4.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范型ppt課件.ppt

1、第二節(jié),標(biāo)準(zhǔn)形的定義,正交線性替換法,配方法,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形,初等變換法,二次型的規(guī)范形,一、標(biāo)準(zhǔn)形的定義,定義 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化,線性替換 x= Cy所變成的如下形式(只含平方項),yTBy = d1y12 + d2y22 + + dryr2 ( r n ) (4.5),的二次型稱為二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的標(biāo)準(zhǔn)形.,不難看出，二次型 (4.5) 的矩陣 B 為 n 階對角,矩陣.,即,B = CTAC = diag(d1 , d2 , , dr , 0 , , 0).,二、用正交線性替換法,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,任一

2、(實)二次型一定可以通過正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.,例 1 用正交線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求出所作的正交線性替換:,一般地，用正交線性替換將二次型f ( x1 , x2 , xn ) = xTAx (其中 AT = A) 化為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下:,Step1 求出二次型矩陣 A 的全部特征值,1 , 2 , , n ;,Step2 求出正交矩陣 P，使,PTAP = diag(1 , 2 , , n) ;,Step3 作正交線性替換 X = PY ，其中,Y = (x1 , x2 , , xn )T Rn ，則二次型 f ( x1 , x2 , ,xn ) 化為標(biāo)準(zhǔn)形1y12 + 2y2

3、2 + + nyn2 .,三、用配方法,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,例 2 用配方法把三元二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性替換及變換矩陣.,例 3 用配方法化二次型,為標(biāo)準(zhǔn)形.,即任何一個對稱矩陣都與一個對角矩陣合同.,四、用初等變換法,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,對A施以一系列行初等變換,例 4 用初等變換法化二次型,為標(biāo)準(zhǔn)形.,例 5 用初等變換法化二次型,為標(biāo)準(zhǔn)形.,五、二次型的規(guī)范形,標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？,標(biāo)準(zhǔn)形不唯一!,如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = xTAx (其中 AT =,A) 通過可逆線性替換可以化為,y12 + + yp2 y2p+1 yr2 ( p r n ),則稱上式為該二次型的規(guī)范形.,規(guī)范形中,正項的個數(shù) p 稱為二次型的正慣性指標(biāo),負項個數(shù)rp 稱為二次型的負慣性指標(biāo). r 是二次型的秩. p ( r p ) = 2p r 稱為二次型的符號差,定理 4.4 任一二次型 f ( x1 , x2 , , xn ),都可以通過可逆線性替換化為規(guī)范形，且規(guī),范形是唯一的.,推論1 任一實對稱矩陣A都與對角矩陣,合同,其中 1 和