線性離散系統(tǒng)的分析與校正.ppt

1、第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正,學(xué)習(xí)目的,由于數(shù)字技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字控 制在許多場合取代了模擬控制器，作為分析與設(shè)計(jì)數(shù)字控制系統(tǒng)的 理論基礎(chǔ)，離散系統(tǒng)控制理論發(fā)展也非常迅速。 離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)既有本質(zhì)上的不同，又有分析研 究方面的相似性，利用z變換法研究離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中 的許多概念和方法推廣到線性離散系統(tǒng)。 通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生建立有關(guān)離散控制系統(tǒng)的概念，掌握數(shù) 字控制中采樣和保持這二個(gè)信號變換過程及數(shù)學(xué)描述，了解z變換 理論，建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，掌握離散系統(tǒng)的分析和校正方法。,學(xué)習(xí)要點(diǎn),1、采樣過程的數(shù)學(xué)描述和香農(nóng)采樣定理 2、信號保持過程零

2、階保持器 3、z變換理論 4、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型脈沖傳遞函數(shù) 5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 6、離散系統(tǒng)的動態(tài)分析 7、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì),教學(xué)內(nèi)容1,1、離散系統(tǒng)概念 2、采樣過程分析 采樣過程數(shù)學(xué)模型，香農(nóng)采樣定理 3、信號保持，零階保持器 4、z變換理論 z變換、z反變換、z變換性質(zhì) 5、差分方程 6、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7、脈沖傳遞函數(shù),教學(xué)內(nèi)容2,8、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 s域到z域的映射， 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件， 離散系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)， 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差， 系統(tǒng)類別與靜態(tài)誤差系數(shù)。 9、動態(tài)性能分析 10、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 11、無紋波最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì),要求與學(xué)時(shí),1、掌握采樣

3、過程的數(shù)學(xué)描述 2、z變換理論 3、脈沖傳遞函數(shù)概念 4、離散系統(tǒng)分析 穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、動態(tài)性能 5、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 6、教學(xué)學(xué)時(shí)：12學(xué)時(shí),第七章第一次課,1、離散控制系統(tǒng)的概念 2、離散系統(tǒng)中的二個(gè)特殊部件：采樣器和保持器 3、采樣過程的數(shù)學(xué)描述：,4、采樣信號頻譜分析：,5、香農(nóng)采樣定理：,6、零階保持器：,作業(yè)題：71,第七章第二次課,1、z變換定義 2、z變換方法：級數(shù)求和法、部分分式法、查表法 3、z變換性質(zhì)：線性定理、實(shí)數(shù)位移定理、終值定理 4、z反變換：部分分式法、冪級數(shù)法、反演法,作業(yè)題：72（1）（3）、73（1）、74（1）、75（1）,第七章第三次課,1、補(bǔ)充有關(guān)差分

4、方程的定義 2、差分方程求解：迭代法、用實(shí)數(shù)位移定理求解 3、脈沖傳遞函數(shù)定義 4、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 5、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),作業(yè)題：78（1）（3）、79、710（a）（b）,第七章第四次課,離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 1、從s域到z域的映射關(guān)系 等線映射 等線映射 等線映射 2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 3、離散系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)：變換后的勞斯判據(jù),作業(yè)題：715（1）（3）、716,第七章第五次課,1、離散系統(tǒng)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù) 位置誤差系數(shù) 速度誤差系數(shù) 加速度誤差系數(shù) 3、離散系統(tǒng)動態(tài)性能分析,第七章第六次課,離散系統(tǒng)的數(shù)字校正 1、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 2、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 3、無紋波

5、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)概念,7-1離散系統(tǒng)的基本概念1,一、什么是離散系統(tǒng)？ 如果控制系統(tǒng)中所有信號都是時(shí)間變量的函數(shù)，一旦函數(shù)關(guān)系 確定后，則全部時(shí)間上的函數(shù)值都是可確定的，這樣的系統(tǒng)稱為連 續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)中有一處或幾處信號是一串脈沖或數(shù)碼，這樣的系統(tǒng) 稱為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念2,信號在特定的離散瞬時(shí)是 時(shí)間的函數(shù),在這區(qū)間都是未知的,二、離散系統(tǒng)的特點(diǎn)：信號在特定 的離散瞬時(shí)是時(shí)間的函數(shù)。,離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì) 上的不同，又有分析方面的相似性。,不同點(diǎn)：連續(xù)信號離散信號 相似點(diǎn)：穩(wěn)定性動態(tài)過程穩(wěn)態(tài)誤差分析,7-1離散系統(tǒng)的基本概念3,三、分析方

6、法：對于連續(xù)系統(tǒng)，采用時(shí)域復(fù)域頻域分析方法， 基礎(chǔ)是傳遞函數(shù)，拉氏變換。 如果直接用連續(xù)系統(tǒng)的分析方法來分析離散系統(tǒng)，則會產(chǎn)生所 謂的“超越方程”不便于直接求解和分析。,對于離散系統(tǒng)分析，是利用Z變換方法處理后，可以把連續(xù)系 統(tǒng)中的許多概念推廣到線性離散系統(tǒng)。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念4,四、采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng) 離散控制系統(tǒng)又可以分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)。,1、采樣控制系統(tǒng)：如果系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的離散 信號，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。,2、數(shù)字控制系統(tǒng)：如果系統(tǒng)中的離散信號是數(shù)字序列形式的離散 信號，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念

7、5,五、采樣控制系統(tǒng) 采樣控制系統(tǒng)中不僅有模擬部件，還有脈沖部件，通常測量元 件、執(zhí)行元件和被控對像是模擬元件，其輸入和輸出是連續(xù)信號， 而控制器中的脈沖元件，其輸入和輸出為脈沖序列。,采樣：將模擬信號按一定時(shí)間間隔循環(huán)進(jìn)行取值從而 得到按時(shí)間順序排列的一串離散信號的過程稱為采樣。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念6,在信號傳遞通路中加一個(gè)控制開關(guān)k，k在規(guī)定的時(shí)間閉合、斷開。當(dāng)k閉合時(shí)，r(t)被接入控制電路，而k斷開時(shí)，r(t)被切除，則在開關(guān)的輸出端得到一串幅值為r(t)的脈沖信號，用r*(t)表示。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念7,采樣系統(tǒng)是對來自傳感器的連續(xù)信號在某些規(guī)定的時(shí)間瞬時(shí)上取值。,如果

