實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理第二部分.ppt

1、第三章 方差分析,3.1 數(shù)據(jù)處理的概念和意義,數(shù)據(jù)處理主要研究實(shí)驗(yàn)測(cè)量或觀察數(shù)據(jù)分析計(jì)算的處理方法，從而得出可靠或規(guī)律性的結(jié)果。依據(jù)這個(gè)規(guī)律和結(jié)果對(duì)工業(yè)生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、天氣、地震等進(jìn)行預(yù)報(bào)和控制，從而掌握和主宰客觀事物的發(fā)展規(guī)律，使之服從和服務(wù)于人類。 數(shù)據(jù)處理的方法很多，如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析等。,3.2 方差分析的概述,方差分析(Analysis of Variance) 由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱 F 檢驗(yàn)。,3.2.1 方差分析的概念和意義,方差分析的中心點(diǎn)是把實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)總的波動(dòng)分解為反映因素水平變化引起的

2、波動(dòng)和反映實(shí)驗(yàn)誤差引起的波動(dòng)兩部分。 方差分析亦即把實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的總的偏差平方和（ST）分解為反映必然性的各個(gè)因素的偏差平方和（ SA、SB、SN）與反映偶然性的誤差偏差平方和（Se），并計(jì)算比較它們的平均偏差平方和，以找出對(duì)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)起決定性影響的因素作為進(jìn)行定量分析判斷的依據(jù)。,方差分析能把實(shí)驗(yàn)過(guò)程中實(shí)驗(yàn)條件改變所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)與實(shí)驗(yàn)誤差引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)區(qū)分開，同時(shí)對(duì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各因素的重要程度給以精確的數(shù)量估計(jì)。 方差分析類型很多，概括起來(lái)有以下幾種： （1）單因素實(shí)驗(yàn)的方差分析 （2）多因素實(shí)驗(yàn)的方差分析 （3）正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析 （4）SN比實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法,3.2.2 單因素實(shí)驗(yàn)的

3、方差分析,在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，若只有一個(gè)因素的水平在改變，而其他因素的水平固定不變，這就叫做單因素實(shí)驗(yàn)。 3.2.2.1 方差分析的基本思想 例 3.1 考察生產(chǎn)某化工產(chǎn)品時(shí)反應(yīng)溫度A（）對(duì)收率y（）的影響。為此，比較兩個(gè)反應(yīng)溫度A130，A240。,實(shí)驗(yàn)號(hào),水平,表 3.1 某化工產(chǎn)品收率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表,條件誤差：由于實(shí)驗(yàn)條件的不同而引起的差異叫“條件誤差”。 實(shí)驗(yàn)誤差：即同一條件（同水平）下，存在偶然因素而引起的差異叫“實(shí)驗(yàn)誤差”，即“隨機(jī)誤差”。 為了考察某個(gè)因素對(duì)指標(biāo)的作用，必須將總誤差分解為條件誤差和實(shí)驗(yàn)誤差，并比較之，作出因素對(duì)指標(biāo)的作用是否顯著的結(jié)論，這種分析方法稱為方差分析法。,條件誤差

4、、實(shí)驗(yàn)誤差、總誤差之間有什么關(guān)系呢？,用全部10個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與總的平均值（75.7）之差的偏差平方和來(lái)估計(jì)總的誤差，這個(gè)平方和稱為總的偏差平方和，記為ST，即 ST(75-75.7)2 + (78-75.7)2 + (85-75.7)2 1294.10 用同一條件（水平）下5次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)與其平均值之差的偏差平方和來(lái)估計(jì)實(shí)驗(yàn)誤差，即 對(duì)A1（30）條件下： S1(75-71.4)2 + (78-71.4)2 + (83-71.4)2 429.20 對(duì)A2 （40）條件下： S2(89-80.0)2 + (62-80.0)2 + (85-80.0)2 680.00 這兩個(gè)偏差平方和相加，反映了實(shí)驗(yàn)誤

5、差的大小，稱為組內(nèi)偏差平方和或誤差平方和（Se）: Se S1 + S2 429.20 + 680.00 1109.20,用每種條件（水平）的數(shù)據(jù)平均值與總的平均值差的偏差平方和來(lái)估計(jì)條件誤差。因每種條件重復(fù)了5次，故將此平方和5倍，稱為組間偏差平方和或因素的偏差平方和（ SA ）： SA5(71.4 - 75.7)2 + 5(80.0 75.7)2 184.90 可以看出，此處有 ST SA + Se 184.90 + 1109.20 1294.10 即總的偏差平方和可以分解為組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平 方和。,有了SA和Se之后，是否就能直接比較出由于因素水平的變化引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)與實(shí)驗(yàn)誤差

