第二章誤差.ppt

1、2020/7/31,計(jì)算物理,1,第 二 章誤差,2.1誤差的來源與分類 2.2 誤差與有效數(shù)字 2.3 函數(shù)的誤差估計(jì) 2.4 近似數(shù)的四則運(yùn)算及數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,2020/7/31,計(jì)算物理,2,從實(shí)際工程問題出發(fā),一直到算出問題結(jié)果,這其中的每個(gè)過程都會產(chǎn)生誤差。計(jì)算物理中的誤差來自四個(gè)方面: 模型誤差、觀測誤差、方法誤差（截?cái)嗾`差、舍入誤差）,計(jì)算物理中的誤差,2.1 誤差的來源與分類,2020/7/31,計(jì)算物理,3,（a）模型誤差。將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題時(shí)，總要忽略一些主觀上認(rèn)為是次要的因素，附加若干限制。例如點(diǎn)粒子近似。人們對客觀事物的認(rèn)識是逐步深入的，這樣建立的“

2、理想化”的數(shù)學(xué)模型，雖然具有“精確”而“完美”的外表，實(shí)質(zhì)卻只是客觀現(xiàn)象的近似而粗糙的描述，這種近似描述就隱含著誤差，這就是模型誤差。如自由落體運(yùn)動忽略了空氣的阻力。,2.1 誤差的來源與分類,2020/7/31,計(jì)算物理,4,（b）觀測誤差。在數(shù)學(xué)模型中，往往包含有若干參變量，如物體密度，物態(tài)方程與本構(gòu)方程參數(shù)，熱量交換系數(shù)等等。這些參量一般是通過實(shí)驗(yàn)觀測確定的，因而不可避免會存在觀測誤差。如自由落體運(yùn)動中的時(shí)間和重力加速度就是觀測值。觀測值的精度依賴于儀器和人的操作。,2.1 誤差的來源與分類,2020/7/31,計(jì)算物理,5,（c）方法誤差。在實(shí)際解題過程中，數(shù)學(xué)模型常常比較復(fù)雜，不能獲

3、得精確解，要用數(shù)值方法得到計(jì)算結(jié)果，模型的準(zhǔn)確解和數(shù)值方法的準(zhǔn)確解之差稱為方法誤差。,2.1 誤差的來源與分類,2020/7/31,計(jì)算物理,6,例如：指數(shù)函數(shù)ex可展開成下列冪級數(shù)形式,但在實(shí)際計(jì)算時(shí)，不可能計(jì)算無窮多項(xiàng)，只能截取有限項(xiàng)：,用Sn(x)作為ex的近似值，其截?cái)嗾`差為,2.1 誤差的來源與分類,截?cái)嗾`差屬于一種方法誤差,2020/7/31,計(jì)算物理,7,由于計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限位運(yùn)算，所以在運(yùn)算過程中會不斷地按某種規(guī)則進(jìn)行舍入，此即舍入誤差。舍入誤差實(shí)質(zhì)上也是方法誤差。 計(jì)算物理課程中關(guān)注的就是方法誤差（截?cái)嗾`差、舍入誤差）,2.1 誤差的來源與分類,用有限項(xiàng)近似無限項(xiàng)時(shí),因?yàn)榻?/p>

4、去部分項(xiàng)而產(chǎn)生的誤差，稱為截?cái)嗾`差 用有限位近似無限位時(shí),由舍入產(chǎn)生的誤差，稱為舍入誤差,2020/7/31,計(jì)算物理,8,絕對誤差,2.2 誤差與有效數(shù)字,設(shè) 為準(zhǔn)確值，,為 的一個(gè)近似值，,為近似值的絕對誤差，,簡稱誤差.,2020/7/31,計(jì)算物理,9,絕對誤差限,2.2 誤差與有效數(shù)字,若能根據(jù)測量工具或計(jì)算情況估計(jì)出誤差絕對值的一個(gè)上界，即,誤差 可正可負(fù),通常準(zhǔn)確值 是未知的，,因此誤差 也未知.,則 叫做近似值的誤差限，,它總是正數(shù).,工程上常用,表示近似數(shù)及絕對誤差,2020/7/31,計(jì)算物理,10,相對誤差,2.2 誤差與有效數(shù)字,把近似值的誤差 與準(zhǔn)確值 的比值,稱為近

5、似值 的相對誤差，,記作 .,2020/7/31,計(jì)算物理,11,相對誤差限,2.2 誤差與有效數(shù)字,實(shí)際計(jì)算中，,由于真值 總是未知的，,作為 的相對誤差，,通常取,相對誤差也可正可負(fù)，它的絕對值上界叫做相對誤差 限，,記作,2020/7/31,計(jì)算物理,12,例題：,2.2 誤差與有效數(shù)字,測量會議室的長和寬，測量結(jié)果為會議室長30m,寬為10m， 長的誤差不超過5cm,寬的誤差不超過2cm,則長和寬可寫成:,L(長)=300.05(m) W(寬)=100.02(m),長和寬哪一個(gè)精度高呢?,可用相對誤差來衡量:,因此,測得的長的精度比測得的寬的精度要高。,2020/7/31,計(jì)算物理,1

