高中數(shù)學 第二章《圓錐曲線與方程》2.1圓錐曲線學案 新人教版選修

1、第2章 圓錐曲線與方程21 圓錐曲線一、學習內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求建議橢圓、拋物線的定義掌握學生通過用平面截圓錐面，從具體情境中抽象出圓錐曲線模型，掌握橢圓和拋物線的定義，了解雙曲線的定義雙曲線了解二、預習指導1預習目標(1)認識用平面截圓錐面得到的各種曲線；(2)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義；(3)會根據(jù)不同的已知條件，利用圓錐曲線的定義判斷動點的軌跡2預習提綱(1)查找有關軌跡的概念，回答下列問題：平面內(nèi)到線段兩端點距離相等的點的軌跡是_；平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是_；空間中到定點的距離等于定長的點的軌跡是_(2)閱讀教材選修41的71頁到78頁，教材選修21的25頁

2、到27頁寫下列空格：一個平面截一個圓錐面，改變平面的位置，可得到如下圖形_，_，_，_，_；平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離_等于常數(shù)(_)的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的_；平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離_等于常數(shù)(_)的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距；平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(_)的距離_的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的_(3)閱讀課本例1，動手實踐借助細繩畫橢圓，結(jié)合課本27頁習題21第3題，動手實踐借助拉鏈畫雙曲線，并說明理由，以此加深對橢圓、雙曲線定義的認識3

3、典型例題例1 動點P(x，y)與兩個定點A(2，0)、B(2，0)構(gòu)成的三角形周長為10(1)試證：動點P在一個橢圓上運動；(2)寫出這個橢圓的焦點坐標分析：找動點P滿足的條件，利用圓錐曲線的定義解：(1)由題意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=64由橢圓的定義得：動點P在以A(2，0)、B(2，0)為焦點的橢圓上運動(2)由(1)得：這個橢圓的兩個焦點坐標為A(2，0)、B(2，0)點評：在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義中，條件都有特定的限制，如在具體問題中不加以判斷，會造成錯解如本題中PA+PB=64是十分必要的在橢圓的定義中，PF1+PF2等于常數(shù)，常數(shù)大于F1

4、F2的判斷是必不可少的若常數(shù)等于F1F2，則軌跡是線段F1F2；若常數(shù)小于F1F2，則不表示任何圖形在雙曲線的定義中，注意兩個限制：一是常數(shù)小于F1F2，二是差的絕對值，兩者缺一不可若PF1PF2是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點的軌跡是雙曲線以F2為焦點的一支；若PF2PF1是正常數(shù)且常數(shù)小于F1F2，則點的軌跡是雙曲線以F1為焦點的一支；若|PF1PF2|是常數(shù)且等于F1F2，則點的軌跡是兩條射線；若PF1PF2是常數(shù)且等于F1F2，則點的軌跡是以F2為端點與F1F2同向的射線；若PF2PF1是常數(shù)且等于F1F2，則點的軌跡是以F1為端點與F1F2反向的射線在拋物線的定義中，當點F在直線l上

5、時，則點P的軌跡是過點F與直線l垂直的直線例2 已知圓和圓，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，試問動圓圓心M在怎樣的曲線上運動?分析：兩圓外切，則圓心距等于半徑之和解： 設動圓的半徑為R，則由動圓M同時與圓C1及圓C2相外切得：消去R得：MC2MC1=2，故可知動點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數(shù)2由雙曲線的定義得：動圓圓心M在雙曲線的一支(左邊的一支)上運動點評：本題由于動點M到兩定點C1，C2的距離之差是常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，因此其軌跡只能是雙曲線的一支這一點在應用過程中要特別注意4自我檢測(1)已知點A(1，0)、B(1，0)，動點P滿足：PA+PB=4，則動點P的軌跡是_

6、(2)已知點A(2，0)、B(2，0)，動點M滿足：|MAMB|=2，則動點M的軌跡是 _ ，其兩個焦點分別為 (3)已知定點A(1，0)和定直線l：x= 3，若點N到定點A與到定直線l的距離相等，則點N的軌跡是 ，其焦點為 ，準線為 (4)已知點A(2，0)、B(2，0)，動點M滿足：|MAMB|=4，則動點M的軌跡是 _(5)在ABC中，B(0，3)，C(0，3)，且AB，BC，AC成等差數(shù)列，試證：點A在以B、C為焦點的橢圓上運動三、課后鞏固練習A組1用合適的選項填寫下列軌跡 ( 要求只填寫序號 )直線；圓；橢圓；雙曲線；雙曲線的一支；拋物線；線段(1)動點P到兩定點F1(4，0)、F2

7、(4，0)的距離和是8，則動點P的軌跡為_；(2)已知橢圓的焦點為F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得PQ=PF2，那么動點Q的軌跡是_；(3)動點P到直線x+4=0的距離減去它到M(2，0)的距離之差等于2，則動點P的軌跡是_；(4)經(jīng)過定圓外一定點，并且與定圓外切的動圓圓心的軌跡是_2已知O(0，0)、A(，0)為平面內(nèi)兩個定點，動點P滿足：PO+PA=2，求動點P的軌跡3在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且b，a，c成等差數(shù)列，bc已知頂點B、C的坐標為B(1，0)，C(1，0)試證：點A在以B、C為焦點的左半橢圓上運動4在ABC中，A為動點，為定點

