第2章誤差的基本性質(zhì)與處理(白背景).ppt

1、第2章誤差的基本性質(zhì)與處理,本章分別詳細闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學習本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進行合理的數(shù)據(jù)處理。,教學目標,三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施 掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法 掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法,重點與難點,當對同一測量值進行多次等精度的重復測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后

2、，不能預測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。 隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 人為方面的因素,零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機噪聲等。,溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。,瞄準、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當?shù)取?第一節(jié)隨機誤差,一、隨機誤差產(chǎn)生的原因,隨機誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機誤差的特性。 設(shè)被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機誤差可表示為： (2-1) 式中。 正態(tài)分布

3、的分布密度與分布函數(shù)為 (2-2) (2-3) 式中：標準差（或均方根誤差） e自然對數(shù)的底，基值為2.7182。 它的數(shù)學期望為 (2-4) 它的方差為： (2-5),第一節(jié)隨機誤差,二、正態(tài)分布,其平均誤差為： (P=57.62%) (2-6) 此外由可解得或然誤差為 ： (P=50%) (2-7) 由式（2-2）可以推導出： 有 , 可推知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性； 當=0時有 ，即 ，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性； 雖然函數(shù)的存在區(qū)間是-,+，但實際上，隨機誤差只是出現(xiàn)在一個有限的區(qū)

4、間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性； 隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨向于零： 這稱為誤差的補償性。,返回本章目錄,從正態(tài)分布的隨機誤差都具有的四個特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。,第一節(jié)隨機誤差,圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。值為曲線上拐點A的橫坐標，值為曲線右半部面積重心B的橫坐標，值的縱坐標線則平分曲線右半部面積。,第一節(jié)隨機誤差,對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè)

5、為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為: (2-8),第一節(jié)隨機誤差,三、算術(shù)平均值,下面來證明當測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M行無限多次測量，就可得到不受隨機誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值（數(shù)學上稱之為最大或然值）被認為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。,第一節(jié)隨機誤差,一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值

6、進行計算。此時的隨機誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差： (2-9) 此時可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個接近所有測得值的數(shù) 作為參考值，計算每個測得值 與 的差值： (2-10) 式中的 為簡單數(shù)值，很容易計算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單。,若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。,第一節(jié)隨機誤差,例 2-1 測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。 解：任選參考值 =1879.65， 計算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 1879.64

7、。 （二）算術(shù)平均值的計算校核 算術(shù)平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。 由 ，式中的是根據(jù)（2-8）計算的，當求得的為未經(jīng)湊整的準確數(shù)時，則有： (2-11) 殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計算的正確性。但當實際得到的為經(jīng)過湊整的非準確數(shù)，存在,第一節(jié)隨機誤差,舍入誤差，即有： 成立。而 經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為： 殘差代數(shù)和應符合： 當，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為零； 當，求得的為湊整的非準確數(shù)時，為正，其大小為求時的余數(shù)； 當，求得的為湊整的非準確數(shù)時，為負，其大小為求時的虧數(shù)。 殘差代數(shù)

8、和絕對值應符合： 當n為偶數(shù)時，； 當n為奇數(shù)時，。 式中的A為實際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實際運算情況選擇一種進行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。,第一節(jié)隨機誤差,例2-2 用例2-1數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進行校核。 解：因n為偶數(shù)， A0.01，由表2-1知 故計算結(jié)果正確。 例2-3 測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進行校核。 解：算術(shù)平均值為： 取2000.067,第一節(jié)隨機誤差,用第一種規(guī)則校核，則有： 用第二種規(guī)則校核，則有： 故用兩種規(guī)則校核皆說明計算結(jié)果正確。,第一節(jié)隨機誤差,（一）均方

9、根誤差（標準偏差） 為什么用來作為評定隨機誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度 推知：,第一節(jié)隨機誤差,四、測量的標準差(精度指標),由于值反映了測量值或隨機誤差的散布程度，因此值可作為隨機誤差的評定尺度。值愈大，函數(shù) 減小得越慢；值愈小， 減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。 標準差不是測量到中任何一個具體測量值的隨機誤差，的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機誤差，一般都不等于，但卻認為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個標準差的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進行兩個系列的等精度測量，其標準差也不相同。