8、在有規(guī)律的間隔上收到離散信號，則稱為周期采樣（采樣 間隔是相等的），T為采樣周期，每次采樣持續(xù)時(shí)間為,如果信息之間的間隔是時(shí)變的或隨機(jī)的，則稱為非周期性采樣 或隨機(jī)采樣。,如果系統(tǒng)中有幾個(gè)采樣器，則它們應(yīng)該是同步等周期的。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念8,因?yàn)樵诓蓸涌刂葡到y(tǒng)中傳遞著二種信號，連續(xù)信號和脈沖序列，為了使二種信號在系統(tǒng)中能相互傳遞，在連續(xù)信號和脈沖序列之間要用采樣器（將連續(xù)信號變成脈沖序列），而在脈沖序列和連續(xù)信號之間要用保持器（將脈沖序列變成連續(xù)信號）。,采樣器和保持器是采樣控制系統(tǒng)中的二個(gè)特殊環(huán)節(jié)。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念9,1、信號的采樣和復(fù)現(xiàn) 連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為

9、采樣過程，簡稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或稱為采樣開關(guān)。,T：表示采樣周期，單位是s； fs：表示采樣頻率，單位是1/s； fs1/T s：表示采樣角頻率，單位是rad/s； s2 fs 2/T,因?yàn)椴蓸娱_關(guān)多為電子開關(guān)，閉合時(shí)間極短，所以采樣持續(xù)時(shí)間 遠(yuǎn)小于采樣周期T，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)。,為了簡化分析，可以認(rèn)為0，即可以把采樣電路的輸出近 似看成一串強(qiáng)度等于矩形脈沖面積的理想脈沖e*(t)。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念10,矩形面積：s=A(t) ：脈沖寬度 A(t)：幅度,理想化后： 0,由脈沖函數(shù)定義，在00+脈沖高度B(t) 可視為不變數(shù)。而,所以：B(t)= A

10、(t) f(t)= A(t) (t)=B(t) (t) B(t):脈沖強(qiáng)度f(t):采樣函數(shù),7-1離散系統(tǒng)的基本概念11,在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為復(fù) 現(xiàn)過程，實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)的裝置叫保持器。,保持器的功能：保持器不僅把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號，完成 兩種信號之間的轉(zhuǎn)換，同時(shí)還因?yàn)椴蓸悠鬏敵龅拿}沖信號e*(t)中含 有高頻分量，如果不經(jīng)濾波，則相當(dāng)于給系統(tǒng)中的連續(xù)部分加入了 噪聲，影響控制質(zhì)量，因此需要在采樣器后加一個(gè)信號復(fù)現(xiàn)濾波 器。 最簡單的復(fù)現(xiàn)濾波器由保持器實(shí)現(xiàn)。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念12,保持器輸入信號,保持器輸出信號,保持器可把脈沖信號e*(t)復(fù)現(xiàn)為階梯信號e

11、h(t),當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，eh(t)接近于連續(xù)信號,7-1離散系統(tǒng)的基本概念13,2、采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖 根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同，可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng)。,a.開環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外，或系統(tǒng)本身不 存在閉合回路。,b.閉環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)。,而在實(shí)踐中用得最多的是：誤差采樣控制的閉環(huán)系統(tǒng)。,誤差采樣：采樣開關(guān)設(shè)在 誤差比較點(diǎn)之后。,s:采樣開關(guān)，0 Gh(s)：保持器傳遞函數(shù)， Gp(s):被控制對象傳遞函數(shù) H(s):反饋元件傳遞函數(shù),7-1離散系統(tǒng)的基本概念14,數(shù)字控制系統(tǒng)中的連續(xù)信號和數(shù)字信號的轉(zhuǎn)變是由A/D、D/A轉(zhuǎn) 換器完成的。,

12、A/D、D/A轉(zhuǎn)換器是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)。,六、數(shù)字控制系統(tǒng),7-1離散系統(tǒng)的基本概念15,七、離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn),采樣和數(shù)字控制技術(shù)與連續(xù)系統(tǒng)相比有以下特性：,1、由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置效果比連續(xù)校正裝置好，而 且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律、易于改變，控制靈活。,2、數(shù)字信號傳遞可以有效地抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。,3、提高系統(tǒng)的控制精度。,4、可以用一臺計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高設(shè)備的利用率。,7-1離散系統(tǒng)的基本概念16,八、離散控制系統(tǒng)的研究方法,連續(xù)系統(tǒng)用微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性建立數(shù)學(xué)模型，而 離散系統(tǒng)采用z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,通過z變換處理

13、后的離散系統(tǒng)，可以把用于連續(xù)系統(tǒng)中的許多 方法，如穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算、時(shí)間響應(yīng)分析以及系統(tǒng)校正 方法等經(jīng)適當(dāng)?shù)刃ё儞Q后，直接用于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。,7-2信號的采樣與保持1,在離散系統(tǒng)中，一方面要把連續(xù)信號變成脈沖信號，以供數(shù)字 控制器使用，另一方面，為了控制系統(tǒng)中的連續(xù)元部件，又需要使 用保持器將脈沖信號變成連續(xù)信號。,7-2信號的采樣與保持2,一、采樣過程：采樣過程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)來表示，采樣器每隔T秒閉合一次，閉合時(shí)間為，采樣器的輸入e(t)為連續(xù)信號，輸出e*(t)為寬度等于的調(diào)幅脈沖序列e(tn),在t=0時(shí)，s閉合秒，此時(shí)e*(t) e(t) 在t=后，s

14、打開，此時(shí)e*(t) 0 在t=T秒時(shí)， s又閉合秒， e*(t) e(t),7-2信號的采樣與保持3,由于很小， T，所以連續(xù)信號e(t)在時(shí)間內(nèi)變化很小， t=tn時(shí)刻的值e(tn)可以用高為e(nT)、寬為的單位脈沖近似表示。,e(tn)=e(nT)1(t-nT)-1(t-nT-) n=0,1,2,1(t-nT)-1(t-nT-)表示高度為1，寬為的矩形脈沖。,7-2信號的采樣與保持4,所以，e(t) 經(jīng)采樣以后的脈沖序列可表示為：,由于很小，可以認(rèn)為0,則有1(t-nT)-1(t-nT-)=(t-nT),說明： 1(t-nT)-1(t-nT-)是高為1，寬為，面積為的矩形脈沖 而(t-

