§1.9 連續(xù)函數(shù)的運算

1、1,1.11 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性,四則運算的連續(xù)性,反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性,小結(jié) 思考題 作業(yè),初等函數(shù)的連續(xù)性,第一章 函數(shù)與極限,2,定理1,如,則,由于,一、四則運算的連續(xù)性,也在點 x0連續(xù);,在其定義域內(nèi)連續(xù).,在點 x0連續(xù);,在點 x0連續(xù).,3,如,結(jié)論: 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù),定理2,故,同理,二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性,單調(diào)增加,且連續(xù),單調(diào)的連續(xù)函數(shù),必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,也是單調(diào)增加且連續(xù).,單調(diào)減少且連續(xù).,單調(diào)增加且連續(xù).,單調(diào)減少且連續(xù).,4,此定理對計算某些極限是很方便的.,定理3,設函數(shù),是由函數(shù),復合而成,而函數(shù),連續(xù),則,5,例

2、,解,由,所以,6,定理4,設函數(shù),是由函數(shù),與函數(shù),復合而成,若函數(shù),連續(xù),而函數(shù),連續(xù),則復合而成,也連續(xù).,是由連續(xù)函數(shù),因此,復合而成,例,7,三角函數(shù)及反三角函數(shù),(1),(2),(3),是連續(xù)的;,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,單調(diào)且連續(xù);,指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),單調(diào)且連續(xù);,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),(4),冪函數(shù),連續(xù);,在它們的定義域內(nèi),8,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù) 在定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù),1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,注,在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);

3、,9,例,例,解,解,2. 初等函數(shù)求極限的方法,注,代入法.,10,利用連續(xù)性求極限練習,練習,練習,解,解,練習,練習,11,求,解:,原式,練習,12,練習,解,2002年考研數(shù)學三, 填空題, 3分,13,x = 2 是第二類無窮間斷點 .,間斷點的類型.,答案: x = 1 是第一類可去間斷點 ,例 討論函數(shù),解,為間斷點,14,例 確定函數(shù),間斷點的類型.,解: 間斷點,為無窮間斷點;,故,為跳躍間斷點.,15,四、小結(jié),連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性;,復合函數(shù)的連續(xù)性:,初等函數(shù)的連續(xù)性:,求極限的又一種方法.,兩個定理; 兩點意義.,反函數(shù)的連續(xù)性;,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;,1

4、6,思考題1,如果函數(shù) f (x)、g(x)至少有一個在點x0不,那么, f (x) + g(x)在該點是否連續(xù)?,連續(xù),思考題2 (是非題),處有定義,則,17,解答,思考題1,如果函數(shù) f (x)、g(x)至少有一個在點x0不,那么, f (x) + g(x)在該點是否連續(xù)?,連續(xù),(1) 若兩個函數(shù) 中只有一個在點x0不連續(xù),則f (x) + g(x)在點x0必不連續(xù).,用反證法證之:,不妨設在點x0,并假設,f (x) + g(x)在點x0連續(xù),則由連續(xù)函數(shù)的運算性,質(zhì)有:,在點x0連續(xù),與已知矛盾.,故 f (x) + g(x)在點x0不連續(xù).,f (x)連續(xù),g(x)不連續(xù);,18,解答,思考題1,如果函數(shù) f (x)、g(x)至少有一個在點x0不連續(xù),(2) 若f (x)、g(x)在點x0均不連續(xù),則,在f (x) + g(x)在點x0可能連續(xù),那么, f (x) + g(x)在該點是否連續(xù)?,也可能不連續(xù).,如:,在 x = 0處均不連續(xù),在 x = 0處,在 x = 0處連續(xù).,在 x = 0處均不連續(xù),在 x = 0處亦不連續(xù).,19,思考題2 (是非題),處有定義,則,非,故,但,20,思考題2 (是非題),處有定義,則,所以,不存在.,故,正確的說