2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.2 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案

1、9.2兩條直線的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.以考查兩條直線的位置關(guān)系、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條直線的交點坐標(biāo)為主，有時也會與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，特別是距離公式，是高考考查的重點.1兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行：()對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.()當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不

2、存在時，l1l2.兩條直線垂直：()如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k21.()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1l2.(2)兩條直線的交點直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解2幾種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|.(2)點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.(3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d .知識拓展1直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直

3、線AxByC0垂直的直線系方程是BxAyn0(nR)2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是A1B2A2B10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是A1A2B1B20.4過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等題組

4、一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為1.()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(4)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()(6)若點A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點在直線l上()題組二教材改編2P110B組T2已知點(a,

5、2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A. B2 C.1 D.1答案C解析由題意得1.解得a1或a1.a0，a1.3P101A組T10已知P(2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線xy10，則m_.答案1解析由題意知1，所以m42m，所以m1.題組三易錯自糾4(2017鄭州調(diào)研)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m等于()A2 B3C2或3 D2或3答案C解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則有，故m2或3.故選C.5直線2x2y10，xy20之間的距離是_答案解析先將2x2y10化為xy0，則兩平行線間的距離為d.6若直線(3a2)x(14a

6、)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a_.答案0或1解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.題型一兩條直線的位置關(guān)系典例 (2018青島模擬)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且l1過點(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過點(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此種情況不存在，k20，即k1，k2都存在且不為0.k21a，k1，l

7、1l2，k1k21，即(1a)1.(*)又l1過點(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)聯(lián)立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在，k1k2，即1a，又坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，且l1l2，l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b，聯(lián)立，解得或a2，b2或a，b2.思維升華 (1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練 已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya2

8、10.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)當(dāng)l1l2時，求a的值解(1)方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；當(dāng)a1且a0時，兩直線可化為l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，綜上可知，當(dāng)a1時，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故當(dāng)a1時，l1l2.(2)方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，故a1不成立；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；當(dāng)a1且a

9、0時，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.題型二兩直線的交點與距離問題1已知直線ykx2k1與直線yx2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是_答案解析方法一由方程組解得(若2k10，即k，則兩直線平行)交點坐標(biāo)為.又交點位于第一象限，解得k.方法二如圖，已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點A(4,0)，B(0,2)而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點P(2,1)，斜率為k的動直線兩直線的交點在第一象限，兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)，動直線的斜率k需滿足kPAkkPB.kPA，kPB.k.

10、2若直線l過點P(1,2)且到點A(2,3)和點B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_答案x3y50或x1解析方法一當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意方法二當(dāng)ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)l過AB的中點時，AB的中點為(1,4)直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.思維升華 (1)求過兩直線交點的直線方程的方法先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程(2)利用

11、距離公式應(yīng)注意：點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等題型三對稱問題命題點1點關(guān)于點中心對稱典例 過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_答案x4y40解析設(shè)l1與l的交點為A(a,82a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.命題點2點關(guān)于直線對稱典例 如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2

12、,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()A3 B6C2 D2答案C解析直線AB的方程為xy4，點P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(2,0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|2.命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題典例 已知直線l：2x3y10，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程解在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上設(shè)對稱點M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)又直線m經(jīng)過點N(4,3)，由兩點式得直線m的方程為9

13、x46y1020.思維升華 解決對稱問題的方法(1)中心對稱點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點P(x，y)滿足直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決(2)軸對稱點A(a，b)關(guān)于直線AxByC0(B0)的對稱點A(m，n)，則有直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決跟蹤訓(xùn)練 已知直線l：3xy30，求：(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點；(2)直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線解(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對稱點為P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中點在直線3xy30上，330.由得把x4，y5代入得

