計算機圖形學 CG06_3曲面.ppt

1、6.3常用參數(shù)曲面,本節(jié)討論常用曲面的表示、性質(zhì)及其有關構(gòu)造算法。 常見的曲面有： 平面、二次曲面、直紋面、雙線性曲面、Coons曲面、Bezier曲面、B樣條曲面、NURBS曲面等,6.3.1參數(shù)曲面的定義,曲面也有顯式、隱式和參數(shù)式表示，從計算機圖形學的角度看，參數(shù)曲面更便于計算機表示和構(gòu)造。 一張矩形域上的參數(shù)曲面片 由曲線邊界包圍具有一定連續(xù)性的點集面片，用雙參數(shù)的單值函數(shù)表示為： x=x(u,w) y=y(u,w) z=z(u,w)u,w0,1 可記為p(u,w)=x(u,w),y(u,w),z(u,w),6.3.1參數(shù)曲面的定義,參數(shù)曲面片常用幾何元素有以下幾種： 角點 p(0,0

2、), p(1,0), p(0,1)和 p(1,1), 可簡記為p00, p10, p01和 p11。 邊界線 矩形域曲面片的四條邊界線是p(u,0), p(u,1), p(0,w)和 p(1,w), 可簡記為pu0, pu1, p0w和 p1w 曲面上的一點 p(ui,wj), 可簡記為pij Pij點的切矢 Piju Pijw 點的法矢n(ui,wj),簡記為nij,6.3.1參數(shù)曲面的定義,常用面片的參數(shù)表示： 二維矩形平面 球面 簡單回轉(zhuǎn)體 雙三次參數(shù)曲面 代數(shù)形式 P=UAWT 幾何形式幾何系數(shù)矩陣BP=F(u)BFT(w)=UMBMTWT 切矢和扭矢,6.3.2參數(shù)曲面的重新參數(shù)化,

3、參數(shù)方向變反 重新參數(shù)化的一般形式 參數(shù)曲面片的分割 給定一張參數(shù)曲面片，其幾何系數(shù)矩陣B1，求其子曲面片的幾何系數(shù)矩陣B2,6.3.3平面二次曲面和直紋面,平面 P(u,w)=p00+ur+ws u,w0,1 二次曲面 Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Jz+k=0 矩陣形式：XSXT=0 直紋面 繞面上的任一點的面法矢旋轉(zhuǎn)含該法矢的平面，如果該 平面至少在某一方向上有一條邊和該面重疊。 p1(u,w)=(1-u)p0w+up1w u,w0,1 雙線性曲面 P342,6.3.4Coons曲面,1964年S.A. Coons提出一種采用參數(shù)方法的曲面分片、拼合造型的思

4、想，用四條邊界構(gòu)造曲面平面。 線性Coons曲面 是通過四條邊界曲線pu0 , pu1 , p0w , p1w 來構(gòu)造曲面。 p1(u,w)=(1-u)p0w+up1w u,w0,1 p2(u,w)=(1-w)pu0+wpu1 u,w0,1 p3(u,w)=(1-w)(1-u)p00+up10 +w(1-u)p01+up11 P(u,w)= p1(u,w)+p2(u,w)-p3(u,w) u,w0,1,6.3.4Coons曲面,第二類Coons曲面 不僅插值于曲面的四條邊界，而且插值于給定的斜率。已知四條邊界曲線pu0 , pu1 , p0w , p1w及導數(shù)矢量pu0w , pu1w , p

5、0wu, p1wu，則 p1(u,w)=F0(u)p0w+F1(u)p1w+G0(u)p1wu+G1(u)p1wu p2(u,w)=F0(w)pu0+F1(w)pu1+G0(w)pu0w+G1(w)pu1w p3(u,w)=,6.3.4Coons曲面,第二類Coons曲面 P(u,w)=p1(u,w)+p2(u,w)-p3(u,w) u,w0,1,張量積曲面 在上述曲面構(gòu)造中，若取邊界及跨邊界的切矢都按同一調(diào)和函數(shù)規(guī)律地變化，則可簡化(略 詳見P345),6.3.4Coons曲面,Coons曲面片的拼接 兩張Coons曲面S1(u,w)和S2(u,w)拼接，要求在公共邊界處達到C0G1連續(xù)：

6、C0連續(xù)要求公共邊重疊，即S1(1,w)=S2(0,w) G1連續(xù)要求S1(1,w)的S2(0,w)切平面共面，且法矢的方向保持一致。充要條件是：,6.3.5 Bezier曲面,基于Bezier曲線的討論，我們可以方便地可以給出Bezier曲面的定義和性質(zhì)，Bezier曲線的一些算法也可以很容易擴展到Bezier曲面的情況。 1定義 設Pij(i=0,1,n; j=0,1,m)為(m+1)(n+1) 個空間點列，則 mn次Bezier曲面定義為：,6.3.5 Bezier曲面,其中 ， 是Bernstein基函數(shù)。 依次用線段連接點列Pij(i=0,1,n; j=0,1,m)中相鄰兩點所形成的

7、空間網(wǎng)格，稱之為特征網(wǎng)格。,Bezier曲面的矩陣表示式是： 在一般實際應用中，m,n不大于4。,性質(zhì),除變差減小性質(zhì)外，Bezier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bezier曲面： （1）Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個角點正好是Bezier曲面的四個角點，即,性質(zhì),（2）Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點定義Bezier曲面的四條邊界；Bezier曲面邊界的跨界切矢只與定義該邊界的頂點及相鄰一排頂點有關，且 、 、 和 （圖打上斜線的三角形）,其跨界二階導矢只與定義該邊界的及相鄰兩排頂點有關； （3）幾何不變性。 （4）對稱性。 （5）凸包性。,1. 雙線性Bezier曲面 當m=n=1時，,2. 雙二次Bezier曲面 當m=n=2時，,其邊界曲線及參數(shù)坐標曲線均為拋物線。,3. 雙三次Bezier曲面 當m=n=3時，,其矩陣表示為S(u,w)=UMzBzMzTWT 其中U=u3 u2 u 1, W=w3 w2 w 1, Mz同前Bezier曲線中，而,兩張Bezier曲面S1(u,w)和S2(u,w)分