10、,第一節(jié)隨機誤差,（二）或然誤差 測量列的或然誤差，它將整個測量列的n個隨機誤差分為個數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個）隨機誤差的數(shù)值落在- +范圍內(nèi)，而另一半隨機誤差的數(shù)值落在- +范圍以外： ， 查 表，得到 時，z=0.6745，故有 其實際意義是：若有n個隨機誤差，則有n/2個落在區(qū)間-,+之內(nèi)，而另外n/2個隨機誤差則落在此區(qū)間之外。 （三）算術(shù)平均誤差 測量列算術(shù)平均誤差的定義是：該測量列全部隨機誤差絕對值的算術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到與的關(guān)系： 目前世界各國大多趨于采用作為評定隨機誤差的尺度。這是因為： 的平方恰好是隨機變量的數(shù)字特征之一（方差），本身又,第一節(jié)隨

11、機誤差,恰好是高斯誤差方程 式中的一個參數(shù)，即 ，所以采用，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合； 對大的隨機誤差很敏感，能更準確地說明測量列的精度； 極限誤差與標準偏差的關(guān)系簡單： ； 公式推導和計算比較簡單。 五、標準偏差的幾種計算方法 （一）等精度測量 單次測量標準偏差的計算 (即測量列標準偏差) 1、貝塞爾(Bessel)公式 (2-13) 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有 (2-14),第一節(jié)隨機誤差,將上式對應相加得 ： ，即 (2-15) 若將式(2-14)平方后再相加得： (2-16) 將式(2-15)平方有： 當n適當大時，可以認為 趨近于零，并將代入式(

12、2-16)得： (2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即 （即BESSEL公式） (2-18),第一節(jié)隨機誤差,2、別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： 進一步得： 則平均誤差有： 由式2-6得： 故有： (2-26) 此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對值之和求出單次測量的標準差 。 (2-27),第一節(jié)隨機誤差,例2-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標準差。 解：計算得到的值分別填于表中，因此有 3、極差法 用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計算標準差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進行其他運算，計算過程比較復雜。當要求簡便迅速,第一節(jié)隨機誤差,算出標準差時，可用極

13、差法。 若等精度多次測量測得值 服從正態(tài)分布，在其中選取最大值 與最小值 ，則兩者之差稱為極差： (2-28) 根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學期望為 (2-29) 因 故可得 的無偏估計值，若仍以 表示，則有 (2-30) 式中 的數(shù)值見表2-4。,n,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20,1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74,第一節(jié)隨機誤差,例2-5 仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用

14、極差法求得標準差。 解： 4、最大誤差法 在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實際值或約定值），因而能夠算出隨機誤差 ，取其中絕對值最大的一個值 ，當各個獨立測量值服從正態(tài)分布時，則可求得關(guān)系式： (2-31) 一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標準差，應按最大殘余誤差 進行計算，其關(guān)系式為： (2-32) 式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù) 、 的倒數(shù)見表2-5。,第一節(jié)隨機誤差,最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當 時，最大誤差法具有一定精度。 例2-6 仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標準差，

15、則有 ，而 故標準差為,第一節(jié)隨機誤差,例2-7 某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對本次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長 ，試求原檢定波長的標準差。 解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認為其測得值為實際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機誤差 為： 故標準差為： 5、四種計算方法的優(yōu)缺點 貝塞爾公式的計算精度較高，但計算麻煩； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍； 用極差法計算，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當n10時可,第一節(jié)隨機誤差,用來計算，此時計算精度

16、高于貝氏公式； 用最大誤差法計算更為簡捷，容易掌握，當n10時可用最大誤差法，計算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實驗(n=1)只能應用最大誤差法。 （二）多次測量的測量列算術(shù)平均值的標準偏差 在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值測量精度指標(不可靠性的評定標準)。 。 如果在相同條件下對同一量值作多組重復的系列測量，每一系列測量都有一個算術(shù)平均值，由于隨機誤差的存在，各個測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標準差則是表征同一被測量的各個獨立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為

17、算術(shù)平均值的測量精度指標. 由式(2-8)已知算術(shù)平均值 為： 取方差得 因 故有,第一節(jié)隨機誤差,所以 (2-21) 即在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標準差為單次測量標準差的 ，當n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。 增加測量次數(shù)，可以提高測量 精度，但測量精度是與n的平方根成 反比，因此要顯著提高測量精度， 必須付出較大的勞動。由圖2-3可知, 一定時，當n10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以 保證測量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y量精度，應采取適當精度的儀器，選取適當?shù)臏y量次數(shù)。,第一節(jié)隨機誤