15、nT)為t-nT處的單位脈沖函數(shù)（）函數(shù)。 所以，上式左邊1=；上式右邊是強(qiáng)度為的脈沖函數(shù)。,7-2信號的采樣與保持5,由于為定值，為了討論方便起見，把歸到采樣器以后的 系統(tǒng)中去考慮。,令理想采樣器的輸出信號為：,式中，e(nT)是連續(xù)信號有t=tn時(shí)的值。,7-2信號的采樣與保持6,二、采樣過程的數(shù)學(xué)描述：,1、采樣信號的Laplace變換，對e*(t)進(jìn)行Laplace變換,由位移定理：,7-2信號的采樣與保持7,所以，,說明，(t)函數(shù)僅在0，0起作用，而t0時(shí)，e-st=1,采樣信號的Laplace變換形式。,注意，e(nT)與e-nTs的區(qū)別， e(nT)是連續(xù)信號在t=tn時(shí)的值，

16、 e-nTs是以s為變量的指數(shù)函數(shù)。,7-2信號的采樣與保持8,例1：設(shè)連續(xù)信號為e(t)=1(t)，求脈沖序列e*(t)的Laplace變換。,解：,上式是一個(gè)等比數(shù)列，公比為：q=e-Ts，而e-Ts1，由無窮遞減 等比數(shù)列求和公式：,7-2信號的采樣與保持9,例2：設(shè)e(t)=e-att0a為常數(shù)，求E*(s),上式無窮遞減等比數(shù)列的公比為：e-T(a+s),7-2信號的采樣與保持10,設(shè)：e(t)=e-t-e-2tt0求E*(s),解：e(nT)e-nTs=e-nT-e-2nTe-nTs=e-nT(1+s)- e-nT(2+s),7-2信號的采樣與保持11,2、采樣信號的頻譜,由于采樣

17、信號的信息并不等于連續(xù)信號的全部信息（在采樣間隔 有信號丟失），所以采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜相比，要 發(fā)生變化，那么連續(xù)信號E(s)與采樣信號E*(s)之間有什么關(guān)系呢？,(t-nT)是單位脈沖序列，是一個(gè)周期函數(shù)，研究頻譜問題一 般是取付氏級數(shù)展開，得：,s：采樣角頻率,7-2信號的采樣與保持12,對上式取Laplace變換：,由Laplace變換位移性質(zhì)，,取式中f(t)=e(t)，ajns,由于n從到，為了與書上統(tǒng)一起見,7-2信號的采樣與保持14,式中，E(j)為原函數(shù)e(t)的頻譜，而E*(j)為采樣信號e*(t)的頻譜。,一般連續(xù)信號的頻譜E(j)為單一的連續(xù)頻譜，設(shè)它的最高

18、角頻 率為h，則采樣信號e*(t)的頻譜E*(j)是以采樣角頻率s為周 期的無窮個(gè)頻譜之和。,7-2信號的采樣與保持15,E*(j)與E(j)的形狀一至，但在幅值上變化了1/T倍。如圖,其中，n=0就是原函數(shù)的頻譜，但幅值為原來的1/T，稱為采樣頻 譜的主分量，而其余頻譜都是采樣而引起的高頻頻譜，稱為采樣 頻譜的補(bǔ)分量。,7-2信號的采樣與保持16,如果E*(j)頻譜中的各個(gè)波形不重疊，相互間隔一定的頻率（距 離）即：（采樣頻率2倍的E (j)最高 頻率）,在這種情況下，則可以用理想濾波器把h的高頻分量全部濾 掉，在E*(j)中只保留下1/T E (j)部分，原信號通過采樣后仍可 毫無畸變地復(fù)

19、現(xiàn)出來。,7-2信號的采樣與保持17,如果加大采樣周期和T，則采樣角頻率s相應(yīng)減小(s=1/T)，當(dāng) s 2h時(shí)，采樣頻率中的補(bǔ)分量相互交迭，在這種情況下，用 理想的濾波器也無法恢復(fù)原來的連續(xù)信號的頻譜。,所以，為了使采樣后的脈沖序列頻譜互不重疊，采樣頻率必須大 于或等于原信號所含的最高頻率的二倍。這樣才有可能通過理想 濾波器把原信號毫無畸變地恢復(fù)過來這就是香農(nóng)采樣定理。,7-2信號的采樣與保持13,s=2/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為：,連續(xù)信號的頻譜為,采樣信號的頻譜為,h,-h,0,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,s = 2h,濾波器的寬度滿足什么,條件時(shí)能從,得到,?!

20、,s 2h,或：,T/h,附：采樣定理,假設(shè)連續(xù)信號 不包含任何大于 的頻率分量，則Shannon采樣定理可描述為：,若 （式中： 為采樣周期， 相當(dāng)于連續(xù)信號 的頻譜），則信號 可以完整地從采樣信號 恢復(fù)過來。,7-2信號的采樣與保持18,所以，采樣頻率不能太低，否則信息損失太多，原信號不能準(zhǔn) 確恢復(fù)，但采樣頻率也不能太高，否則實(shí)現(xiàn)起來會有困難。,根據(jù)香農(nóng)采樣定理，采樣周期(T)和角頻率(s)與原信號最 高角頻率(h)的關(guān)系為:,7-2信號的采樣與保持19,三、信號保持：把數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號的裝置稱為保持器。,連續(xù)信號經(jīng)過采樣開關(guān)以后，其離散信號的頻譜中除了頻譜 主分量外，還存頻譜的補(bǔ)分

21、量。,這些頻譜的補(bǔ)分量在系統(tǒng)中相當(dāng)于高頻干擾信號，為了除去這 些高頻分量，恢復(fù)和重現(xiàn)原來的連續(xù)信號，需要用低通濾波器。,理想的濾波器特性,7-2信號的采樣與保持20,采樣信號經(jīng)過理想濾波器,對于理想濾波器，當(dāng)：,所以，經(jīng)過理想濾波器以后，E*1(j)與連續(xù)信號E(j)在形狀上完 全一樣，但幅值上相差1/T（見上圖）。這可在系統(tǒng)中增加放大器 來解決。,因?yàn)椴蓸雍蟮拿}沖序列：,7-2信號的采樣與保持21,實(shí)際上，理想濾波器是做不到的，通常用低通濾波器作保持電 路，工程實(shí)踐中，普遍采用零階保持器。,3、零階保持器,零階保持器將采樣信號轉(zhuǎn)變成在兩個(gè)連續(xù)采樣瞬時(shí)之間保持常 量的信號，其傳遞函數(shù)為,零階保

