第3章_圖像變換

1、第三章 圖像變換,內(nèi)容： 1. 圖像變換的目的、要求和應用 2. 傅立葉級數(shù)、 頻譜分析概念及其意義 3.一維、二維連續(xù)、離散傅立葉變換定義、 性質(zhì)及其應用 4、沃爾什變換、哈達瑪變換、離散余弦變換、小波變換的概念,第三章 圖像變換,圖像變換的定義：是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學變換。 圖像變換目的：使圖像處理問題簡化；有利于圖像特征提?。挥兄趶母拍钌显鰪妼D像信息的理解。,第三章 圖像變換,圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求： 正交變換必須是可逆的； 正變換和反變換的算法不能太復雜； 正交變換的特點是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成

2、分上，有利于圖像處理。 應用：正交變換廣泛應用在圖像增強、圖像恢復、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。,第三章 圖像變換,常用的變換： 傅立葉變換Fourier Transform； 離散余弦變換Discrete Cosine Transform； 沃爾什-哈達瑪變換Walsh-Hadamard Transform。 小波變換Wavelet Transform,3.2 傅立葉變換,出現(xiàn)背景 在數(shù)值電路的傳輸中，把一個連續(xù)信號 x(t) 通過取樣離散化為一列數(shù)值脈沖信號x(0), x(1), 。 如果取樣間隔很小，而連續(xù)信號的時間段又很長，則所得到的數(shù)值脈沖序列將非常龐大。 能否經(jīng)過處理使

3、上述的數(shù)值脈沖序列變短，同時不會喪失有用的信息？作如下的變換處理： 所得到的新序列X(0), X(1) , 將非常有序，其值比較大的點往往集中在某一很狹窄的序列段內(nèi)，這將非常有利于編碼和存儲，從而達到壓縮信息的目的。,3.2.1 連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 1. 一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 令f(x)為實變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x) 的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為 若已知F(u)，則傅立葉反變換為 式（3.2-1）和（3.2-2）稱為傅立葉變換對。,f(x)是實函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復函數(shù)。F(u)的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：,傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u 通常稱為頻率變

4、量。,2. 二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對為,二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為,|F(u，v)=R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (3.211) (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) (3.212) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (3.213),3.2.2 離散函數(shù)的傅立葉變換 1.一維離散函數(shù)的傅立葉變換 假定取間隔x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如圖所示。,將序列表示成： f(

5、x)=f(x0+xx) (3.216) 即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。,被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為 F(u)= 式中u=0，1，2，N1。反變換為 f(x)= 式中x=0，1，2，N-1。,例如：對一維信號f(x)=1 0 1 0進行傅立葉變換。 由 得 u=0時， u=1時,u=2時, u=3時, 在N=4時，傅立葉變換以矩陣形式表示為 F(u)= =Af(x),2.二維離散函數(shù)的傅立葉變換 在二維離散的情況下，傅立葉變換對表示為 F(u，v)= (3.220) 式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-

6、1。 f(x，y)= (3.221) 式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。 一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨立變量是離散的。 一般來說，對一幅圖像進行傅立葉變換運算量很大，不直接利用以上公式計算?，F(xiàn)在都采用傅立葉變換快速算法，這樣可大大減少計算量。,原圖,離散傅立葉變換后的頻域圖,例如 數(shù)字圖像的傅立葉變換,傅立葉變換的作用 1可以得出信號在各個頻率點上的強度 2可以將卷積運算轉(zhuǎn)換為乘積運算 3 是進行圖像恢復和重構(gòu)的重要手段 4 使我們從空間域與頻率域兩個不同角度來看待圖像問題。,3.2.3 二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì) 離散

7、傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，因此，下面將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。 1周期性和共軛對稱性 若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) 傅立葉變換存在共軛對稱性 F(u，v)=F*(-u，-v) 這種周期性和共軛對稱性對圖像的頻譜分析和顯示帶來很大益處。,2.分離性 一個二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次一維傅立葉變換來實現(xiàn)。 可分成下面兩式:,3.平移性質(zhì),3.平移性質(zhì),平移性告訴我們一個感興趣的事實：當空域中f(x,y)產(chǎn)生移動時，在頻域中只

8、發(fā)生相移，并不影響它的傅立葉變換的幅值，因為,反之，當頻域中F(u,v)產(chǎn)生移動時，相應的f(x,y)在空域中也只發(fā)生相移，而幅值不變。,3.平移性質(zhì),旋轉(zhuǎn)特性描述： 如果f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個角度 ，那么f(x,y)旋轉(zhuǎn)后的圖像的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度 。 結(jié)論： 對圖像的旋轉(zhuǎn)變換和傅立葉變換的順序是可交換的。 FRf(x,y) RFf(x,y),4.旋轉(zhuǎn)性質(zhì),反之，如果F(u,v)旋轉(zhuǎn)某一角度，則f(x,y)在空間域也旋轉(zhuǎn)同樣的角度。 若引入極坐標,則f(x,y)和F(u,v)分別變?yōu)閒(r,)和F( , )。在極坐標中存在以下變換對：,4.旋轉(zhuǎn)性質(zhì),7.卷積定理,可以將卷積運算轉(zhuǎn)換

