2019版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第4講 冪函數與二次函數學案

1、第四講冪函數和二次函數板塊一知識結合自主學習基本知識測試中心冪函數的圖像和性質1.五種冪函數圖像的比較2.冪函數性質的比較即將結束1.一維二次不等式常數成立的條件(1) ax2 bx c 0 (a 0)是常數，當且僅當(2) ax2 bx c 0 (a 0)是常數，當且僅當2.二次函數表達式的三種形式(1)通式：y=ax2 bx c (a 0)。(2)頂點：y=a (x h) 2 k(其中a0，頂點坐標為(-h，k)。)。(3)兩個公式：y=a (x-x1) (x-x2)(其中a0，x1，x2是二次函數圖像與x軸兩個交點的橫坐標)。測試現場自檢1.判斷下列結論是對還是錯。(正確鍵入“”和“錯誤

2、鍵入”)(1)冪函數的圖像都通過點(1，1)和(0，0)。()(2)二次函數y=ax2 bx c (x r)不能是偶數函數。()(3)二次函數y=ax2 bx c，xa，b的最大值必須是。()(4)當0時，冪函數y=x 在域內是一個遞減函數。()答案(1)、(2)、(3)和(4)2.2018濟南診斷如果冪函數f (x)=k+=的圖像穿過該點，則k =()A.B.1C.D.2答案三從解析上講，根據冪函數的定義，k=1，f=，所以=，解是=，所以k =。3.教科書改編如果，函數y=x 的定義域是R，所有奇數函數的值都是()A.1，3 B- 1，1C.-1，3d-1，1，3回答一分析上，當=-1，1

3、，3時，冪函數是奇函數，當=-1時，區(qū)域不是R，所以=1，3。因此，答.4.教科書改編函數f(x)=2x2-MX 3，當x-2，時，f(x)是遞增函數，當x(-，-2)，f(x)是遞減函數，然后是f(1)A.-3 B.13C.7 D.5回答乙解析式2， m=-8， f (1)=13。選擇b .5.函數f(x)=-x2 4x 1(x-1，1)的最大值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答4分析上，因為對稱軸是x=2 -1，1，函數在-1，1上單調增加，所以當x=1時，函數取最大值4。6.教科書改編眾所周知，函數f (x)=ax2 x 5的圖像在x軸之上，所以A的取值范圍是_ _ _ _ _

4、 _ _ _ _?；卮鸱治鯝，這可以通過了解問題的含義來解決。板塊兩個典型案例研究方向的突破測試方向冪函數的圖像和性質例1 (1)如果函數f (x)=(m2-m-1) XM是一個冪函數，并且是x(0，)上的一個遞增函數，那么實數m是()A.-1 B.2c . 3d-1或2回答乙解析f (x)=(m2-m-1) XM是冪函數m2-m-1=1m=-1或m=2。x(0,)是一個遞增函數，因此m=2。(2)2016年國家卷三眾所周知，A=2，B=4，C=25，那么()A.b1的值確定位置后，其余象限由奇偶性決定。(2)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇合適的函數，并借助它們的單調性進行比較。

5、變體訓練1 (1)眾所周知，冪函數f (x)=(N2 2n-2) xn2-3n (n z)關于y軸對稱，并且是(0，)上的遞減函數，因此n的值是()A.-3 B.1C.2 D.1或2回答乙分析上，因為f(x)是冪函數，N2 2n-2=1，解是n=1或n=-3。經檢驗，只有n=1符合問題的意思，所以b .(2)2018昆明模擬如果A=20.3，B=30.2，C=70.1，則A，B，C的大小關系為()a . a c b . b . c a bc . a b c . d . c b a回答乙解析冪函數y=x0.1，x(0，)由已知的a=80.1，b=90.1和c=70.1構造而成。根據冪函數的單調性