22、持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式：e(nT+t)=e(nt),式中， nT為采樣時(shí)刻； t為本次采樣時(shí)間與下次采樣之間的某一個(gè)時(shí)間值。,7-2信號的采樣與保持22,由零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式表明，零階保持器能把采樣時(shí)刻nT 的采樣值恒定不變地保持到下一采樣時(shí)間(n+1)T，從而使采樣信號 e*(t)變成階梯信號eh(t)。如圖,7-2信號的采樣與保持23,由于保持器的輸出是一個(gè)寬度為T，高度為e(nT)的脈沖信號， 所以它可以用二個(gè)單位階躍信號來模擬。,eh(t)=e(nT)1(t-nT)1(t-nT-T),對于全部的輸出信號，則有,7-2信號的采樣與保持24,對于全部的輸出信號：,取Laplace變換，由位移

23、性質(zhì)：,E*(s)：保持器的輸入 Eh(s)：保持器的輸出,7-2信號的采樣與保持25,保持器將離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號，近似重現(xiàn)作 用在采樣器上的信號。,零階保持器將采樣信號轉(zhuǎn)變成在兩個(gè)連續(xù)采樣瞬時(shí)之間保持常量的信號，其傳遞函數(shù)為,附：零階保持器,T=0.4,T=0.8,T=0.2,T=3,7-2信號的采樣與保持26,令：s=j，并使用歐拉公式,7-2信號的采樣與保持27,零階保持器的幅頻特性,相頻特性,由極限,當(dāng)0時(shí)，,7-2信號的采樣與保持28,由零階保持器的幅頻、相頻圖，零階保持器具有如下特性：,1、低通特性，由幅頻特性，幅值隨頻率增大而迅速衰減。 說明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，

24、但它不是理想的濾波 器，它的截止頻頻率有很多個(gè)，高頻分量仍有部分通過，造成數(shù)字 控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。,2、相角遲后特性，由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角遲 后，隨著增大，遲后角加大，在s,相角遲后可達(dá)180， 從而使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。 但與其他高階保持器相比，零階保持器相位滯后最小，所以普 遍采用零階保持器。,7-3z變換1,1、z 變換定義,在線性連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能分析中，可以用Laplace變 換的方法進(jìn)行分析，將微分方程化為以s為變量的代數(shù)方程。,在線性離散系統(tǒng)的性能分析中，采用z變換的方法來分析， 將含有e-nTs的超越方程化為線性代數(shù)方程。,注：等號兩邊至少有一個(gè)含

25、有未知數(shù)的初等超越函數(shù)式的方程。如指數(shù) 方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方程等。 具有未知量的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等的方程。 超越方程一般沒有解析解，而只有數(shù)值解或近似解，只有特殊的超越方 程才可以求出解析解來。 matlab是獲得數(shù)值解的一個(gè)最強(qiáng)大的工具。,根據(jù)采樣信號的Laplace變換：,令：zeTs，則：e-nTs=z-n或：,E(z)就稱為e*(t)的z變換，用Ze*(t)表示。,E(z)= Ze*(t),7-3z變換2,2、z變換方法： z變換常用二種主要方法,(1)級數(shù)求和法：根據(jù)z變換的定義，寫成展開式,然后求這個(gè)無窮級數(shù)之和。,7-3z變換3,例1：求單位

26、階躍函數(shù)e(t)=1(t)的z變換。,解：因?yàn)椋篹(t)=1(t)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1,e(nT)=1 (n=0,1,2,),7-3z變換4,因?yàn)槔硐朊}沖函數(shù)(t-nT)在nT時(shí)刻是強(qiáng)度為1的理想脈沖， 在其它時(shí)刻都為0。,由上二例看出，相同的z變換不一定對應(yīng)于相同的時(shí)間連續(xù)函數(shù)。,7-3z變換5,7-3z變換6,(2)部分分式法：利用部分分式法求出z變換時(shí)，,a、先求出已知連續(xù)函數(shù)e(t)的Laplace變換E(s),b、將有理分式函數(shù)E(s)展開成部分分式之和的形式，而每一部分 分式對應(yīng)簡單的時(shí)間函數(shù)，其相應(yīng)的z變換是已知的，于是可以 方便地求出E(s)函數(shù)對應(yīng)的z變換E(z)。

27、,7-3z變換7,例4、已知連續(xù)函數(shù)的Laplaec變換式為：,求z變換E(z)。,應(yīng)用例1和例3的結(jié)果，,7-3z變換8,7-3z變換9,常見的時(shí)間函數(shù)的z變換表見P322表72,7-3z變換10,3、z變換性質(zhì),(1)線性定理：若E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t) 則有：Ze1(t) e2(t)= E1(z) E2(z) Zae(t)=aE(z) 其中a為常數(shù),說明z變換是一種線性變換，滿足齊次性和可加性。,7-3z變換11,(2)實(shí)數(shù)位移定理平移定理,含義：實(shí)數(shù)位移定理的含義是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右 平移若干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為延遲。,如果函數(shù)e

28、(t)是可以Laplace變換，其z變換為E(z)。,（說明：因?yàn)閦變換是e*(t)的拉氏變換，所以e(t)必須是能有 拉氏變換，才有z變換。）,附1：證明z變換滯后定理,附1：證明z變換滯后定理,由于z變換的單邊性（詳見P324) 當(dāng)m0時(shí)，e(mT)=0。所以m 必定大于0。,作變量代換，令m=n,附2：證明z變換超前定理,令：m=n+k，則，n=0時(shí)，m=k；n= 時(shí)，m= ,附2：證明z變換超前定理,作變量代換：令n=m,在平移定理中，e(t-kT)是一個(gè)延遲函數(shù)，是e(t)函數(shù)滯后kT時(shí)間； e(t+kT)是e(t)超前kT時(shí)間。,物理意義是：z-k代表時(shí)域中的延遲環(huán)節(jié)，它將采樣信號