9、為乘積運算, 卷積定理的描述： 空域中的卷積等價于頻域中的相乘 f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v) Ff(x,y)*g(x,y) = F(u,v)G(u,v) 同時有： f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v),圖像處理中的傅立葉變換,1、圖像增強與圖像去噪 絕大部分噪聲都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻-噪聲；邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣。 2、圖像分割之邊緣檢測 提取圖像高頻分量,圖像處理中的傅立葉變換,3、圖像特征提取 形狀特征：傅立葉描述子 紋理特征：直接通過傅立葉系數(shù)來計算紋理特征 其他特征：將提取的特征值

10、進行傅立葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性。 4、圖像壓縮 可以直接通過傅立葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù),在分析圖像信號的頻率特性時，對于一幅圖像，直流分量表示預想的平均灰度，低頻分量代表了大面積背景區(qū)域和緩慢變化部分，高頻部分代表了它的邊緣，細節(jié)，跳躍部分以及顆粒噪聲。,用一個矩形框，把頻域最中心的低頻部分過濾出來，反變換得到圖像模糊后的樣子；移位后把頻域最中心的高頻部分過濾出來，反變換得到圖像銳化后的樣子,1、問題的提出 傅立葉變換的一個最大問題是：它的參數(shù)都是復數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。 在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。,3.3

11、 離散余弦變換,2、正變換 3、逆變換,3.3 離散余弦變換,4、DCT變換的應用 余弦變換實際上是傅立葉變換的實數(shù)部分。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國際壓縮標準的JPEG格式中就用到了DCT變換。,3.3 離散余弦變換,1、一維哈達瑪正變換 設f(x)表示N點的一維離散序列，則一維哈達瑪變換如下：,3.4 哈達瑪變換,1、一維哈達瑪正變換 其中，g(x,u)是一維哈達瑪變換的核，定義如下： 其中：,3.4 哈達瑪變換,2、一維哈達瑪逆變換 h(x,u)是一維哈達瑪逆變換的核，逆變換核與正變換核相等，即：,3.4 哈達瑪變換,哈達瑪變換的階數(shù)具有規(guī)律性，即按照 規(guī)律遞升，哈達瑪變換矩陣

12、具有簡單的遞推關系：,3.4 哈達瑪變換,采用上述規(guī)律求哈達瑪變換矩陣要比直接用哈達瑪變換核求矩陣快得多，此結(jié)論提供了一種快速哈達瑪變換，也可以稱為FHT。,3.5 小波變換,傅里葉變換的不足,傅里葉變換(Furier Transfer)架起了時間域與頻率域之間的橋梁。,傅里葉變換的不足,對很多信號來說，傅里葉變換非常有用，因為它能給出信號中包含的各種頻率成分。但是傅里葉變換有著嚴重的缺點：變換之后使信號失去了時間信息，它不能告訴人們在某段時間發(fā)生了什么變化，因此只適合處理平穩(wěn)信號。而更多的信號屬于非平穩(wěn)信號，如演奏的樂譜需要知道某一時刻樂器的音調(diào)。這些信號中不但需要知道信號的頻率成分，還需要

13、知道頻率發(fā)生變化的時間（位置），對此傅里葉變換無能為力。,1、什么是小波,數(shù)學上講：小波變換是一種數(shù)學工具，它把數(shù)據(jù)、函數(shù)或算子分割成不同頻率的成分，然后去研究對應尺度的成分。 技術上講：它是一種變換方法。 小波變換更是一種思想，一種可伸縮、可拓展的思想。,短時傅里葉變換,為了克服傅里葉變換的缺點，D.Gabor（1946）提出了短時傅里葉變換，又稱Gabor變換、加窗傅里葉變換。Gabor變換把一維時間信號，變換為時間和頻率的二維函數(shù)，從而能夠提供信號在某個時間段和某個頻率范圍內(nèi)的一定信息。這些信息的精度依賴于時間窗的大小。,1、什么是小波,小波變換的精髓就是：對于變化平緩的信息（對應低頻信

14、息），我們在大范圍（尺度）上觀察；對于變化很快的信息（對應高頻信息），我們在小范圍上觀察。這也被稱為多尺度或多分辨率思想。,2、小波分析的起源,小波理論是建立在傅立葉分析和泛函分析基礎之上的。,傅立葉變換,短時傅立葉變換,小波變換,時域到頻域相互轉(zhuǎn)化的工具,1946年，Gabor提出了窗口傅立葉變換： 在傳統(tǒng)的傅立葉分析之前， 對信號進行了加窗處理。,它能夠提供一種“自適應變化”的時頻窗結(jié)構(gòu)。 即隨頻率改變的時間-頻率窗口。,小波變換提出了變化的時間窗。當需要精確的低頻信息時，采用寬的時間窗，當需要精確的高頻信息時，采用窄的時間窗。,3、小波分析的基本思想,x1,x2 a=(x1+x2)/2;