6、引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)之間的差異呢？,偏差平方和不僅與數(shù)據(jù)本身有關(guān)，而且還與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。為此，必須消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響，采用平均偏差平方和SA/fA （組間方差）與Se/fe （組內(nèi)方差）進(jìn)行比較，并以此作出推斷。其中，fA和fe分別稱為SA與Se的自由度（即偏差平方和式中獨(dú)立數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)）。 對(duì)Se而言，因?yàn)槠渲械?0個(gè)數(shù)據(jù)滿足兩個(gè)關(guān)系式 (75+78+60+61+83)/5 = 71.4 (89+62+93+71+85)/5 = 80.0 所以Se的自由度f(wàn)e =10-28.,對(duì)SA而言，因?yàn)槠渲械?個(gè)數(shù)據(jù)有一個(gè)關(guān)系式 (71.4+80.0)/2 = 75.7 所以SA的自由度f(wàn)A = 2-1 =

7、 1. 對(duì)ST而言，因?yàn)槠渲械?0個(gè)數(shù)據(jù)有一個(gè)關(guān)系式 (75+78+60+61+83+89+62+93+71+85)/10 = 75.7 所以ST的自由度f(wàn)T = 10-1 = 9. 顯然 fT = fA + fe = 1+8 = 9. 如果平方和是由n項(xiàng)組成，它的自由度就是n1，如果一個(gè)平方和是由幾部分的平方和組成，則總的自由度等于各部分自由度之和。,計(jì)算F值：,然后對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 F值的大小，可以用來(lái)判斷因素水平對(duì)考察指標(biāo)影響的顯著性。F值接近1，說(shuō)明因素水平改變對(duì)考察指標(biāo)的影響在誤差范圍內(nèi)，即水平間無(wú)顯著差異；F值越大，說(shuō)明因素水平的改變對(duì)指標(biāo)的影響超過(guò)了實(shí)驗(yàn)誤差造成的影響，即條

8、件誤差相對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差大得多。,F多大時(shí)，可以說(shuō)因素的水平改變對(duì)考察指標(biāo)的影響是顯著的呢？小到多小，認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差主要是實(shí)驗(yàn)誤差引起的，這就需要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)由F表給出。,在F表上，橫行n1代表F值中分子的自由度，豎行n2代表F值中分母的自由度，相交后的數(shù)值即為F比的臨界值。,本例中，因,對(duì)0.05， 查得F0.05(1,8)5.3， 為置信度（顯著水平），表示在作出某種判斷時(shí)犯錯(cuò)誤的概率。因F1.335.3 ，故可以認(rèn)為在水平0.05下，反應(yīng)溫度A對(duì)指標(biāo)收率的影響不顯著，或反應(yīng)溫度30和40對(duì)收率的影響沒(méi)有顯著差異，實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的波動(dòng)主要是由實(shí)驗(yàn)誤差造成的。,3.2.2.2 單因素實(shí)驗(yàn)

9、方差分析的一般步驟,設(shè)有一單因素實(shí)驗(yàn)，因素A有m個(gè)水平，每個(gè)水平均重復(fù)k次實(shí)驗(yàn)，水平Ai的第j次實(shí)驗(yàn)值為xij (i=1,2, , m；j=1,2, , k )。,表3.2 數(shù)據(jù)計(jì)算表,Ti表示Ai水平下k次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的合計(jì)， 表示Ai水平下k次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。,共進(jìn)行了mk次實(shí)驗(yàn)，令n=mk，用T表示n個(gè)實(shí)驗(yàn)值的總和，即,用 表示n個(gè)實(shí)驗(yàn)值的總平均值，即,1.偏差平方和的分解,把整個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果所得的每一個(gè)觀測(cè)值xij對(duì)其總平均值 求偏差平方和，用ST表示，可用下式計(jì)算：,I,II,III,式中I項(xiàng)是在同一條件（水平）下，k次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)與其平均值的偏差平方和，稱為組內(nèi)偏差平方和，因?yàn)樗从沉?/p>