29、延遲了 k個(gè)采樣周期；zk代表了超前環(huán)節(jié)，它把采樣信號超前了k個(gè)采樣周 期。,7-3z變換12,實(shí)數(shù)位移定理是一個(gè)重要定理，其作用相當(dāng)于Laplace變換中 的微分和積分定理。,應(yīng)用實(shí)數(shù)位移定理，可以將描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為z 域的代數(shù)方程。,7-3z變換13,例6、用實(shí)數(shù)位移定理求 的z變換，其中a為常數(shù)。,而原式中k=1,7-3z變換14,(3)復(fù)數(shù)位移定理：,若函數(shù)e(t)是可以Laplace變換，其z變換為E(z)，則有：,證明：由z變換定義,含義：采樣信號e*(t)乘以指數(shù)序列的z變換，等于在 e*(t)的z變換表達(dá)式E(z)中以取代原算子z。,7-3z變換15,例7、計(jì)算函數(shù)

30、的z變換。,解：函數(shù)可看作e(t)=t，而指數(shù)函數(shù)是e-at,7-3z變換16,(4)終值定理：如果函數(shù)e(t)的z變換為E(z)，函數(shù)序列e(nT)為有限 值（n=0,1,2,），且極限存在，則函數(shù)的終值為,在離散系統(tǒng)中，常用終值定理求取穩(wěn)態(tài)誤差。,7-3z變換17,4、z反變換,所謂z 反變換，是從已知的z變換表達(dá)式E(z)，求相應(yīng)離散序 列e(nT)的過程。記：,常用的z反變換方法有三種：部分分式法、冪級數(shù)法、留數(shù)法。,7-3z變換18,a、部分分式法： 在部分分式法中，考慮到z變換表中的所有z變換函數(shù)E(z)在其 分子上普遍都有因子“z”，為了便于展開為部分分式后查表，可先 按E(z)

31、/z展開，然后將結(jié)果的每一項(xiàng)都乘以z，即得到E(z)的部分 分式，再將分解后的部分分式的每一項(xiàng)逐一查表，取得相應(yīng)的信 號序列。,7-3z變換19,注意：z的反變換得到的是采樣序列函數(shù)e(nT)，而離散信號為：,7-3z變換20,b、冪級數(shù)法,如E(z)表示為按z-1升冪排列的二個(gè)多項(xiàng)式之比：,注：式中，cn為采樣 脈沖序列e*(t)的脈沖強(qiáng) 度e(nT)。 而Z-1z-n=(t-nT),上式是一個(gè)無窮多項(xiàng)式之和，但在實(shí)際應(yīng)用中常常只需要計(jì)算 有限的幾項(xiàng)就夠了。,7-3z變換21,7-3z變換22,c、反演變換法（留數(shù)法）,采用反演變換法求取z反變換的原因是：當(dāng)函數(shù)E(z)除了有理 數(shù)外，也可能

32、是超越函數(shù)（含esT)，此時(shí)無法應(yīng)用部分分式法和冪 級數(shù)法來求z反變換，而只能采用反演積分法。而反演積分法對E(z) 為有理分式的情況也是適用的。由于E(z)的冪級數(shù)展開形式為：,函數(shù)各級系數(shù)E(z)可以看成是z平面上的勞倫級數(shù)。級數(shù)的各系數(shù) e(nT)可以用積分的方法求出，因?yàn)樵谇蠓e分值時(shí)要用到柯西留數(shù) 定理，幫稱為留數(shù)法。,7-3z變換23,級數(shù)的各級系數(shù)e(nT)可表示為：,若：E(z)zn-1有n階重極點(diǎn)zi,則，,7-3z變換24,函數(shù)E(z)zn-1有二個(gè)極點(diǎn)，z1=1; z2=0.5,7-3z變換25,7-3z變換26,5、關(guān)于z變換的說明,(1)z變換是對連續(xù)信號的采樣序列進(jìn)行

33、變換，因此，z變換與原連 續(xù)時(shí)間函數(shù)并非一一對應(yīng)，而只與采樣序列相對應(yīng)。 不同的函數(shù)，采樣規(guī)律不同，經(jīng)采樣后e*(t)可以相同，也可以不 相同。,由圖，e*1(t)= e*2(t) 所以，E1(z)= E2(z) 但，e1(t) e2(t),由于e*(t)可以代表采樣瞬時(shí)具有相同數(shù)值的任何連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t), 對于任一給定的z變換函數(shù)E(z),求出的反變換也不是唯一的。,7-3z變換27,(2)在大多數(shù)工程問題中，是從采樣開始計(jì)時(shí)的，即n0時(shí)， e(nT)=0，所以，z變換具有單邊性。,(3)在大多數(shù)工程問題中，z變換都是有存在的。,附：差分定理,描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而描述離散

34、系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 模型是用差分方程。,一階前向差分方程定義為：,附：差分定理,二階前向差分定義為對一階差分再進(jìn)行差分。,由一階差分定義式：,對于n階前向差分則為：,附：差分定理,一階后向差分定義為：,二階后向差分定義為：,n階后向差分定義為：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1,一、差分方程：,采樣系統(tǒng)如圖，當(dāng)采樣系統(tǒng)在時(shí)刻 k閉合的瞬時(shí)，相當(dāng)于加上了一個(gè) 高度為x(kT)的脈沖信號。,x*(kT)=x(kT)(t-kT),設(shè)h(t)為單位脈沖(t)的響應(yīng)函數(shù)，且t0時(shí)，h(t)=0,所以， 當(dāng)輸入為x(kT)(t-kT)時(shí)，由線性電路的齊次性，輸出為： h(t-kT)x(kT)。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

35、2,所以，系統(tǒng)對脈沖序列的響應(yīng)為：,當(dāng)t=nT時(shí)，,由采樣系統(tǒng)的單邊性，當(dāng)nTkT0時(shí)，h(nT-kT)=0,即：kn時(shí)，h(t)=0,nk (2) n是輸出脈沖響應(yīng)時(shí)刻，k是輸入采樣時(shí)刻。 (3) 由上式導(dǎo)出差分方程。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3,解：因?yàn)閭鬟f函數(shù)的拉氏反變換即為脈沖響應(yīng)，,所以，,當(dāng)t=nT時(shí)，h(nT-kT)=nT-kT,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5,由于系統(tǒng)是個(gè)二階系統(tǒng)(G(s)=1/s2)，所以用二階差分方程來描述。,由二階差分方程的定義，,代入相應(yīng)的關(guān)系式：,為系統(tǒng)G(s)=1/s2在采樣時(shí)刻的輸入/輸出關(guān)系：二階線性差分方程,7-4離散系