15、 d=(x1-x2)/2 a,d x1=a+d; x2=a-d x1,x2 平均值a可以看成原始信號的整體信息，而d可看成原信號用a表示時丟失的細節(jié)信息。,平均,細節(jié),3、小波分析的基本思想,信號：x1,x2,x3,x4 平均：a(1,0)=(x1+x2)/2; a(1,1)=(x3+x4)/2 細節(jié)：d(1,0)=(x1-x2)/2; d(1,1)=(x3-x4)/2 a(1,0), a(1,1), d(1,0), d(1,1); a(1,0), a(1,1) 平均：a(0,0)=(a(1,0)+a(1,1)/2 細節(jié)：d(0,0)=(a(1,0)-a(1,1)/2 a(0,0),d(0,0

16、),d(1,0),d(1,1); a(0,0),最高分辨率信息,小波變換,次高分辨率低頻,最低分辨率低頻信息,3、小波分析的基本思想,a(0,0),d(0,0),d(1,0),d(1,1)：原始序列x1,x2,x3,x4的小波變換，是其多分辨率表示。 x1,x2,x3,x4：最高分辨率信息 a(1,0), a(1,1)：次高分辨率低頻信息 d(1,0), d(1,1)：次高分辨率細節(jié)信息 a(0,0)：最低分辨率低頻信息 d(0,0)：最低分辨率細節(jié)信息,4、小波理論的基本概念,設函數(shù) ，并且 ，由 經(jīng)伸縮和平移得到的一族函數(shù) 稱為分析小波或連續(xù)小波，稱 為基本小波或母小波。其中， 為伸縮因子

17、， 為平移因子。,4、小波理論的基本概念,函數(shù)關于小波的連續(xù)小波變換： 連續(xù)小波變換具有如下的反演公式,4、小波理論的基本概念,構(gòu)造正交小波基的一般方法 ：多尺度分析 將 分解為一系列具有不同分辨率的子空間 將 中的函數(shù) 描述為具有一系列近似函數(shù)的逼近極限，其中每一個近似函數(shù)都是在不同分辨率子空間上的投影。,5、二維小波變換和圖像處理,圖像可以看做是二維離散信號: (x,y) f(x,y) 二維情況的多分辨率分析定義 :,5、二維小波變換和圖像處理,二級小波變換后的系數(shù)分布圖：,5、二維小波變換和圖像處理,二維離散小波的一層分解,5、二維小波變換和圖像處理,5、二維小波變換和圖像處理,利用小波

18、變換對圖像進行消除噪聲處理,5、二維小波變換和圖像處理,利用小波變換對圖像進行壓縮處理,5、二維小波變換和圖像處理,5、二維小波變換和圖像處理,5、二維小波變換和圖像處理,采用全局閾值的圖像壓縮,5、二維小波變換和圖像處理,5、二維小波變換和圖像處理,邊緣 檢測,離散二維小波變換示意圖,dwt2用法,函數(shù)功能 二維單尺度小波變換。 語法格式 cA,cH,cV,cD = dwt2(X,wname) cA,cH,cV,cD = dwt2(X,Lo_D,Hi_D) 使用說明 dwt2使用指定的小波(wname)或分界濾波器(Lo_D,Hi_D)進行二維單尺度小波分解。 令sx=size(X)，lf為

19、濾波器的長度，對于DWT的周期延拓模式來說，size(A)=size(cH)=size(cV)=size(cD)=sa，這里sa=ceil(sx/2)。其他延拓模式，sa=floor(sx+lf-1)/2)。,如何得到系統(tǒng)中可用的小波濾波器,也可用waveinfo獲取支持的小波函數(shù),iter = 10; wav = sym4; % 使用迭代法計算小波函數(shù)的近似值. for i = 1:iter phi,psi,xval = wavefun(wav,i); plot(xval,psi); hold on end title(Approximations of the wavelet ,wav,

20、. for 1 to ,num2str(iter), iterations); hold off,如何得到小波濾波器系數(shù),語法 Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R = wfilters(wname) F1,F2 = wfilters(wname,type) 功能 計算有wname指定的小波的四個正交或雙正交濾波器系數(shù)。 這四個濾波器是： Lo_D, 分解低通濾波器 Hi_D, 分解高通濾波器 Lo_R, 重建低通濾波器 Hi_R, 重建高通旅歐不起 F1,F2 = wfilters(wname,type)返回值： Lo_D ，Hi_D (分解濾波器) If type = d Lo_R and Hi_R (重建濾波器) if type = r Lo_D and Lo_R (低通濾波器) If type = l Hi_D and Hi_R (高通濾波器) If type = h,顯示小波濾波器系數(shù),wname = db5; Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R = wfilters(wname); subplot(221); stem(Lo_D)