線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性.ppt

1、1,第三章 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性,本章主要介紹定性分析方法，即對(duì)決定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有重要意義的關(guān)鍵性質(zhì)（如可控性、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性等）進(jìn)行定性研究。 在線性系統(tǒng)的定性分析中，一個(gè)很重要的內(nèi)容是關(guān)于系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析。系統(tǒng)的可控、可觀測(cè)性是由卡爾曼于60年代首先提出的，事后被證明這是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)屬性。 本章首先給出可控性、可觀測(cè)性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，然后導(dǎo)出判別線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性的各種準(zhǔn)則，這些判別準(zhǔn)則無(wú)論在理論分析中還是在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的。,2,3.1 可控性和可觀測(cè)性的定義,3.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（）,3.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)

2、性判據(jù)（）,3.4 對(duì)偶原理,第三章 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性,3,3.1 可控性和可觀測(cè)性的定義,一可控性與可觀測(cè)性的物理概念,系統(tǒng)的可控性和可觀性，就是指系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可以由輸入影響和是否可由輸出反映。,如果系統(tǒng)內(nèi)部的所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來(lái)影響和控制而由任意的初始狀態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更確切的說(shuō)是狀態(tài)可控的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可控的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可控。,如果系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可觀測(cè)。,4,例3-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,結(jié)構(gòu)圖表明：通過(guò)控制量u可以控制

3、狀態(tài)x1和x2，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，不能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測(cè)。,圖3-1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,5,二 可控性定義,1狀態(tài)可控,考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程,如果對(duì)取定初始時(shí)刻 的一個(gè)非零初始狀態(tài)x(t0) =x0，存在一個(gè)時(shí)刻 和一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t)， ，使?fàn)顟B(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)的x(t1)=0 ，則稱此x0是在時(shí)刻t0可控的.,6,2系統(tǒng)可控,如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0（ ）時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。,考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方

4、程,7,3系統(tǒng)不完全可控,對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng) 取定初始時(shí)刻 ，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻t0是不可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。,8,4狀態(tài)可達(dá)與系統(tǒng)可達(dá),對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng) 若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時(shí)刻可達(dá)的。若xf對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)xf為完全可達(dá)到或一致可達(dá)。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻t0可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是t0時(shí)刻完全可達(dá)的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是t0時(shí)刻可達(dá)的。,9,三可觀測(cè)性定義,1系統(tǒng)完全可觀測(cè),對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng) 如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ,對(duì)于所有 ，系

5、統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切t1t0系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在t0, )內(nèi)是完全可觀測(cè)的。,10,2系統(tǒng)不可觀測(cè),對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng) 如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ,對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被y(t)確定，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。,11,3. 2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)(),一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（）,1格拉姆矩陣判據(jù),線性定常系統(tǒng),完全可控的充分必要條件是：存在一

6、個(gè)有限時(shí)刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣：,為非奇異。,注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在A的維數(shù)較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。,12,證：充分性：已知W(0, t1)為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，采用構(gòu)造法來(lái)證明。對(duì)任一非零初始狀態(tài)x0可構(gòu)造控制u(t)為：,則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t1時(shí)刻的結(jié)果:,這表明：對(duì)任一取定的初始狀態(tài)x00 ，都存在有限時(shí)刻t10和控制u(t)，使?fàn)顟B(tài)由x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)刻的狀態(tài)x(t1)=0 ，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。,13,必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0, t1) 非奇異。反設(shè)W(0, t1)為奇異，即存在某個(gè)非零向量 ，

7、使,其中|為范數(shù)，故其必為非負(fù)。欲使上式成立，必有,14,因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量 應(yīng)有,0,此結(jié)果與假設(shè) 相矛盾，即W(0, t1)為奇異的反設(shè)不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控， W(0, t1)必為非奇異。,15,2秩判據(jù)（）,1）凱萊-哈密爾頓定理：設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為,則矩陣A滿足其特征方程，即,2）推論1：矩陣A的k (kn)次冪可表示為A的(n-1)階多項(xiàng)式,注：此推論可用以簡(jiǎn)化矩陣冪的計(jì)算。,16,3）推論2：矩陣指數(shù)函數(shù)可表示為A的(n-1)階多項(xiàng)式,例3-4：已知 ，計(jì)算A100=?,解：A的特征多項(xiàng)式為：,由凱萊-哈密頓定理，得到,17,故,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法有,