10、實(shí)驗(yàn)過(guò)程引起的誤差，所以也稱誤差平方和，用Se表示。,式中II項(xiàng),式中III項(xiàng)是每一種條件（水平）下，k次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與km次實(shí)驗(yàn)總的平均值的偏差平方和，稱為組間偏差平方和，因?yàn)樗从沉藯l件（水平）引起的誤差，所以也稱條件誤差。用SA或S1表示。,所以 ST Se+ SA,總偏差平方和分解公式,在實(shí)際計(jì)算中，往往先算出ST及SA，而Se由STSA求得。,2.平均偏差平方和與自由度,（1）自由度 令f、fe及fA分別為總自由度、組內(nèi)自由度和組間自由度，則,它們之間的關(guān)系為 f = fe + fA,偏差平方和的自由度分解式,（2）方差 令V、Ve和VA分別為總方差、組內(nèi)方差和組間方差，則,3.

11、用F檢驗(yàn)法進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),為了計(jì)算方便，計(jì)算ST， Se， SA時(shí)經(jīng)常采用以下簡(jiǎn)化公式,STRP， SeRQ， SAQP,例 3.2 某4個(gè)實(shí)驗(yàn)室同用碘量法測(cè)定一種黃銅合金試樣中的銅含量，均測(cè)定5次，結(jié)果如下表所示。,試分析各實(shí)驗(yàn)室的測(cè)定結(jié)果之間是否存在顯著性差異。,fe = n-m = 20-4 =16 fA = m-1=4-1=3 f = n-1 =20-1=19 f = fA+ fe =16+3=19,為了方便計(jì)算，可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)化。將整數(shù)部分去掉（不影響計(jì)算結(jié)果）。,(1) 偏差平方和,ST Se SA 0.9278+1.7044=2.6322,(2) 方差,(3) F檢驗(yàn),(4) 方

12、差分析表,方差分析表,即各實(shí)驗(yàn)室的測(cè)定結(jié)果之間存在顯著性差異。因此，實(shí)驗(yàn)室間存在系統(tǒng)誤差，應(yīng)仔細(xì)查找原因，采取有效措施加以消除。,作業(yè),現(xiàn)有四種型號(hào)1、2、3、4的輪胎，欲比較各型號(hào)輪胎在運(yùn)行20km后支撐瓦的磨損情況，為此，從每型號(hào)輪胎中任取四只，并隨機(jī)地安裝于四輛汽車上，汽車運(yùn)行20km后，對(duì)各支撐瓦進(jìn)行檢測(cè)得表中所示的數(shù)據(jù)，問(wèn)四種型號(hào)的輪胎是否具有明顯的差別？,型號(hào),實(shí)驗(yàn)號(hào),3.2.3 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析的基本原理,在正交表上進(jìn)行方差分析的基本步驟與格式如下: (1) 偏差平方和的計(jì)算與分解 現(xiàn)以L4（23）正交表上安排實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明,列號(hào),實(shí)驗(yàn)號(hào),L4（23）正交表,總的偏差平方和ST為

13、,化簡(jiǎn)為,第一列各水平的偏差平方和,同理，第二列、第三列各水平的偏差平方和分別為,由此可得,L4（23）正交表總偏差平方和的分解公式,若將L4（23）正交表的第1列和第2列分別安排A、B因素，在不考慮AB的情況下，在第3列為誤差列。,一般地，若用正交表安排N個(gè)因素的實(shí)驗(yàn)（包括存在交互作用因素），則有,要計(jì)算某因素的偏差平方和，只要把該因素所在列偏差平方和計(jì)算出來(lái)即可（交互作用的偏差平方和，同樣是它所在列的列偏差平方和），空白列的列偏差平方和就是誤差平方和。,今用正交表安排N個(gè)因素的實(shí)驗(yàn)，設(shè)總的試驗(yàn)次數(shù)為n，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為x1、 x2 、 、 xn，每個(gè)因素的水平數(shù)為m，每個(gè)水平做r次試驗(yàn)（水平重復(fù)