36、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6,二、離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有：差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離 散狀態(tài)空間三種。,本節(jié)只介紹差分方程及其解法、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念和開 環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的建立。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7,三、線性常系數(shù)差分方程及其解法：線性定常離散系統(tǒng)k時(shí)刻的輸 出c(k)，不但與k時(shí)刻的輸入r(k)有關(guān)，而且與k時(shí)刻以前的輸入 r(k-1)、 r(k-1)有關(guān)，同時(shí)還與k時(shí)刻以前的輸出c(k1)、 c(k2)有關(guān)。,這種關(guān)系可以用n階后向差分方程來描述：,c(k)+a1c(k-1)+a2c(k-2)+an-1c(k-n+1)+anc(k-n) =b0r(k)+b1r(k-1)+

37、b2r(k-1)+bm-1r(k-m+1)+bmr(k-m),式中，nm,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8,線性定常離散系統(tǒng)也可以用n階前向差分方程來描述：,c(k+n)+a1c(k+n-1)+an-1c(k+1)+anc(k) =b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+bm-1r(k+1)+bmr(k),7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型9,求解差分方程常用迭代法和z變換法,1、迭代法：由差分方程、輸出初始值，用遞推關(guān)系，一步一步算 出序列脈沖輸出。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型10,例12、已知c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，輸入序列：r(k)1,初始條件：c(0)0； c(1)1,求：k

38、=0，1，2的輸出脈沖序 列c(k)。,解：已知：k=0時(shí)c(0)=0； k=1時(shí)c(1)=1，當(dāng)取k=2,3,4 時(shí)得，,c(2)=r(2)+5c(2-1)-6c(2-2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6,c(3)=r(3)+5c(3-1)-6c(3-2)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+56-61=25,c(4)=r(4)+5c(4-1)-6c(4-2)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+525-66=90,對于任一時(shí)刻的輸出值，都可以用這種方法推出。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型11,2、z變換法：利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理，對差分方程兩端取z變 換，得到以z為變量

39、的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解c(z)取z反 變換，求得c(k)。,回顧z變換的實(shí)數(shù)位移定理：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12,例13：用z變換法求解下式的二階差分方程,c*(t+2T)+3c*(t+T)+2c*(t)；初始條件：c(0)=0,c(1)=1(T=1),則在Zc(t+2T)中，k=2,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型13,則在Z3c(t+T)中，k=1,而z2c(t)=2c(z),所以，原式z2c(z)-z+3zc(z)+2c(z)=0,用部分分式：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14,當(dāng)a=-1時(shí)，,當(dāng)a=-2時(shí)，,所以，脈沖序列函數(shù)：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型15,四、脈沖傳遞函數(shù)：求差分方

40、程的解，可以提供線性定常離散系統(tǒng) 在給定輸入序列作用下的輸出序列響應(yīng)特性，但不便于研究系統(tǒng)參 數(shù)變化對離散系統(tǒng)性能的影響。,連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由拉氏變換導(dǎo)出，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函 數(shù)由z變換導(dǎo)出。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型16,1、 脈沖傳遞函數(shù)的定義,在零初始條件下，系統(tǒng)輸出離散信號的 變換與輸入離散信號的 變換之比，即,系統(tǒng)輸出脈沖序列為,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型17,2、脈沖傳遞函數(shù)的求法,a、若已知系統(tǒng)的差分方程，則對差分方程進(jìn)行z變換，即可得脈沖 傳遞函數(shù)。,例14、差分方程為c(nT)=r(n-k)T，求脈沖傳遞函數(shù)G(z)。,解：對差分方程取z 變換，因?yàn)?，c(z)=Zc(nT)

41、,由實(shí)數(shù)位移定理，,由脈沖傳遞函數(shù)定義：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型18,b、已知系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)，則對G(s)進(jìn)行z變換，可求 得G(z)。,例14：已知,求G(z),解：查表：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19,求脈沖傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問題,，可簡寫為 。,表示脈沖傳遞函數(shù)， 表示連續(xù)傳遞函數(shù)，但 不是簡單地將 中的 換成 得到的。,已知傳遞函數(shù) ，求脈沖傳遞函數(shù)的步驟為：,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型20,例15 求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。,例16 求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。,解,解,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型21,3、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),由于采樣系統(tǒng)中的采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同

42、，即使二個(gè)開 環(huán)離散系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同(G1(s)、 G2(s)，但求出的開環(huán) 脈沖傳遞函數(shù)也會截然不同。,引用P337，采樣拉氏變換的兩個(gè)重要的性質(zhì)： 采樣拉氏變換具有周期性：G*(s)= G*(s+jks) 若采樣函數(shù)的拉氏變換E*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換G(s)相乘后 再離散化，則E*(s)可以從離散符號中提出來，即： G(s)E*(s)*=G*(s)E*(s),7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型22,串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),a、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān),對于第一個(gè)環(huán)節(jié)，由于前后都有采樣開關(guān)，其輸入為：r*(t)， 輸出為d*(t)，所以，由脈沖傳遞函數(shù)的定義：,(1),7-4離散系統(tǒng)

43、的數(shù)學(xué)模型23,同理，,(2),合并（1）、（2）二式，得：,推廣：n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，且環(huán)節(jié)之間均有理想采樣開關(guān)分隔，那 么，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之乘積。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型24,b、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān),由于G1(s)、G2(s)之間沒有采樣開 關(guān)隔開，所以輸出的拉氏變換：,C(s)=G1(s)G2(s)R*(s),對輸出信號C(s)離散化，并應(yīng)用采樣拉氏變換性質(zhì),C*(s)=G1(s)G2(s)R*(s)*= G1(s)G2(s)* R*(s)= G1G2 *(s)R*(s),對C*(s)兩邊取z變換，C(z)=G1G2(z)R(z),7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型25,