18、差,評定算術(shù)平均值的精度標準，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應公式為： (P=50%)(2-22) (P=57.6%)(2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有： (2-24) (2-25) 例2-8 用游標卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標準差。 解：本例題中的測量數(shù)據(jù)與表2-3中的測量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值 為 。因為 ，,第一節(jié)隨機誤差,與表中的 結(jié)果一致，故計算正確。 根據(jù)上述各個誤差計算公式可得： 六

19、、測量的極限誤差 測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。 （一）單次測量的極限誤差 測量列的測量次數(shù)足夠多和單次測量誤差為正態(tài)分布時，根據(jù)概,第一節(jié)隨機誤差,率論知識，正態(tài)分布曲線和橫坐標軸間所包含的面積等于其相應區(qū)間確定的概率，即： 當研究誤差落在區(qū)間（-,+）之間的概率時，則得： (2-33) 將上式進行變量置換，設(shè) 經(jīng)變換，上式成為： (2-34) 這樣我們就可以求出積分值p，為了應用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當t給定時，(t)值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t=1,2,3,4等

20、幾個特殊值的積分值，并求出隨機誤差不超出相應區(qū)間的概率p=2(t)和超出相應區(qū)間的概率p=1-2(t)，如表2-6所示（圖24）。 由表可以看出，隨著t的增大，超出|的概率減小得很快。 當,第一節(jié)隨機誤差,t=2，即|=2時，在22次測量中只有1次 的誤差絕對值超出2范圍；而當t=3，即 |=3時，在370次測量中只有1次誤差絕 對值超出3范圍。由于在一般測量中，測 量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為絕對 值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把 這個誤差稱為單次測量的極限誤差 ，即 (2-35) 當t3時，對應的概率p99.73。 在實際測量中，有時也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如,第

21、一節(jié)隨機誤差,取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示： (2-36) 若已知測量的標準差，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值的極限誤差 正態(tài)分布:測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即 。當多個測量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時，根據(jù)概率論知識，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達式為： (2-37) 式中的t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標準差。通常取t3，則 (2-38) 實際測量中有時也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。 t分布:當測量列的測量次

22、數(shù)較少時，應按“學生氏”分布(“student” distribution)或稱t分布來計算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39),第一節(jié)隨機誤差,式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)； 為n次測量的算術(shù)平均值標準差。 對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。 例2-9 對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.

23、42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標準差 因測量次數(shù)較少，應按t分布計算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有：,第一節(jié)隨機誤差,若按正態(tài)分布計算，取 ，相應的置信概率 ，由附錄表1查得t2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為： 由此可見，當測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結(jié)果有明顯的差別。 七、不等精度測量 在實際測量中遇到的不等精度測量主要有兩種： 不同測量次數(shù)進行的對比測量。（實驗條件不變） 比如：用同一儀器測量某參數(shù)，先后得到兩個測量列，第一個測量列中有n1個測量值，第二個測量列中有n2個測量值；同時得到兩個參數(shù)的估計值：x1,x2.

24、不同精度的儀器進行的測量。（實驗條件發(fā)生改變）,第一節(jié)隨機誤差,不等精度測量存在的意義： 在實際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。 對于精密科學實驗而言，為了得到極其準確的測量結(jié)果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進行的不等精度測量。 對于某一個未知量，歷史上或近年來有許多人進行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。 對于不等精度測量

25、，計算最后測量結(jié)果及其精度（如標準差），不,第一節(jié)隨機誤差,能套用前面等精度測量的計算公式，需推導出新的計算公式。 （一）權(quán)的概念 在等精度測量中，各個測量值認為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法 測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程

26、度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。 最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即 。 假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因,第一節(jié)隨機誤差,為單次測量精度皆相同，其標準差均為，則各組算術(shù)平均值的標準差為： (2-40) 由此得下列等式 因為 ，故上式又可寫成 (2-41) 或表示為 (2-42) 即：每組測量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應的標準偏差平方（ ）成反比，若已知 （各組算術(shù)平均值的標準差），則可由（2-4

