高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí).ppt

1、第一章 函數(shù)與極限復(fù)習(xí),主要內(nèi)容回顧 典型例題,（一）函數(shù)的定義,（二）極限的概念,（三）連續(xù)的概念,一、主要內(nèi)容,函 數(shù) 的定義,反函數(shù),隱函數(shù),反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系,基本初等函數(shù),復(fù)合函數(shù),初等函數(shù),函 數(shù) 的性質(zhì) 單值與多值 奇偶性 單調(diào)性 有界性 周期性,1、函數(shù)的定義,函數(shù)的分類,函數(shù),初等函數(shù),非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù)),代數(shù)函數(shù),超越函數(shù),有理函數(shù),無理函數(shù),有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)),有理分函數(shù)(分式函數(shù)),(1) 單值性與多值性:,2、函數(shù)的性質(zhì),(2) 函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),奇函數(shù),(3) 函數(shù)的單調(diào)性:,(4) 函數(shù)的有界性:,設(shè)函數(shù) f(x) 的定義

2、域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l 稱為 f(x) 的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,(5) 函數(shù)的周期性:,3、反函數(shù),4、隱函數(shù),5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系,6、基本初等函數(shù),1）冪函數(shù),2）指數(shù)函數(shù),3）對數(shù)函數(shù),4）三角函數(shù),5）反三角函數(shù),7、復(fù)合函數(shù),8、初等函數(shù),由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).,左右極限,兩個(gè)重要 極限,求極限的常用方法,無窮小 的性質(zhì),極限存在的 充要條件,判定極限 存在的準(zhǔn)則,無窮小

3、的比較,極限的性質(zhì),數(shù)列極限,函 數(shù) 極 限,等價(jià)無窮小 及其性質(zhì),唯一性,兩者的 關(guān)系,無窮大,1、極限的定義,左極限,右極限,無窮小:,極限為零的變量稱為無窮小.,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,無窮大:,在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,無窮小與無窮大的關(guān)系,2、無窮小與無窮大,定理1 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.,無窮小的運(yùn)算性質(zhì),定理,推論1,推論2,

4、3、極限的性質(zhì),4、求極限的常用方法,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,5、判定極限存在的準(zhǔn)則,(夾逼準(zhǔn)則),(1),(2),6、兩個(gè)重要極限,定義:,7、無窮小的比較,定理(等價(jià)無窮小替換定理),8、等價(jià)無窮小的性質(zhì),9、極限的唯一性,左右連續(xù),在區(qū)間a,b 上連續(xù),連續(xù)函數(shù) 的 性 質(zhì),初等函數(shù) 的連續(xù)性,間斷點(diǎn)定義,連 續(xù) 定 義,連續(xù)的 充要條件,連續(xù)函數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì),非初等函數(shù) 的連續(xù)性,1、連續(xù)的定義,定理,3、連續(xù)的充要條件,2、單側(cè)連續(xù),4、間斷點(diǎn)的定義,

5、(1) 跳躍間斷點(diǎn),(2)可去間斷點(diǎn),5、間斷點(diǎn)的分類,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,特點(diǎn):,可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),6、閉區(qū)間的連續(xù)性,7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì),定理,定理1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,定理2,8、初等函數(shù)的連續(xù)性,定理3,定理4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該

6、區(qū)間上有界.,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.,第二章 復(fù)習(xí),主要內(nèi)容回顧,求 導(dǎo) 法 則,基本公式,導(dǎo) 數(shù),高階導(dǎo)數(shù),高階微分,一、主要內(nèi)容,1、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,2.右導(dǎo)數(shù):,單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,2、基本導(dǎo)數(shù)公式,（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）,3、求導(dǎo)法則,(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則,(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,(4) 對數(shù)求導(dǎo)法,先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,適用范圍:,(5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,(6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則,4、高階導(dǎo)數(shù),記作

7、,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)),5、微分的定義,定義,(微分的實(shí)質(zhì)),6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,定理,7、 微分的求法,求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.,基本初等函數(shù)的微分公式,函數(shù)和、差、積、商的微分法則,8、 微分的基本法則,微分形式的不變性,第三章 微分中值定理及其應(yīng)用-復(fù)習(xí),內(nèi)容回顧,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,一、主要內(nèi)容,1、羅爾中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,3、柯西中值定理,推論,4、洛必達(dá)法則,定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法

8、則.,關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型 .,注意：洛必達(dá)法則的使用條件.,5、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,定理,(1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法,定義,(2) 函數(shù)的極值及其求法,定理(必要條件),定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).,定理(第一充分條件),定理(第二充分條件),求極值的步驟:,步驟:,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值問題,實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:,1)建立目標(biāo)函數(shù);,2)求最值;,(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn),定義,定理1,方法1:,方法2:,第四章 復(fù)習(xí),主要內(nèi)容,積分法,原 函 數(shù),選 擇 u 有 效 方 法,基 本 積 分 表,第一換元法 第二換元法,直接 積分法,分部 積分法,不 定 積 分,一、主要內(nèi)容,1、原函數(shù),定義,原函數(shù)存在定理,即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù),2、不定積分,(1) 定義,(2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,(3) 不定積分的性質(zhì),3、基本積分表,是常數(shù)),5、第一類換元法,4、直接積分法,第一類換元公式（湊微分法）,由定義