高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第3課時(shí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 理 蘇教版

1、3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題,課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,題型分類深度剖析,題型一導(dǎo)數(shù)與不等式有關(guān)的問題 命題點(diǎn)1解不等式 例1設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，f(2)0，當(dāng)x0時(shí)，有 0的解集是_.,答案,解析,(，2)(0，2),又(2)0，當(dāng)且僅當(dāng)00，,此時(shí)x2f(x)0.,又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù).,故x2f(x)0的解集為(，2)(0，2).,命題點(diǎn)2證明不等式 例2(2016全國丙卷)設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1. (1)討論f(x)的單調(diào)性；,解答,由題設(shè)，f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x) 1，令f(x)0，解得x1.,當(dāng)

2、00，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.,(2)證明：當(dāng)x(1，)時(shí)，1 x；,證明,由(1)知，f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0. 所以當(dāng)x1時(shí)，ln xx1. 故當(dāng)x(1，)時(shí)，ln xx1，,(3)設(shè)c1，證明：當(dāng)x(0，1)時(shí)，1(c1)xcx.,證明,由題設(shè)c1，設(shè)g(x)1(c1)xcx，,當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)xx0時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減.,又g(0)g(1)0，故當(dāng)00.,所以當(dāng)x(0，1)時(shí)，1(c1)xcx.,命題點(diǎn)3不等式恒成立或有解問題,解答,幾何畫板展示,函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，,令f(x)0，得x1；,當(dāng)x(

3、0，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；,當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.,(2)如果當(dāng)x1時(shí)，不等式f(x) 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.,解答,所以h(x)h(1)1，所以g(x)0， 所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)g(1)2， 故k2.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，2.,引申探究 本題(2)中，若改為存在x01，e，使不等式f(x) 成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.,解答,(1)利用導(dǎo)數(shù)解不等式的思路 已知一個(gè)含f(x)的不等式，可得到和f(x)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性，然后可利用函數(shù)單調(diào)性解不等式. (2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法 證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函

4、數(shù)f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，則f(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時(shí)若f(a)0，由減函數(shù)的定義可知，x(a，b)時(shí)，有f(x)0，即證明了f(x)g(x). (3)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略 首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍. 也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 (2015福建)已知函數(shù)f(x)ln x . (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；,解答,證明,(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)x1；,令f(x)f(x)(x1)，x(0，).,當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x

5、)0， 所以f(x)在(1，)上單調(diào)遞減， 故當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(1)0， 即當(dāng)x1時(shí)，f(x)x1.,(3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在x01，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，恒有f(x)k(x1).,解答,由(2)知，當(dāng)k1時(shí)，不存在x01滿足題意. 當(dāng)k1時(shí)，對于x1，有f(x)x1k(x1)， 則f(x)k(x1)， 從而不存在x01滿足題意. 當(dāng)k1時(shí)，令g(x)f(x)k(x1)，x(0，)，,由g(x)0，得x2(1k)x10.,當(dāng)x(1，x2)時(shí)，g(x)0， 故g(x)在(1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增. 從而當(dāng)x(1，x2)時(shí)，g(x)g(1)0， 即f(x)k(x1). 綜上，k的取值

6、范圍是(，1).,題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題 例4(2016揚(yáng)州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)xexasin xcos x (ar，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)). (1)當(dāng)a0時(shí)，求f(x)的極值；,解答,幾何畫板展示,當(dāng)a0時(shí)，f(x)xex，f(x)ex(x1)， 令f(x)0，得x1. 列表如下：,(2)若對于任意的x0， ，f(x)0恒成立，求a的取值范圍；,解答,當(dāng)a0時(shí)，由于對于任意x0， ，有sin xcos x0，,所以f(x)0恒成立，即當(dāng)a0時(shí)，符合題意； 當(dāng)01時(shí)，f(0)1a0，,設(shè)f()0，其中是f(x)0中最接近x0的零點(diǎn). 所以f(x)在(0，)上為減函數(shù)，此時(shí)f(x)1時(shí)

7、，不符合題意. 綜上所述，a的取值范圍是(，1.,(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0， )上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.,解答,當(dāng)a1時(shí)，f(x)ex(x1)acos 2x. 令g(x)ex(x1)acos 2x， 則g(x)ex(x2)2asin 2x，,且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；,即函數(shù)f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，,當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)f(0)0，即f(x)在(0，x0)上無零點(diǎn)；,綜上所述，不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0， )上有兩個(gè)零點(diǎn).,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點(diǎn))的策略 研究方程的根或曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

8、問題，可構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、變化趨勢等，從而畫出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2 (2016南通模擬)已知函數(shù)f(x)a ln x(ar). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解答,當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,(2)試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.,解答,所以此時(shí)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.,當(dāng)a0時(shí)，,從而當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；,題型三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題 例5某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元

9、/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng) 10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克. (1)求a的值；,解答,(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,解答,由(1)可知，該商品每日的銷售量為,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為,210(x3)(x6)2，3x6. 從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,由上表可得，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值. 所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值且最大值等于42. 答當(dāng)