6、3,四舍五入原則,2.2 誤差與有效數(shù)字,舍入后使絕對誤差限不超過其末位數(shù)的半個(gè)單位。 若需舍入的部分剛好是末位的半個(gè)單位時(shí)，要使末位湊成偶數(shù)。,例：,對0.7135 0.7265 0.73251分別取三位小數(shù),結(jié)果 分別為: 0.714 0.726 0.733,當(dāng)然事實(shí)上,在程序設(shè)計(jì)語言中,不一定按第2條規(guī)則來做,2020/7/31,計(jì)算物理,14,有效數(shù)字和有效數(shù),2.2 誤差與有效數(shù)字,若近似值 的絕對誤差限不超過某一位的半個(gè)單位，,從該位向左數(shù)到 的第一位非零數(shù)字共有n位，就說 有n 位有效數(shù)字. 用有效數(shù)字表示的數(shù)稱為有效數(shù)。,例如：設(shè)x = = 3.14159265 取x*= 3.

7、14，則|x*- x| = 0.00159265 0.005 = （絕對誤差限）有效位3,2020/7/31,計(jì)算物理,15,有效數(shù)字和有效數(shù),2.2 誤差與有效數(shù)字,再如,設(shè)x = = 3.14159265 取x*= 3.141，則|x*- x| = 0.00059265 0.005 = （絕對誤差限）有效位3,若設(shè)x = = 3.14159265 取x*=3.142，則|x*- x| = 0.0004073 0.0005= 有效位4,上述做法其實(shí)就是通常的四舍五入法。,2020/7/31,計(jì)算物理,16,有效數(shù)字和有效數(shù),2.2 誤差與有效數(shù)字,例題: 設(shè)準(zhǔn)確值為x = 3.78695，分

8、析近似值 = 3.7869， = 3.7870分別具有幾位有效數(shù)字。 解：| - x| = 0.00005= （小數(shù)點(diǎn)后第4位），有效位5。 | - x| = 0.00005= （小數(shù)點(diǎn)后第4位），有效位5。,2020/7/31,計(jì)算物理,17,數(shù)的浮點(diǎn)表示,2.2 誤差與有效數(shù)字,任一個(gè)有效數(shù) 均能表示成一個(gè)0.1-1之間的數(shù)與 的乘積(m為任何整數(shù)）的形式：,其中，a1是第一位不是零的數(shù)字, 有n位有效數(shù)字,分別為 a1,a2,an,2020/7/31,計(jì)算物理,18,有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系,2.2 誤差與有效數(shù)字,因?yàn)?所以,2020/7/31,計(jì)算物理,19,有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系

9、,2.2 誤差與有效數(shù)字,由上述結(jié)果可歸納成下面的定理,若 具有 位有效數(shù)字，,則其相對誤差限為,2020/7/31,計(jì)算物理,20,有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系,2.2 誤差與有效數(shù)字,反過來,也成立,即:,若 的相對誤差限為,則 具有n位有效數(shù)字。,證明：因?yàn)?，所以,即,所以 具有n位有效數(shù)字。,2020/7/31,計(jì)算物理,21,對于函數(shù) ,如果自變量 被近似值 代替, 那么函數(shù)值 被 代替,可由微分中值定理估計(jì) 的精度:,2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),可看成是函數(shù)的絕對誤差關(guān)于自變量的絕對誤差的放大數(shù),稱為絕對誤差條件數(shù).,2020/7/31,計(jì)算物理,22,因?yàn)?2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),所以

10、稱為相對誤差條件數(shù),2020/7/31,計(jì)算物理,23,2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),當(dāng) 為多元函數(shù)，如計(jì)算 時(shí).,的近似值為 ，,則 的近似值為,函數(shù)值 的誤差 為,2020/7/31,計(jì)算物理,24,2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),于是誤差限,而 的相對誤差限為,2020/7/31,計(jì)算物理,25,2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),由于,知 ，,故只要取 ，,即只要對 的近似值取4位有效數(shù)字，其相對誤差限就 小于0.1%.,要使 的近似值的相對誤差限小于0.1%，需取,解:1)設(shè)取 位有效數(shù)字，,例題,幾位有效數(shù)字?若求 ，B 20,B需要取幾位有效數(shù)字,才能 保證 近似值的相對誤差小于0.1?,由有效數(shù)字與相對