14、數(shù)r），則n=mr。,稱為各數(shù)據(jù)平方之和,稱為修正項(xiàng),因素的偏差平方和（如因素A）為,誤差的偏差平方和Se為,或者 Se=ST 各因素（含交互作用）的偏差平方和之和。,(2) 計(jì)算平均偏差平方和與自由度,平均偏差平方和,自由度分解公式,fT = 總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)-1n1 fA = 因素A的水平數(shù)-1m1 fB = 因素B的水平數(shù)-1 m 1 fe = fT (fA + fB ),若A、B兩因素存在交互作用，則SAB的自由度f(wàn)AB等于兩因素自由度之積、即 fAB fA fB 此時(shí)， fe = fT (fA + fB + fAB ),(3) F值計(jì)算及F檢驗(yàn),例如，對(duì)因素A來(lái)說(shuō)，當(dāng)FAF（ f1 ，f

15、2 ）時(shí)，如0.1，就有90的把握說(shuō)因素A的水平改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著影響。,根據(jù)正交表的特點(diǎn)，其方差分析可以按下述原則進(jìn)行： 總的平方和恰好等于各列的平方和之和。方差分析的優(yōu)點(diǎn)是能把總平方和分解成因素與誤差平方和。 計(jì)算規(guī)格化。在正交設(shè)計(jì)中每個(gè)因素列（包括交互作用列和誤差列）的計(jì)算步驟完全一樣。因此，方差分析的基本計(jì)算可逐列進(jìn)行。,3.2.4 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析,3.2.4.1 相同水平正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析 例3.3 用兩種不同蒸養(yǎng)時(shí)間和振搗方式進(jìn)行混凝土增強(qiáng)效果的比較試驗(yàn)。試驗(yàn)中的因素與水平列于下表。,因素,水平,因素水平表,要考慮A、B、C和AB、 AC、 BC對(duì)混凝土7天抗壓強(qiáng)度的

16、影響，并選擇較優(yōu)的生產(chǎn)工藝。,L8（27）試驗(yàn)方案與極差計(jì)算結(jié)果,影響因素的主次順序 B A AB C AC BC,例3.4 對(duì)例3.3進(jìn)行方差分析 解：按公式先算第1列的偏差平方和SA,其它各列的計(jì)算方法同上 各列自由度均為211，方差分析結(jié)果見下表,方差分析表,對(duì)因素進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，一般可考慮四種情況。 F F0.01(f因，fe)，則因素對(duì)結(jié)果的影響高度顯著。 F0.01(f因，fe) F F0.05(f因，fe)，則該因素對(duì)結(jié)果的影響為顯著。 F0.05(f因，fe) F F0.1(f因，fe)，則該因素對(duì)結(jié)果有影響。 F F0.1(f因，fe)，則該因素對(duì)結(jié)果無(wú)影響。 方差分析結(jié)果：A

17、和B對(duì)強(qiáng)度影響高度顯著，AB影響顯著，而C的影響不顯著。所以，對(duì)A和B的水平應(yīng)嚴(yán)格選取，而C的水平可以任取。 實(shí)驗(yàn)誤差為：（Ve）1/2 = （62.7）1/2 =7.9kg/cm2,可見，方差分析的結(jié)論與極差法的結(jié)論不盡相同。顯然，由于方差分析利用了更多的信息，因此方差分析更加可靠、準(zhǔn)確。 注意 由于實(shí)驗(yàn)誤差的方差Ve=Se/fe直接影響F值的大小。在fe很小時(shí)， F檢驗(yàn)的靈敏度很低； fe太大，又要增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)，故一般fe在620之間最理想。 當(dāng)正交實(shí)驗(yàn)安排表中空列不止一列，如為y列時(shí)，實(shí)驗(yàn)誤差平方和Se應(yīng)等于總平方和ST減去各因素列平方和。 而相應(yīng)的自由度f(wàn)e =y(因素的水平數(shù)1),3.2.4.2 不同水平正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析 不同水平（混合型）正交表的方差分析與相同水平的正交表方差分析基本相同，只是在計(jì)算偏差平方和及自由度時(shí)，應(yīng)注意各列水平數(shù)的差別。,3.2.5 正交實(shí)驗(yàn)的下一輪實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì),在完成了第一輪正交實(shí)驗(yàn)后，通過(guò)不同的分析方法，至少可以得到三個(gè)優(yōu)秀方案。所獲得的可能最優(yōu)及可能更優(yōu)方案，都還沒(méi)有經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)明，而且也還存在實(shí)驗(yàn)誤差，因此正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)常常要進(jìn)行第二輪、第三輪甚至更多次。 進(jìn)行下輪實(shí)驗(yàn)的目的： 首先是為了驗(yàn)證