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1、直線、平面垂直的判定與性質(zhì),數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2010級 徐秀萍,1,一.直線與平面垂直的判定與性質(zhì),2,3,1、線面垂直定義:,一般地,如果一條直線 l 與平面上的任何 直線都垂直,那么我們就說直線 l與平面垂直, 記作: l . 直線 l 叫做平面的垂線, 平面叫做直線l的垂面, l 與的交點(diǎn)P叫做垂足.,畫法:畫直線與平面垂直時, 通常把直線畫成與表示平面 的平行四邊形的一邊垂直。,4,線面垂直直觀圖的畫法:,5,2.線面垂直的判斷定理:,如果直線 l 與平面 上的兩條相交直線 a、b 都垂直,那么直線 l 與平面垂直。,6,A,B,C,7,例1、下列命題是否正確?為什么? (1)如果一條
2、直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線, 那么這條直線與這個平面垂直。 (2)如果一條直線垂直一個平面,那么這條直線就垂 直于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線。,8,例2、求證:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面。,在 上作兩條相交直線,3.線面垂直的性質(zhì)(公理),(1)過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直;,(2)過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直。,直線和平面垂直的性質(zhì) 1.一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意直線 2.垂直于同一平面的兩條直線平行,垂直于同一直線的兩平面平行,3.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面。,9,1
3、0,例3、在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AA1、 CC1的中點(diǎn),判斷下列結(jié)論是否正確?,AC面CDD1C1 AA 1面A1B1C1D1 AC面BDD1B1 EF面BDD1B1 ACBD1 BDA1F,11,例4、已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),O 是對角線AC與BD的交點(diǎn),且PA=PC,PB=PD。 求證:PO平面ABCD,例5如右圖,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,ADBC,ABC90,PA平面ABCD,PA3,AD2,AB2,BC6.求證:BD平面PAC.,要證BD平面PAC,只需在平面PAC內(nèi)尋求兩相交直線與BD垂直,而PA顯然與BD垂直,故只需證B
4、DAC.,12,即時訓(xùn)練: 如右圖所示,P為ABC所在平面外一點(diǎn),PA平面ABC,ABC90,AEPB于E,AFPC于F. 求證:(1)BC平面PAB; (2)AE平面PBC; (3)PCEF.,13,證明:(1)PA平面ABC, BC平面ABC,PABC. ABBC,ABPAA,BC平面PAB. (2)BC平面PAB,AE平面PAB,BCAE. PBAE,BCPBB,AE平面PBC. (3)AE平面PBC,PC平面PBC,AEPC, AFPC,AEAFA, PC平面AEF. 而EF平面AEF,PCEF.,14,15,空間圖形中的有關(guān)距離:,1.點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)與線的距離、線與線的距離。 2.點(diǎn) M 和平面的距離 設(shè)M是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)M作平面的垂線, 垂足為N,我們把點(diǎn)M到垂足N之間的距離叫做點(diǎn) M和平面的距離。,16,2、直線l和平面的距離 設(shè)直線 l 平行于平面,在直線 l 上任取一點(diǎn)M, 我們把點(diǎn)M到平面的距離叫做直線 l 和平面的距離。,17,3、平面和平面的距離 設(shè)平面平行平面,在平面上任取一點(diǎn)M,我 們把點(diǎn)M到平面的距離叫做平面和平面的距離。,關(guān)于三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶 注意:在需要平面的垂線時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.要熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面
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