11、誤差關(guān)系的定理,就有,2020/7/31,計(jì)算物理,26,2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),2)設(shè),方法一:,相對誤差條件數(shù),注意到B的a1有可能是1,也可能是2,應(yīng)考慮最壞的情況,取 a1 =1.要尋找一個(gè)n,使 成立.可知當(dāng)n取4時(shí)能滿足上式,所以B取4位有效數(shù)字.,2020/7/31,計(jì)算物理,27,2.3 函數(shù)的誤差估計(jì),方法二:可以利用絕對誤差條件來解答. 要使 近似值相對 誤差限小于10-3,則應(yīng)使,且 為滿足題設(shè),希望 可見若B取4位有效數(shù)字,則 能保證 近似值的相對誤差限小于10-3,2020/7/31,計(jì)算物理,28,2.4 近似數(shù)的四則運(yùn)算,兩個(gè)近似數(shù) 與 ，其誤差限分別為 及 ，,

12、它們進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算得到的誤差限分別為,2020/7/31,計(jì)算物理,29,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,1. 避免相近二數(shù)相減,例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效數(shù)字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。, 幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：,當(dāng) | x | 1 時(shí)：,改變計(jì)算公式,2020/7/31,計(jì)算物理,30,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,2. 避免大數(shù)吃小數(shù),例：計(jì)算 的根。,精確解為, 算法1：利用求根公式,在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相

13、加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1 = 0.0000000001 1010，取單精度時(shí)就成為： -b=109+1=0.100000001010+0.00000000 1010 =0.10000000 1010 = 10 9,小數(shù)被吃掉,2020/7/31,計(jì)算物理,31,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,方法：提高數(shù)值計(jì)算精度或采用別的算法,2020/7/31,計(jì)算物理,32,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,3. 要避免用絕對值小的數(shù)去除絕對值大的數(shù),數(shù)值計(jì)算中，除數(shù)的絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對值，將會使商的數(shù)量級增加，甚至造成溢出錯(cuò)誤；而且當(dāng)除數(shù)稍有一點(diǎn)誤差，就會對計(jì)算結(jié)果造

14、成很大的誤差。如3.1416/0.0013141.6，當(dāng)分母有了0.0001的誤差時(shí)，也就是變?yōu)?.0011則商變?yōu)?.1416/0.00112856，商的誤差已經(jīng)變的非常巨大,2020/7/31,計(jì)算物理,33,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,4. 注意計(jì)算步驟的簡化，減少算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)。,2020/7/31,計(jì)算物理,34,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,5. 算法或公式要穩(wěn)定,穩(wěn)定性是指在數(shù)值計(jì)算中，誤差的傳播能否得到控制這樣一個(gè)性質(zhì)。,用一個(gè)算法進(jìn)行計(jì)算，如果初始數(shù)據(jù)誤差在計(jì)算中傳播 使計(jì)算結(jié)果的誤差增長很快，這個(gè)算法就是數(shù)值不穩(wěn)定的.,計(jì)算 并估計(jì)誤差.,由分部積分可得計(jì)

15、算 的遞推公式,若計(jì)算出 ，,代入，可逐次求出 的值.,例題,2020/7/31,計(jì)算物理,35,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,而要算出 就要先計(jì)算 .,并取 ，,則得 ，,計(jì)算過程中小數(shù)點(diǎn)后第5位的數(shù)字按四舍五入原則舍入.,若用泰勒多項(xiàng)式展開部分和,用4位小數(shù)計(jì)算，,截?cái)嗾`差,2020/7/31,計(jì)算物理,36,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,當(dāng)初值取為 時(shí)，用（3.2）遞推的計(jì) 算公式為,計(jì)算結(jié)果見表1-1的 列.,用 近似 產(chǎn)生的誤差 就是初值誤差，,它對后面計(jì)算結(jié)果是有影響的.,2020/7/31,計(jì)算物理,37,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,2020/7/31,

16、計(jì)算物理,38,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,從表中看到 出現(xiàn)負(fù)值，,這與一切 相矛盾.,因此，當(dāng) 較大時(shí)，用 近似 顯然是不正確的.,實(shí)際上，由積分估值得,2020/7/31,計(jì)算物理,39,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,計(jì)算公式與每步計(jì)算都是正確的，計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的原因,主要就是初值 有誤差 ，由此引起以后各步 計(jì)算的誤差 滿足關(guān)系,容易推得,這說明 有誤差 ，則 就是 的 倍誤差.,2020/7/31,計(jì)算物理,40,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,例如， ，,若 ，,這就說明 完全不能近似 了. 它表明計(jì)算公式（A）,若換一種計(jì)算方案.,由（3.3）取 ，,取,則,是數(shù)值不穩(wěn)定的.,由,2020/7/31,計(jì)算物理,41,2.5 數(shù)值計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問題,將公式倒過來算，,即由 算出 ，公式為,計(jì)算結(jié)果見表1-1的 列.,可以看出 與 的誤差不超過 .,2020/7/31,計(jì)算物理,42