8、所以：,18,4）秩判據(jù)（）,線性定常系統(tǒng),完全可控的充分必要條件是,其中: n為矩陣A的維數(shù)， 稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。,注：秩判據(jù)是一種比較方便的判別方法。,19,證明：充分性：已知rankS=n，欲證系統(tǒng)完全可控，采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則有：,為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維常向量使,將上式求導(dǎo)直到(n-1)次，再在所得結(jié)果中令t=0，則可得到:,20,由于0，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即rankSn 。這顯然與已知rankS=n相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控，充分性得證。,必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n ，采用反證法。反設(shè)rankSn ，這意味

9、著S為行線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零n維常向量 使 成立。,21,（由凱萊哈密爾頓定理）,22,因?yàn)橐阎? ，若上式成立，則格拉姆矩陣W(0, t1)為奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所以反設(shè)不成立。于是有rankS=n ，必要性得證。,23,例3-6：已知 判斷其能控性。,解：系統(tǒng)階次,，確定出可控判別陣,，所以系統(tǒng)為完全可控。,24,例3-7：判斷下列系統(tǒng)的可控性,解：,矩陣S的第二行與第三行線性相關(guān)，故rankS =23，系統(tǒng)不可控。,25,補(bǔ)充：可控性判別矩陣 （）：,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,其中：x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；A和B分別為(nn) 和(np)常陣

10、。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是：,其中：,注：該方法是秩判據(jù)的改進(jìn)，特別適用于多輸入 系統(tǒng)，可減少不必要的計(jì)算。,26,例3-8：用可控性判別矩陣 判別例3-7所示系統(tǒng)的可控性。,解：n=3, 系統(tǒng)輸入向量是2維的列向量，即p = 2。,顯見(jiàn)矩陣S3-2的第二行與第三行線性相關(guān)， 故 ，系統(tǒng)不可控。,27,3PBH秩判據(jù)（）,線性定常系統(tǒng),完全可控的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值 ，,均成立，或等價(jià)地表示為,注：當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用秩判據(jù)可能不太方便，此時(shí)可考慮用PBH判據(jù)試一下。,28,證明： ，為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域上除i以外的所有s都有det(sI-A)0，即

11、ranksI-A=n，進(jìn)而有ranksI-A B=n，所以只要證明 即可。,必要性：系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。,反設(shè)對(duì)某個(gè)i 有rankiI A B n，則意味著 iIA B為行線性相關(guān)。由此，必存在一個(gè)非零常向量，使,成立?？紤]到問(wèn)題的一般性，由上式可得到：,29,進(jìn)而可得:,于是有,因已知0，所以欲使上式成立，必有,這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。因此，反設(shè)不成立，即rankiI A B=n成立。,充分性：已知式rankiI A B=n成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法：利用和上述相反的思路，即可證得充分性。,30,例3-9：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為,判斷系統(tǒng)

12、的可控性。,解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫(xiě)出,31,特征方程：,解得A的特征值為：,1）當(dāng) 時(shí)，有,32,2）當(dāng) 時(shí)，有,3）當(dāng) 時(shí)，有,所以系統(tǒng)是完全可控的。,33,4PBH特征向量判據(jù),線性定常系統(tǒng),完全可控的充分必要條件是：A不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量。即對(duì)A的任一特征值i，使同時(shí)滿足,的特征向量 。,注：一般的說(shuō)，PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。,34,證明：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，反設(shè)存在一個(gè)向量0，使式 成立，則有,由于0 ，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即rankSn，即系統(tǒng)為不完全可控。與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立，必要性得證。,