44、注意：G1G2*(s)G1*(s)G2*(s) G1G2(z) G1(z)G2(z),上式的左邊表示二個(gè)連續(xù)函數(shù)相乘以后再離散化，右邊表示二 個(gè)連續(xù)函數(shù)離散化后相乘。,兩個(gè)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔差時(shí)，應(yīng)先求出乘積G1(s)G2(s)， 然后再求G1(s)G2(s)的z變換。 這一結(jié)論也可以推廣到類似幾個(gè)環(huán)節(jié)相串連的情況。,7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型26,4、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如下：,由于離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式 不同，且采樣開關(guān)在系統(tǒng)中 的位置也各不相同。因此， 這類系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函 數(shù)沒有一般的計(jì)算公式，需 根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)來求取。,C(s)=G(s)E*(s),而

45、：E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s),連續(xù)信號離散化： E*(s)R*(s)-H(s)G(s)E*(s)*= R*(s)-GH*(s)E*(s),7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型27,又C(s)=G(s)E*(s),對E*(s)、C*(s)取z變換得：,e(z):誤差脈沖傳遞函數(shù)；(z):閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程：D(z)=1+GH(z)=0,開環(huán)離散系 統(tǒng)脈沖傳遞 函數(shù)GH(z),7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型28,請注意：,因?yàn)?z)隨采樣開關(guān)的位置與數(shù)目不同而非唯一，而(s) 卻是唯一的。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1,和連續(xù)控制系統(tǒng)一樣，

46、穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差也是線性定常離散系 統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。,離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要是在z域和域中分析。,為了把連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果移植到z平面上分 析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先討論一下s平面與z平面的映射關(guān)系。,注意二個(gè)平面：,s平面研究連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的平面。,z平面研究離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的平面。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差2,1、s域到z域的映射關(guān)系：,由z變換定義：,因?yàn)閟是一復(fù)變量，在s域中的任意一點(diǎn)表示為s=+j。,s域與z域的基本映射關(guān)系：,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差3,令s平面的實(shí)部為零，即=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，當(dāng)從 -+變化時(shí)，z1；z=T,當(dāng)s

47、平面上點(diǎn)沿虛軸從 移動到， 即：,z平面上點(diǎn)沿單位圓從-到逆時(shí)針變化一圈。而當(dāng)s平面上點(diǎn)在虛 軸上從移動到時(shí)，z平面上點(diǎn)又轉(zhuǎn)一圈。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差4,等線映射：當(dāng)s平面上為某一定點(diǎn)時(shí)，則映射到z平面上的軌 跡是以原點(diǎn)為圓心，以半徑的圓。,由于s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，,在左半平面上,在右半平面上,所以，左半平面上的等線映射到z平 面的同心圓在單位圓內(nèi)，而右半平面上 的等線映射到z平面的同心圓在單位 圓外。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差5,等映射：當(dāng)為某一定值，而變化時(shí)，則在z平面上是一條 從圓心發(fā)出的一條射線，其角度z= T。,在s平面上，的水平線在z平面上正好映

48、射為負(fù)實(shí)軸。,s,z,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差6,等線映射：,等在s平面上描述為：,因?yàn)樵趕平面上，s=+j,定義等線為一條與虛軸夾角為的直線。,由等線圖： -tg ,s= -tg + j,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7,由這些關(guān)系式可見， 除0；|z|=1， 90； |z|=0外， 對于為某一常數(shù)， 左半平面的等線映 射為z平面上一條單位 圓內(nèi)收斂的對數(shù)螺旋 線。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差8,有了以上的幾個(gè)映射關(guān)系，現(xiàn)在可以討論s平面上周期帶在z平 面上的映射關(guān)系：,s平面主要帶，通過變換，映射為z平面的單位圓以 及單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸。,由于周期變化規(guī)律，s平面的所有次要帶

49、在z平面上均映射為相 同的單位圓及單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差9,2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,離散系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：若離散系統(tǒng)在有界輸入序列作用下，其 輸出序列也是有界的，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,1）時(shí)域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)且僅當(dāng)差分方程所有特征 根的模|ai|1，i=1,2n，則相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2）z域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,由z域中離散系統(tǒng)的特征方程式D(z)=1+GH(z)=0，設(shè)特征方程的根 或閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為z1、z2 zn,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差10,由s域到z域的映射關(guān)系：,s左半平面映射為z平面上的單位圓內(nèi)，

50、對應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域；,s右半平面映射為z平面上的單位圓外，對應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域；,s平面虛軸映射為z平面上的單位圓，對應(yīng)臨界穩(wěn)定情況。,因此，在z域中，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)離散 系統(tǒng)特征方程D(z)=1+GH(z)=0的全部特征根均分布在z平面上的單 位圓內(nèi)，或者說，所有的特征根的模小于1。 |zi|1，i=1,2n， 相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若|zi|1或|ai|=1，則是臨界 情況，列為不穩(wěn)定的范疇。,線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于 的左半平面。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差11,線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于 平面

51、的單位園內(nèi)。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差12,例17：設(shè)離散系統(tǒng)如圖,試分析其穩(wěn)定性,由特征方程D(z)=1+GH(z)=0得：,z2+4.952z+0.368=0解得：z1=-0.076；z2=-4.876,因?yàn)?|z2|1，所以，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差13,注意，在上例中如果沒有采樣開關(guān)，則為連續(xù)系統(tǒng)，特征方程為：,D(s)=1+G(s)H(s)0所以：s2+s+10=0,求得特征方程根：s1,2=-0.5j3.12,特征根具有負(fù)實(shí)部，所以連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,上例說明，無采樣器時(shí)，二階連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但引入采樣 器以后，二階離散系統(tǒng)卻有可能變得不穩(wěn)定。

52、,所以采樣器的引入一般會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,為什么？,因?yàn)椴蓸娱g隔有信號損失，如果提高采樣頻率或降低開環(huán)增益，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性將會得到改善。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差14,3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可通過求解差分方程（|ai|1)，或z域 特征方程(|zi|1)，但當(dāng)離散系統(tǒng)的階數(shù)較高時(shí)，“根”不容易求得， 所以，常用間接的方法來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，類似于連續(xù)系統(tǒng) 中的勞斯胡爾維茨判據(jù)。,在連續(xù)系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)是通過判斷系統(tǒng)的特征方程的根是否 全在左半s平面，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,能否將連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯判據(jù)移植到離散系統(tǒng)中來呢？,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1