10、銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個(gè)步驟 (1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x). (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0. (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn). (4)回歸實(shí)際問題作答.,思維升華,解答,解得40x6. 因?yàn)?x14，所以1x6. 設(shè)該商品的月銷售額為g(x)，,由g(x)0，得x8， 所以g(x)在6，8)上是增函數(shù)，在(8，14)上是減

11、函數(shù)，,(2)記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格，若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解答,因?yàn)閍0，所以f(x)在區(qū)間(1，14)上是增函數(shù)， 若該商品的均衡價(jià)格不低于6百元，則函數(shù)f(x)在區(qū)間6，14)上有零點(diǎn)，,答 若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0， .,典例(16分)設(shè)f(x) xln x，g(x)x3x23. (1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)m成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)m； (2)如果對于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍.,一審條件挖隱含,審題路線圖系列,規(guī)范解答,審題路

12、線圖,(1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)m (正確理解“存在”的含義) g(x1)g(x2)maxm 挖掘g(x1)g(x2)max的隱含實(shí)質(zhì) g(x)maxg(x)minm 求得m的最大整數(shù)值,(2)對任意s，t ，2都有f(s)g(t) (理解“任意”的含義) f(x)ming(x)max 求得g(x)max1 xln x1恒成立 分離參數(shù)a axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值,ah(x)maxh(1)1 a1,返回,解(1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)m成立，等價(jià)于g(x1)g(x2)maxm. 2分,g(x)maxg(2)1.,則滿

13、足條件的最大整數(shù)m4. 7分,所以a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，). 16分,返回,課時(shí)作業(yè),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.函數(shù)f(x)(x1)2(x2)2的極大值是_.,答案,解析,f(x)(x1)2(x2)2， 令f(x)0，得可能的極值點(diǎn)x11，x2 ，x32. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,f(x)2(x1)(2x3)(x2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.已知曲線yx2aln x(a0)上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為k，若k的最小值為4，則此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為_.,答案,解析,(1，1),函數(shù)yx2aln x(a0)的定義域?yàn)?/p>

14、x|x0，,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，“”成立， 將x1代入曲線方程得y1， 故所求的切點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,答案,解析,(0，1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：yx327x123(x0)，則獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為_百萬件.,答案,解析,3,y3x2273(x3)(x3)， 當(dāng)00； 當(dāng)x3時(shí)，y0. 故當(dāng)x3時(shí)，該商品的年利潤最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.(2017南京質(zhì)檢)直線xt分別與函數(shù)f(x)ex1的圖象及g(x)2x1的圖象相交于點(diǎn)a

15、和點(diǎn)b，則ab的最小值為_.,答案,解析,42ln 2,由題意得，ab|ex1(2x1)|ex2x2|，令h(x)ex2x2， 則h(x)ex2，所以h(x)在(，ln 2)上單調(diào)遞減， 在(ln 2，)上單調(diào)遞增， 所以h(x)minh(ln 2)42ln 20， 即ab的最小值是42ln 2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.已知函數(shù)f(x) 若|f(x)|ax，則a的取值范圍是 _.,答案,解析,2，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,由(1)得x(x2)ax在區(qū)間(，0上恒成立. 當(dāng)x0時(shí)，ar； 當(dāng)x0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

16、,11,當(dāng)a0時(shí)，h(x)0，故h(x)為增函數(shù)， 所以h(x)h(0)0恒成立；,所以h(x)h(0)0恒成立，顯然不符合題意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,當(dāng)00， 滿足h(x0)ln(x01)ax00成立.,故a0.,由可知a的取值范圍是2，0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.若函數(shù)f(x)ax24x3在0，2上有最大值f(2)，則a的取值范圍是_.,答案,解析,1，),f(x)2ax4，由f(x)在0，2上有最大值f(2)， 則要求f(x)在0，2上單調(diào)遞增， 則2ax40在0，2上恒成立. 當(dāng)a0時(shí)，2ax40恒成立； 當(dāng)a0時(shí)，要求4a40

17、恒成立，即a1. a的取值范圍是1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.(2016蘇州模擬)定義在r上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)f(x)1，f(0)4，則不等式exf(x)ex3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為_.,答案,解析,設(shè)g(x)exf(x)ex(xr)， 則g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1， f(x)f(x)1，f(x)f(x)10， g(x)0，yg(x)在定義域上單調(diào)遞增， exf(x)ex3，g(x)3， g(x)g(0)，x0.,(0，),又g(0)e0f(0)e0413，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,9

18、.已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0且x00，則a的取值范圍是_.,答案,解析,(，2),當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x21有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意， 故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，,若a0，由三次函數(shù)圖象知f(x)有負(fù)數(shù)零點(diǎn)，不合題意，故a0.,又a0，所以a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10.已知函數(shù)f(x)ax33x1對x(0，1總有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,4，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,g(x)與g(x)隨x的變化情況如下表：,因此g(x)的最大值為4， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是4，).,1,2,3,4,5,6