13、充分性：對(duì)充分性的證明也用反證法，可按與以上相反的思路來(lái)進(jìn)行，具體推證過(guò)程略去。,35,5約當(dāng)規(guī)范型判據(jù),1）對(duì)角規(guī)范型系統(tǒng)(無(wú)重特征值)可控性判別（）,當(dāng)矩陣A的特征值 為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全可控的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型,中， 不包含元素全為零的行。,36,例3-12：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為,判斷系統(tǒng)的可控性。,解：由于此規(guī)范型中 不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。,37,2）約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)（有重特征值）可控性判別,當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全可控的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型 中， 中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的最后一

14、行組成的矩陣是行線性無(wú)關(guān)的。,38,例3-13：已知約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)如下：,試判斷其可控性。,解： ， ，均行線性無(wú)關(guān)， 所以：系統(tǒng)完全可控。,39,例3-14：證明如下系統(tǒng)總是完全可控的。,證明：,，故完全可控。,該題說(shuō)明：可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)完全可控。,40,二、輸出可控性,1輸出可控性定義,若在有限時(shí)間間隔t0, t1內(nèi)，存在無(wú)約束分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)， ，能使任意初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出y(t1) ，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡(jiǎn)稱輸出可控。,41,2輸出可控性判據(jù),設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,則輸出可控的充要條件是：輸出可控性矩陣 的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即,注意：

15、狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，二者沒(méi)有什么必然聯(lián)系。,42,判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。,例3-15：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,解：1）系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為,，狀態(tài)不完全可控,2）系統(tǒng)的輸出可控性矩陣為, 系統(tǒng)輸出可控。,43,三 線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù),1 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能控的充要 條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ， 使如下定義的格拉姆矩陣 非奇異。,44,2 秩判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能控的充分 條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ， 使下式成立,45,3. 3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)(),一線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù),1. 格拉姆矩陣判

16、據(jù),線性定常系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是，存在有限時(shí)刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣 為非奇異。,注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在A的維數(shù)較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。,46,2. 秩判據(jù)（）,線性定常系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是: 或,其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)， 稱為系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)性陣。,47,例3-16：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：,(1),解：(1),系統(tǒng)不完全可觀測(cè),(2),(2),系統(tǒng)完全可觀測(cè),48,例3-17：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測(cè)的。,證明：,系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。,該題說(shuō)明：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。,49,補(bǔ)充：可觀測(cè)性判別矩陣

17、 （）,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,其中：x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；A和C分別為(nn) 和(qn)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是：,其中：,適用于多輸出系統(tǒng),50,例3-18：判斷例3-16所示系統(tǒng)2）的可觀性。,解：系統(tǒng)輸出向量是2維的列向量，即q = 2。,故 ，系統(tǒng)完全可觀測(cè)。,51,3. PBH秩判據(jù) （）,線性定常系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值 ，均有,成立。或等價(jià)地表示為,52,4. PBH特征向量判據(jù),線性定常系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是：A沒(méi)有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)A的任一特征值 ，使同時(shí)滿足,的特征向量

18、 。,注：PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中。,53,5. 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù),1）對(duì)角規(guī)范型系統(tǒng)(無(wú)重特征值)可觀測(cè)性判別（）,當(dāng)矩陣A的特征值 為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型,中， 不包含元素全為零的列。,54,例3-19：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為,判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。,解：由于此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)完全可觀測(cè)。,55,2）約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)(有重特征值)可觀測(cè)性判別,當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型 中， 中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的第一列組成的矩陣是列線性無(wú)關(guān)的。,56,例3-20：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)如下：,試判斷其可觀測(cè)性。,解：,所以：系統(tǒng)完全可觀測(cè)。,是列線性無(wú)關(guān)的；,是列線性無(wú)關(guān)的；,57,二子系統(tǒng)組合的可控性和可觀測(cè)性（補(bǔ)充）,完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)組合后不一定保持原有的可控性或可觀測(cè)性