27、2）得到相應 的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。 例2-10 對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結(jié)果為,第一節(jié)隨機誤差,求各測量結(jié)果的權(quán)。 解：由式(2-42)得 因此各組的權(quán)可取為 （三）加權(quán)算術(shù)平均值 若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為： ，設(shè)相應的測量次數(shù)為n1,n2, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)平均值 應為：,第一節(jié)隨

28、機誤差,將式(2-43)代入上式得： 或簡寫為 (2-44) 當各組的權(quán)相等，即 時，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為： (2-45) 由上式求得的結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為： (2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。,第一節(jié)隨機誤差,例2-11 工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。 解：按測量次數(shù)來確定權(quán)： ，選 ，則有 (四) 單位權(quán)的概念 由式（2-41）知

29、，此式又可表示為 (2-47) 式中 為某精度單次測量值的標準差。因此，具有同一方差 的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差 。由于測得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測得值方差， 為具有單位權(quán)的測得值標準差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實質(zhì)，是使任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。,第一節(jié)隨機誤差,例如，將不等精度測量的各組測量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 設(shè) 取方差 以權(quán)數(shù)字 表示

30、上式中的方差，則 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。,不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。,第一節(jié)隨機誤差,（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標準差 對同一個被測量進行 m 組不等精度測量，得到 m 個測量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測得值的標準差，則由式（2-40）知 全部（mn個）測得值的算術(shù)平均值 的標準差為： 比較上面兩式可得： (2-48) 因為 代入式（2-48）得 (2-49),第一節(jié)隨機誤差,1)當各組測得的總權(quán)數(shù) 為已知時，可由任一組的標準差 和相應的權(quán) ，或者由單位權(quán)的

31、標準差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標準差 。 2)當各組測量結(jié)果的標準差為未知時，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余誤差來計算加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。 已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為： 將各組 單位權(quán)化，則有： 上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導得到： (2-50) 將式（2-50）代入式（2-49）得 (2-51),第一節(jié)隨機誤差,用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標準差，但是只有組數(shù)m足夠多時，才能得到較為精確的 值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計值。 例2

32、-12 求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。 解：由加權(quán)算術(shù)平均值 ，可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為： ，又已知 代入式(2-51)得 八、隨機誤差的其他分布 (了解內(nèi)容) 正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。 (一)均勻分布 在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形,第一節(jié)隨機誤差,分布或等概率分布。均勻分布的分布密度 （圖2-5）和分布函數(shù) 分別為： （2-52） （2-53） 它的數(shù)學期望為： （2-54） 它的方差和標準差分別為： （2-55） （2

33、-56） (二)反正弦分布 反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度 （圖2-6）和分布函數(shù) 分別為： (2-57),第一節(jié)隨機誤差,（2-57） 它的數(shù)學期望為： （2-58） 它的方差和標準差分別為： （2-59） （2-60） （三）三角形分布 當兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。 三角形分布的分布密度 （圖2-7）和分布函數(shù) 分

34、別為： (2-61),第一節(jié)隨機誤差,（2-63） 它的數(shù)學期望為： （2-64） 它的方差和標準差分別為： （2-65） （2-66） 如果對兩個誤差限為不相等的均勻分布隨機誤差求和時，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。 在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘述。 （四） 分布 令 為 個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標準化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量 (2-67) 隨機變量 稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度 表示上式中項數(shù)或,第一節(jié)隨機誤差,獨立變量的個數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。 (2-68)

35、 式中的 函數(shù)。 它的數(shù)學期望為： (2-69) 它的方差和標準差分別為： (2-70) (2-71) 在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎(chǔ)。 由圖2-8的兩條 理論曲線看出，當 逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當 足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應改變。 （五）t 分布,第一節(jié)隨機誤差,令 和 是獨立的隨機變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標準化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為 (2-72) 隨機變量t稱自由度為 的學生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖2-9）： (2-73) 它的數(shù)

36、學期望為： (2-74) 它的方差和標準差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學期望為零，分布曲線對稱于縱坐標軸，但它和標準化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當自由度較小時，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當自由度 時，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經(jīng)常用到它。,第一節(jié)隨機誤差,（六）F分布 若 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為 (2-77) 隨機變量F稱為自由度為 、 的F變量。 F分布的分布密度 如圖2-10所示。 (