53、5,對于離散系統(tǒng)，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定是要知道系統(tǒng)的特征根是否全在 z平面的單位圓內(nèi)。因此，連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯判據(jù)還不能直接應(yīng) 用，需要引入另一種從z域到域的線性變換。,將z 平面的單位圓 變成平面的上虛軸； 將z 平面的單位圓內(nèi) （穩(wěn)定區(qū)域）變成平 面的左半部。（如圖）,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差16,(1)變換與勞斯判據(jù),7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差17,平面的虛軸，即：u=0，則：x2+y2=1，這是單位圓的方程。,平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓。,又因?yàn)椋?x-1)2+y20； 所以：當(dāng)u0時(shí)（即平面的右半平面）， 對應(yīng)的是x2+y21；正是單位圓外。,U0時(shí)，對應(yīng)x2+y21，正是z

54、平面單位圓內(nèi)。,經(jīng)過以上變換，可將線性定常離散系 統(tǒng)的特征方程1+GH(z)=0轉(zhuǎn)換為平面上的 特征方程1+GH()=0。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差18,離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 特征方程1GH()0的所有根，嚴(yán)格位于 左半平面，這種情況正好與s平面上應(yīng)用勞斯穩(wěn) 定判據(jù)情況一樣。因此，根據(jù)域中的特征方程， 系統(tǒng)可以直接應(yīng)用勞斯判據(jù)，判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn) 定性。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差19,例14 判斷圖示閉環(huán)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解,上式化簡后，得,勞斯表中第一列有一次符號變化，所以有一根位于 右半平面，即對應(yīng)有一個(gè)根位于 平面單位圓之外，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,令,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

55、與穩(wěn)態(tài)誤差20,討論,采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響：在連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的 穩(wěn)定性取決于開環(huán)增益k，極點(diǎn)的分布和傳輸延遲，而在離散系統(tǒng) 中，除上述因素外，采樣周期T也將影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,k與T對離散系統(tǒng)的影響如下：,1)當(dāng)采樣周期T一定時(shí)，加大開環(huán)增益k會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變 差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2)當(dāng)k一定時(shí)，T越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動 態(tài)性能均不利，甚至可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。（見例730）,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差21,4、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,在連續(xù)系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算有二種方法 穩(wěn)態(tài)誤差：用拉氏變換終值定理求 動態(tài)誤差：用泰勒級數(shù)展開,由于離散系統(tǒng)沒有唯

56、一的典型結(jié)構(gòu)，所以，誤差脈沖傳遞函數(shù) e(z)也給不出一般的計(jì)算式。,離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，需要針對不同形式的離散系統(tǒng)求取。利 用z變換的終值定理方法，求誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬間的值 誤差。,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差22,由脈沖誤差傳遞函數(shù)的定義：,由z變換終值定理：,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差23,例18、圖中：,T0.1s，當(dāng)r(t)分別為1(t)和t時(shí)， 求離散系統(tǒng)的相應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。,代入T0.1,誤差傳遞函數(shù)：,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差24,由上式可以求出系統(tǒng)的特征根：z1,2=0.368j0.482，|z|1，所 以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，可以用終值定理求出穩(wěn)態(tài)誤差。,當(dāng)

57、r(t)=1(t)時(shí)，,7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差25,當(dāng)r(t)=t時(shí)，,如果希望求出其它結(jié)構(gòu)形式的離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差， 只要求出系統(tǒng)誤差的z變換函數(shù)E(z)或脈沖誤差傳遞函數(shù) e(z)，在離散系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，可用z變換終值定理 算出穩(wěn)態(tài)誤差。,小 結(jié),采樣過程可視為一種脈沖調(diào)制過程。為無失真地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號，采樣頻率應(yīng)符合香農(nóng)采樣定理。但實(shí)際采樣頻率，一般比符合香農(nóng)采樣定理的頻率要高得多。為將采樣后的離散信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)信號，常用零階保持器。,在零初始條件下，系統(tǒng)的離散輸出信號的z變換與離散輸入信號的z變換之比，即為脈沖傳遞函數(shù)。求脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意各環(huán)節(jié)間是否有采樣開關(guān)。同樣，閉

58、環(huán)脈沖傳遞函數(shù)因采樣開關(guān)設(shè)置位置的不同而不同。,小 結(jié),閉環(huán)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)特征方程的根全部位于z平面上以原點(diǎn)為園心的單位園內(nèi)，通過雙線性變換，將z變量變?yōu)樽兞亢螅涂蓱?yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)來分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)。,利用MATLAB的有關(guān)函數(shù)，可方便地得到離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，直接繪制伯德圖和奈奎斯特圖，并得到閉環(huán)特征方程式的根，無須進(jìn)行雙線性變換，就可方便地判斷閉環(huán)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析1,5、離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),求動態(tài)性能時(shí)，假定輸入為單位階躍r(t)=1(t)，因?yàn)殚] 環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,所以輸出：,將上式展開為冪級數(shù)，求出輸出信號的脈沖序列

59、C*(t)，C*(t) 代表了線性定常離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的響應(yīng)過程，包 含了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的有關(guān)性能指標(biāo)，根據(jù)C*(t)可方便地分析離散 系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。（詳見例732）,若已知閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，應(yīng)用 反變換，可得各典型輸入信號下線性定常離散系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。,7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析2,例12 求圖示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。,解,7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析3,7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析3,7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析4,6、采樣器和保持器對動態(tài)性能的影響,采樣器和保持器不影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，僅影響開環(huán) 脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)(見P340)。 但對閉環(huán)離散系統(tǒng)而言，開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)的變化，必然會 引起閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)的改變。 采樣器和保持器對離散系統(tǒng)的動態(tài)性能影響如下： a、采樣器可使系統(tǒng)的峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間略有減小，但超調(diào) 量增大。所以，因采樣造成的信息損失會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 b、零階保持器使系統(tǒng)的峰值時(shí)間和調(diào)失時(shí)間都加長，超調(diào)量 和振蕩次數(shù)也增加，這是因?yàn)槌瞬蓸釉斐傻牟环€(wěn)定因素外，零階 保持器的相角遲后降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析5,7、閉環(huán)極點(diǎn)與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系