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第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 與曲線的凹凸性,一、單調(diào)性的判別法 二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 三、小結(jié),一、單調(diào)性的判別法,定理,證,應(yīng)用拉氏定理,得,例1,解,注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,問(wèn)題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào),定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),方法:,單調(diào)區(qū)間求法,例2,解,單調(diào)區(qū)間為,例3,解,單調(diào)區(qū)間為,例4,證,注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,1、曲線凹凸性的定義,定義,定理1,2、曲線凹凸的判定,例1,解,注意到,1、定義,注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.,2、拐點(diǎn)的求法,證,三、曲線的拐點(diǎn)及其求法,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),方法2:,例3,解,注意:,例4,解,三、小結(jié),曲線的彎曲方向凹凸性;,改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);,凹凸性的判定.,拐點(diǎn)的求法1, 2.,單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.,思考題,思考題解答,例,練 習(xí) 題

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