37、2-78) 它的數(shù)學期望為： (2-79) 它的方差和標準差分別為： (2-80) (2-81) F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應用。,第一節(jié)隨機誤差,第二節(jié) 系統(tǒng)誤差,系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差的特征與分類 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法 系統(tǒng)誤差的減小和消除方法,研究系統(tǒng)誤差的重要意義,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,實際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差同時存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危

38、險性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。,系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準確度。,一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 測量方法的因素 測量人員的因素,計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。,測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差

39、。,采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。,測量人員固有的測量習性引起的誤差等。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,二、系統(tǒng)誤差的分類和特征,系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復測量同一值時，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。,圖2-11為各種系統(tǒng)誤差隨測量過程t變化而表現(xiàn)出不同特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為

40、復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。,（一）不變系統(tǒng)誤差 固定系統(tǒng)誤差是指在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。 如千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標準件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對每一測量值的影響均為一個常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。,（二）變化系統(tǒng)誤差 變化系統(tǒng)誤差指在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：, 線性變化的系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。,例如，量塊中心長度

41、隨溫度的變化：,第二節(jié)系統(tǒng)誤差, 周期變化的系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。,例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個偏心量 e ，則指針在任一轉(zhuǎn)角 處引起的讀數(shù)誤差為 。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當指針在 0 和 180 時誤差為零，而在 90 和 270 時誤差絕對值達最大。, 復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復雜的規(guī)律變化，稱其為復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些復雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項式、三角多項式或

42、其它正交函數(shù)多項式來描述。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,由于形成系統(tǒng)誤差的原因復雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是 我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識別： 1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實驗對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計算標準差比較法； 2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差，包括計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法和 t 檢驗法。,三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,1、實驗對比法 實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。 這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。,2、殘余誤差觀察法 殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘

43、余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。 這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。,（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,將測量列按測量次序分前后兩組。測量列中前K個殘余誤差相加，后n-K個殘余誤差相加(當n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)，兩者相減得： 當測量次數(shù)足夠多時，有：,若：,則有理由認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。 它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時按殘余誤差校核法求得差值=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。,3、殘余誤差校核法(有三種方法), 用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差： (前后分組核算法或馬列科夫準則),第二節(jié)系統(tǒng)

44、誤差, 用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：阿卑赫梅特準則（Abbe-Helmert準則） 若一等精度測量列，按測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為 ，如果存在著按此順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值( )符號也將出現(xiàn)周期性的正負號變化，因此由差值( )可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當周期性系統(tǒng)誤差是整個測量誤差的主要成分時，才有實用效果。否則，差值( )符號變化將主要取決于隨機誤差，以致不能判斷出周期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計準則進行判斷，令,若 (2-85) 則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。 Abbe-Helmert準則能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,

45、用于發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差：阿貝（Abbe）檢驗法（梁晉文版，P50） 等精度測量列，按測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為：,則認為該測量列中含有變值系統(tǒng)誤差，但不能判斷類型。,設(shè)：,若：,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,4、不同公式計算標準差比較法 對等精度測量，可用不同公式計算標準差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式： 按別捷爾斯公式： 令 若 (2-86) 則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。,在判斷含有系統(tǒng)誤差時，違反“準則”時就可以直接判定，而在遵守“準則”時，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因為每個準則均有局限性，不具有“通用性”。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,則任意兩組結(jié)果 與 間不存在系統(tǒng)誤差的標志是：,若對同一量獨立測

46、量得 m 組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標準差為：,(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法,(2-87),而任意兩組結(jié)果之差為：,其標準差為：,1、計算數(shù)據(jù)比較法（費業(yè)泰版）,對同一量進行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應滿足隨機誤差條件，否則可認為存在系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,2、秩和檢驗法用于檢驗兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差（費業(yè)泰版） 對某量進行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。,若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為：,將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它的測得值在混合后的次序

47、編號（即秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號和即為秩和 T。,1） 兩組的測量次數(shù) ，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù) n1 和測量次數(shù)較多的組的次數(shù) n2 ，由秩和檢驗表2-10查得 T- 和 T+ （顯著度0.05），若 (2-88) 則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,2） 當 ，秩和 T 近似服從正態(tài)分布 括號中第一項為數(shù)學期望，第二項為標準差，此時 T- 和 T+ 可由正態(tài)分布算出。 根據(jù)求得的數(shù)學期望值 a 和 標準, 選取概率 ，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得 t ，則有: T-=a-t , T+ (=a+t) 若: T- T T+ 則兩組間無系統(tǒng)誤差;否則,有系