6、，c a b .求二次函數的解析表達式例2眾所周知，二次函數f(x)滿足f (2)=-1，f (-1)=-1，并且f(x)的最大值是8，因此嘗試確定這個二次函數的解析表達式。解決方案1:(使用通式)讓f (x)=ax2 bx c (a 0)。被問題的含義所解決二次函數的解析公式是f (x)=-4x2 4x 7。解決方案2:(使用頂點)讓f (x)=a (x-m) 2 n (a 0)。f(2)=f(-1)，拋物線的對稱軸是x=。根據問題的意義函數，最大值為8， n=8。y=f(x)=a2+8.f(2)=-1， a2 8=-1，解是a=-4。f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.解決方案3:(

7、使用兩個公式)假設f (x) 1=0是x1=2，x2=-1，因此，f (x) 1=a (x-2) (x 1) (a 0)，即f (x)=ax2-ax-2a-1。該函數的最大值f (x) max=8，即=8。解是a=-4或a=0。函數的解析表達式是f (x)=-4x2 4x 7。掌握了一個事物的規(guī)律，就能舉一反三地推出類似的事物。確定二次分辨率函數的方法根據已知條件確定二次分辨率函數，一般采用待定系數法，選擇規(guī)則如下：眾所周知，二次函數f(x)滿足f (1 x)=f (1-x)，并且f (0)=0，f (1)=1。找出f(x)的解析表達式。解1:(通式)讓f (x)=ax2 bx c (a 0)

8、，然后f(x)=x2 2x。解2:(兩個公式)*對稱軸方程為x=1， f (2)=f (0)=0，f (x)=0分別為0和2。讓它的解析公式為f (x)=ax (x-2)。如果f (1)=1，我們可以得到一個=-1。f(x)=-x(x-2)=-x2+2x.解3:(頂點)頂點是已知的(1，1)。讓它的解析公式為f (x)=a (x-1) 2 1。從f (0)=0，我們可以得到=-1。f(x)=-(x-1)2+1=-x2+2x.方向二次函數的圖像和性質二次函數的命題角1單調性例3已知函數f (x)=x2 2ax 3，x-4，6。(1)找出實數a的取值范圍，使y=f (x)是區(qū)間-4，6中的單調函數

9、；(2)當a=1時，求f(|x|)的單調區(qū)間。在解(1)中，由于函數f(x)的圖像開口是向上的，對稱軸是x=-a，如果f(x)是-4，6中的單調函數，它應該是-a4或-a 6，即a6或a4。(2)當a=1，f (x)=x2 2x 3時， f (| x |)=x2 2 | x | 3，其中域是x-4，6。和f (x)=f(|x|的單調遞增區(qū)間是(0，6)。單調遞減區(qū)間為-4，0。二次函數的命題角2最大值例4 2016浙江高考如果函數f(x)=x2 bx已知，“b0”為“f(f(x)的最小值等于f(x)的最小值”()A.充分的不必要條件B.必要和不充分的條件C.必要充分的條件D.不充分和不必要的條

10、件回答一這個分析是因為f(x)=x2 bx=2-，它的最小值是f=-。因為f(f(x)=f(x) 2 BF(x)=2-.因為f (x) min=-，如果ff (x)和f(x)，命題角度3:二次函數中的常數建立問題例5石家莊仿真2018讓函數f (x)=ax2-2x 2，如果所有滿足1 x 0，則實數a的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮鸾馕龇匠虨閒 (x) 0，即ax2-2x 2 0，x(1，4)，a -在(1，4)上是常數。使g (x)=-=-22，所以g (x) max=g (2)=,因此，要使f (x) 0保持在(1，4)，只要a 。掌握了一個事物的規(guī)律，就能舉一反三地推

11、出類似的事物。二次函數的最大值和常數的建立(1)解決二次函數最大值問題的思路：掌握“三點一軸”的數形結合，三點指區(qū)間的兩個端點和中點，一軸指對稱軸，這可以根據函數的單調性和分類討論的思路，結合配點法來完成。(2)二次函數恒常性問題有兩種解法：一種是分離參數，其解法的基礎是：a f (x)恒常性af(x)最大值，a f (x)恒常性af(x)最小值；其次，參數被分類和討論，沒有分離。核心法律1.冪函數y=x ( r)的圖像特征當 0時，圖像經過原點和點(1，1)，并且圖像在第一象限上升。當 0時，圖像穿過點(1，1)，但它不是原點，并且圖像在第一象限下降。2.在研究一元二次方程的根分布時，通常是

