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文檔簡介

1、1,實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即負(fù)梯度方向）爬行,一、問題的提出,第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,2,討論函數(shù) 在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題,二、方向?qū)?shù)的定義,（如圖）,3,當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，,是否存在？,4,記為,5,(2)方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,6,7,8,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除以,得到,9,故有方向?qū)?shù)

2、,10,例1 已知平面x o y上各點(diǎn)的溫度T = x2 + y2， 求在點(diǎn)（1，1）處沿與x軸正向成30o，45o 轉(zhuǎn)角方向的溫度變化率。,（1,1）,0,x,y,l1,l2,解,因 T = x2+y2 可微分，所以有,11,解,12,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,13,14,解,令,故,方向余弦為,15,故,16,三、梯度的概念,17,18,結(jié)論：,19,在幾何上 表示一個(gè)曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在 x o y 面上投影如圖,等高線,梯度為等高線上的法向量,20,等高線的畫法,播放,21,例如,22,梯度與等高線的關(guān)系：,23,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),24,25,解,由梯度計(jì)算公式得,故,26,27,等高線的畫法,28,等高線的畫法,29,等高線的畫法,30,等高線的畫法,31,等高線的畫法,32,

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