14、x2，y7，點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P的坐標(biāo)為(2,7)(2)用分別代換xy20中的x，y，得關(guān)于l對稱的直線方程為20，化簡得7xy220.(3)在直線l：3xy30上取點M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對稱點M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，k3，對稱直線方程為y13(x2)，即3xy50.妙用直線系求直線方程一、平行直線系由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系典例1求與直線3x4y10平行且過點(1,2)的直線l的方程思想方法指導(dǎo) 因為所求直線與3x4y10平行，因此

15、，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1)規(guī)范解答解由題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因為直線過點(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.二、垂直直線系由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此，當(dāng)兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必然的聯(lián)系可以考慮用直線系方程求解典例2求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程思想方法指導(dǎo) 依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解規(guī)范解答解因為所求直線與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yC10，又直線過點A(2,1)，所以有221C1

16、0，解得C10，即所求直線方程為x2y0.三、過直線交點的直線系典例3(2017湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x3y10和x3y40的交點，并且垂直于直線3x4y70的直線方程為_思想方法指導(dǎo) 可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出所求方程，再把交點坐標(biāo)代入求解；又可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解解析方法一由方程組解得即交點為，所求直線與直線3x4y70垂直，所求直線的斜率為k.由點斜式得所求直線方程為y，即4x3y90.方法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x3ym0，由方程組可解得交點為，代入4x3ym0，得m9，故所求

17、直線方程為4x3y90.方法三由題意可設(shè)所求直線方程為(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又所求直線與直線3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直線方程為4x3y90.答案4x3y901直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D不能確定答案C解析直線2xym0的斜率k12，直線x2yn0的斜率k2，則k1k2，且k1k21.故選C.2(2018邢臺模擬)“a1”是“直線ax3y30和直線x(a2)y10平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析由題意得，直線ax3y30和直線

18、x(a2)y10平行的充要條件是解得a1，故選C.3從點(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80答案A解析由直線與向量a(8,4)平行知，過點(2,3)的直線的斜率k，所以直線的方程為y3(x2)，其與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(2,3)，所以反射光線過點(2,3)與(0,2)，由兩點式知A正確4(2017蘭州一模)一只蟲子從點O(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：xy10上的P點，再從P點出發(fā)爬行到點A(1，1)，則蟲子爬行的最短路程是()A. B2 C3

19、D4答案B解析點O(0,0)關(guān)于直線xy10的對稱點為O(1,1)，則蟲子爬行的最短路程為|OA|2.故選B.5若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2之間的距離為()A. B4C. D2答案C解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1與l2的方程分別為l1：xy60，l2：xy0，l1與l2的距離d.6若直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2經(jīng)過定點 ()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)答案B解析直線l1：yk(x4)經(jīng)過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)，又直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(2

20、,1)對稱，故直線l2經(jīng)過定點(0,2)7若三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點，則m的值為_答案9解析由得點(1,2)滿足方程mx2y50，即m12250，m9.8將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則mn_.答案解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是解得故mn.9(2017浙江嘉興一中月考)已知直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點P，若l1l2，則a_，此時點P的坐標(biāo)為_答案1(3,3)解析直線l1：axy60與

21、l2：x(a2)ya10相交于點P，且l1l2，a11(a2)0，即a1，聯(lián)立方程易得x3，y3，P(3,3)10已知直線l1：axy10，直線l2：xy30，若直線l1的傾斜角為，則a_；若l1l2，則a_；若l1l2，則兩平行直線間的距離為_答案112解析若直線l1的傾斜角為，則aktan 1，故a1；若l1l2，則a11(1)0，故a1；若l1l2，則a1，l1：xy10，兩平行直線間的距離d2.11已知方程(2)x(1)y2(32)0與點P(2,2)(1)證明：對任意的實數(shù)，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標(biāo)；(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4.(1)解顯然2與(1)不可能同時為零，故對任意的實數(shù)，該方程都表示直線方程可變形為2xy6(xy4)0，解得故直線經(jīng)過的定點為M(2，2)(2)證明過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時，|PQ|PM|，此時對應(yīng)的直線方程是y2x2，即xy40.但直線系方程唯