48、統(tǒng)誤差.,（教材P38頁）,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表,查表2-10得,例2-16 對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。 xi: 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 ; yi：14.6, 15.0, 15.1,已知,計算秩和 T=1+4+5=10,因 故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。,注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個次序的平均值計算。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,令變量: (2-89) 由數(shù)理統(tǒng)計知，變量t是服從自由度為( )的t分布變量。,3、t 檢驗法 （費業(yè)泰版）,當兩組測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于

49、20）時，可用t檢驗法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。,設(shè)獨立測得兩組數(shù)據(jù)為：,其中,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,注意: (2-89)式中使用的 和 ,不是方差的無偏估計，若將貝塞爾計算的 和 用于上式，則該式應作相應的變動。,由 及取 ，查t分布表(附錄表3)得 ，又因 ， 故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。,則,解：,取顯著性水平，由t分布表（附錄表3）查出 中的 。若 ，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。,例2-17 對某量測得兩組數(shù)據(jù)為： x：1.9， 0.8， 1.1， 0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4 y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.

50、0，2.0,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,四、系統(tǒng)誤差的減小和消除 （一）消誤差源法 用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個環(huán)節(jié)作仔細分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應予考慮的： 所用基準件、標準件（如量塊、刻尺等）是否準確可靠； 所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書； 儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理； 所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差； 測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫

51、度、振動、塵污、氣流等； 注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,（二）加修正值法 這種方法是預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應按經(jīng)過檢定的實際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。 采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律對恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對已知基準量 重復測量取其均值 ， 即為其修正值。 對可變系

52、統(tǒng)誤差，按照某變化因素，依次取得已知基準量 的一系列測值 ，再計算其差值 ，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要殘留少量的系統(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對隨機誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,（三）改進測量方法 在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，從而實現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目

53、的。 1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法 在沒有條件或無法獲之基準測量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時必須設(shè)計適當?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有： 反向補償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計算中互相抵消了。 例如，在紅顯上測螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測螺距，左右各測一次，得 與 （正確值為P）為： ，為儀器兩頂尖不同心使被測螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將 平均

54、后，即可抵消：,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,在使用絲杠轉(zhuǎn)動機構(gòu)測微小位移時，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等 因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結(jié)果，以補償定回誤差的影響。 代替法：代替法的實質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個標準量代替被測量，放到測量裝置上再次進行測量，從而求出被測量與標準量的差值，即： 被測量標準差差值 抵消法：這種方法要求進行兩次測量，以便使兩次讀數(shù)時出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測得值的平均值，作為測量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補償法相似。 交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。

55、 如圖2-18等臂天平稱重,先將被測量X放于 天平一側(cè)，砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至天平平衡， 則有 。若將X與P交換位置，由于 （ 存在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。 原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,，則取 ，即可消除天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。 2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法對稱法 對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方 法，如圖2-19所示。隨著時間的變化，被 測量作線性增加，若選定某時刻為對稱中 點，則此對稱點的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆 相等。即 利用這一特點，可將測量對稱安排，取各對稱點兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。 例如測定量塊平面平行性時（

56、見圖2-20）, 先以標準量塊A的中心0點對零，然后按圖中所 示被檢量塊B上的順序逐點檢定，再按相反順序 進行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點 的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性 系統(tǒng)誤差。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法半周期法 對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為： 設(shè) 時，誤差為： 當 時，即相差半周期的誤差為： 取兩次讀數(shù)平均值則有 由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。 例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。 4、消

57、除復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法 通過構(gòu)造合適的數(shù)學模型，進行實驗回歸統(tǒng)計，對復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進行補償和修正。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,采用組合測量等方法，使系統(tǒng)誤差以盡可能多的組合方式出現(xiàn)于被測量中，使之具有偶然誤差的抵償性，即以系統(tǒng)誤差隨機化的方式消除其影響，這種方法叫組合測量法。如用于檢定線紋尺的組合定標法和度盤測量中的定角組合測量法以及力學計量中檢定砝碼的組合測量法等。,第二節(jié)系統(tǒng)誤差,在一系列重復測量數(shù)據(jù)中，如有個別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為 。根據(jù)隨機誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會