中點。(1)征求證據(jù)： B1EAD1；(2)棱AA1上是否存在少許p，DP平面B1AE？ 如果存在，求出AP的長度如果不存在，說明理由(3)若二面角A-B1E-A1的大小為30，則求出AB的長度。例7 :三角柱ABC-A1B1C1的各角錐的長度都是a的正三角柱，d是側(cè)棱CC1的中點。(1)求證：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求出從點c到平面AB1D的距離。參考回答：一、空間向量的概念和運算例1 :【回答】b【解析】=-=

10、()-=-a b c。例2 :【回答】da-b與a垂直，a=0。aa-ab=|a|2-|a|b|cosa，b=1-1cosa，b=0，cosa，b=。0a、b180、a、b=45。二、空間向量的坐標(biāo)和坐標(biāo)運算例1 :【解答】d分析=(-2，2，-2)、=(-1，6，-8)、=(x-4，- 2，0 )，存在a、b、c、d共面、共面、，= ，即，(x-4、-2、0)=(-2-、2 6、-2-8)、 )例2 :【回答】b解析： a 2b=(2x 1、4、4-y )、2a-b=(2-x、3、-2y-2 )、(a 22y )例3 :【回答】a分析，分析，分析，分析，分析，分析。另外，ab、ab=4 4y

11、 2x=0，在x 2y 2=0.x=4的情況下，y=-3；在x=-4的情況下，y=1；x y=1或-3。例4 :解： (1)從問題中的條件可知=(-2，- 1，3 )、=(1，- 3，2 )，cos ，=，sin ，|，以、為鄰邊的平行四邊形面積： S=|sin 、7。假設(shè)(a=(x，y，z )，從問題的意義中得到、解開或a=(-1，1，1 )或a=(-1，-1，-1)。三、立體幾何中的矢量方法例1 :【解答】cDD1AA1，=(0，0，1 )； BC1AD1，=(0，1，1 )，直線AD平面ABB1A1，=(0，1，0 )； C1點坐標(biāo)為(1，1，1 )，與平面B1CD不垂直，對，錯誤。例2

12、 :【回答】分析，分析，分析，分析。例3 :把AC和BD的升交點設(shè)為o，把P-ABCD設(shè)為正四棱錐，把po平面ABCD、ACBD、o設(shè)為原點，把OB、OC、OP分別設(shè)為x軸、正方形ABCD的邊長為3，OB=OC=3，另外，PC=5，OP=4，點A(0，- 3，0 )、b (3，0，0 )、c (0，3，0 )、d (-3，0，0 )和p ()e、f分別是BC、CD的中點、點e (、0 )、F(-、0 )，(-3，0，0 )、=(0，-3，-4)、=0，EFPA(2)很明顯，=(0，3，0 )是平面PBD的法向量，平面PBD平面PBD .將g設(shè)為PC中點，將點g (0，2 )，將平面EFG的法向

13、量設(shè)為n=(x，y，z )，n=0，n=0，。n=(0，1，0 )，n=-30，pa與平面EFG不平行。例4 :解：如圖所示，以a為坐標(biāo)原點，AB、AD、AP所在的直線分別是x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。AP=AB=2，BC=AD=2，四邊形ABCD為矩形，點a (0，0，0 )、b (2，0，0 )、c (2，0 )、d (0，2，0 )、p (0，0 )另外，e、f分別是AD、PC的中點，點e (0，0 )、f (1，1 )。(2，2，-2)、=(-1，1 )、=(1，0，1 )，=2 0-2=0，=2 0-2=0，、PCBF、PCEF。另外，BFEF=F，PC平面BEF。例5 :解

14、：制作如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。點a (0，0，0 )，d (0，2，0 )，b (4，0，0 )，p (0，0，4 )，c (2，2，)(1)=(-4，2，0 )，=(0，0，4 )，=(2，2，0 )，=0，=-8 8=0，BDAP、BDAC、還有APAC=A，BD平面PAC。(2)=(0，- 2，2 )。設(shè)平面PAC的一個法向量為n=(x，y，z )時，。n=(1，-，0 )。如果將直線QC與平面PAC所成的角設(shè)為cos|=。直線QC與平面PAC所成角的正弦值為。例6 :解：以(1)a為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，制作空間直角坐標(biāo)系(下圖)。假設(shè)AB=a，則點a

15、 (0，0，0 )、d (0，1，0 )、d1(0，1，1 )、e (1，0 )、b1。因此，等于=(0，1，1 )、=(-，1，-1)、=(a，0，1 )、=(，1，0 )。數(shù)字=-0 11 (-1)1=0，B1EAD1。(2)假設(shè)在棱AA1上存在點p (0，0，z0)，則設(shè)DP平面B1AE .此時=(0，-1，z0)。平面B1AE的法向量n=(x，y，z).n平面B1AE，n、n、得到、當(dāng)設(shè)x=1時，得到平面B1AE的法向量n=(1，-、-a )。要使用DP平面B1AE，如果有n、-az0=0，則解z0=。另外，存在dp平面B1AE、點p，滿足DP平面B1AE，此時AP=。(3)連接a1d、B1C，從長方體ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1得到AD1A1D。B1CA1D，ad1。另外，從(1)可知b1e、B1CB1E=B1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的法向量