12、通過二次函數圖像的數形結合來求解，一般從：開方向；對稱軸位置；判別；終點函數值符號的四個方面分析。3.在研究一維二次不等式的相關問題時，通常借助于二次函數圖像和性質來解決。滿分策略1.冪函數的圖像將出現在第一象限，但不會出現在第四象限。如果冪函數和坐標軸之間有交點，交點必須是原點。2.如果函數y=ax2 bx c是二次函數，它必須滿足0。如果主題條件中沒有說明a0，則應分兩種情況進行討論：a=0和a0。3.對于與二次函數有關的不等式問題或存在性問題，應注意等價變換。啟智佩尤破譯了高考車牌數學思想系列2對求解二次函數最大值的問題進行了分類和討論2018廣州模擬已知函數f (x)=-x2 2ax

13、1-a在0x1時最大值為2，為實數值。視點函數的對稱軸是X=A，它的位置是不確定的，不同位置產生的結果是不同的，所以對稱軸的位置應該分類討論。當對稱軸x=a0時，如圖1所示，當x=0時，y具有最大值ymax=f (0)=1-a，因此1-a=2，即a=-1，并且滿足a0和 a=-1。當0a1時，如圖2所示，當x=a時，y具有最大值ymax=f (a)=-a2 2a2 1-a=a2-a 1。 a2-a 1=2，解是a=。0a1， a=(放棄)。當a1時，如圖3所示。當x=1時，y具有最大值。ymax=f(1)=2a-a=2。 A=2，滿足a1， A=2?？偠灾?，a的值是-1或2。答案揭示了區(qū)間二

14、次函數的最大值問題可以分為三類：固定對稱軸和固定區(qū)間；對稱軸改變，間隔固定；對稱軸固定，間隔變化。這類問題一般用二次函數的象及其單調性來考慮。對于后兩類問題，通常應分三種情況進行討論：對稱軸在區(qū)間內，左右對稱。跟蹤培訓設f(x)=x2-2x 2，xt，t 1，tR，求f(x)的最小值。解f (x)=x2-2x 2=(x-1) 2 1，xt，t 1，tR，函數圖像的對稱軸是x=1。當t 11，即t0時，函數圖像如圖(1)所示，函數f(x)是區(qū)間t，t 1內的遞減函數，因此最小值為f(t1)=T2 1；當t 1 t 1，即0t1時，函數圖像如圖(2)所示，在對稱軸x=1處最小值為f(1)=1；在t

15、+1處，函數圖像如圖(3)所示，函數f(x)是區(qū)間t，t 1內的遞增函數，因此最小值為f (t)=T2-2t 2。總而言之，f (x)最小值=板塊4模擬練習可以增加能量和點數甲級基礎合格1.2018秦皇島模擬如果冪函數的圖像穿過該點，其單調遞增的區(qū)間為()A.(0，+)b0，+)C.(-，+) D.(-，0)答案D分析上，如果y=xa，那么=2a， a=-2， y=x-2，并且它的單調遞增區(qū)間是(-，0)。因此，d .2.2018武漢模擬如果函數f (x)=x2 bx c對于任何實數x都有f (1 x)=f (-x)，那么()A.f (0) f (2) f (0)。因此，a .3.如果不等式(a-2)x2(a-2)x-40對所有xR成立，那么a的取值范圍是()A.(-，2 B.-2，2C.(-2，2 D.(-，-2)答案三分析上，當A-2=0，也就是說，A=2，不等式是-40，這總是正確的。當A-2 0時，解是-21，總有f(x)1，總有f(x)1，函數F (x)=x 的圖像在Y=x的圖像之下，它被生成5.眾所周知，