8、，且滿足：，試問動點A在怎樣的曲線上運動?B組5圓O1與圓O2的半徑分別為1和2，O1O2=4，動圓與圓O1內(nèi)切而與圓O2外切，則動圓圓心的軌跡是_6已知定點A(3，3)和定直線l：x=3，若點N到定點A與到定直線l的距離相等，則點N的軌跡是 7已知圓的方程為，點A的坐標為(6，0)，M是圓O上的任意一點，AM的垂直平分線交OM于點P，試證明：點P在以A、O為焦點的橢圓上運動C組8已知A(0，7)、B(0，7)、C(12，2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，記橢圓的另一個焦點為F，證明：點F在以A(0，7)、B(0，7)為焦點的雙曲線的一支上運動9已知兩個同心圓，其半徑分別為R，r(Rr)，

9、AB為小圓的一條定直徑，求證：以大圓切線為準線，且過A、B兩點的拋物線的焦點F在以A、B為焦點的橢圓上10若一個動點P(x，y)到定點F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為定值m(m0)，試討論點P的軌跡知識點題號注意點橢圓的定義2，3，7，9，10注意橢圓定義的前提條件雙曲線的定義4，5，8注意雙曲線定義的前提條件；注意軌跡是雙曲線的哪一支拋物線的定義6注意拋物線定義的前提條件綜合問題1注意尋找動點滿足的等量關系四、 學習心得五、拓展視野我們身邊的圓錐曲線 圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實是一個偉大的發(fā)現(xiàn)在笛卡爾直角坐標系中，這些曲線的方程是二次方程，所以圓錐曲線又叫做二次曲線對于二次曲線的價值大概還沒

10、有人會估計得過高在我們的實際生活中處處都有圓錐曲線例如，我們的地球繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽系的其他行星的運行軌道都是橢圓這個事實是由開普勒第一定律確定的，之所以沿著橢圓軌道運動，是因為每一個行星在每一個瞬間都有不超過某一個值的速度事實證明，假如這個速度過大了，運動就會沿著拋物線或雙曲線軌道運行相對于一個靜止的物體，并按照萬有引力定律受它吸引的物體運動，不可能有任何其他的軌道因此，二次曲線實際上是以我們的宇宙為基礎的又如，如果讓拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，就得到一個叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面在拋物面的軸上，有一個具有美妙性質(zhì)的焦點，任何一條通過該點的直線由拋物面上反射出來之后，在指向上都平行于拋物面的軸而這

11、意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀，并且把燈泡放在焦點上，那么從拋物面上反射回來的所有光線就形成一束平行光束這顯然是一個很大的優(yōu)點，因為正是這樣一束光線在空間中，甚至于在離光源距離相當大的情況下，很少擴散當然，實際上我們得不到理想的平行光束，因為燈泡不是一個點，但對于實用的目的來說，只要接近于這樣的光束就夠了 天文望遠鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的它的作用剛好和探照燈的作用相反：探照燈的反射鏡把光線反射到空間，天文望遠鏡的反射面則把來自宇宙的光線聚焦到自己的焦點上只要用放大鏡組瞄準這個焦點就行了，這樣，我們就會得到聚焦到其光線的那個星球的信息，這比肉眼觀察所能提供的信息要多得多那條不穿

12、過雙曲線的對稱軸叫做雙曲線的虛軸如果使雙曲線繞這條軸旋轉(zhuǎn)，那么，形成的曲面(這樣的曲面稱為單葉雙曲面)也有許多實際用處單葉雙曲面是直紋曲面上面有兩組母直線族，各組內(nèi)母線彼此不相交，而與另一組母線永遠相交正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應用例如，用直立木桿造水塔，如果把這些桿垂直地放置，那就只能得到一個很不牢固的建筑物，他會因為非常小的負荷而損壞如果立桿時，使他們構(gòu)成一個單葉雙曲面(就是兩組母線族)，并使他們的交點處連接在一起，就會得到一個非常輕巧而又非常堅固的建筑物許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個原理 在嘗試解決古代名題的過程中，所發(fā)現(xiàn)的各種美妙曲線遠不限于螺線，蚌線和圓錐曲線可是，不管找到

13、了多少美妙的曲線，他們還是解決不了古代名題要知道，正像我們還記得的那樣，要求不只是解出這些名題，而是除了直尺和圓規(guī)外，不準利用其他任何工具而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個問題呢?這個問題該如何回答呢?如果這個答案存在的話，對這個問題給與肯定的回答，原則上顯得比給與否定的回答更容易，只不過需要嘗試才能找到這個答案經(jīng)過或多或少接連不斷的尋找，這種題解通?？梢哉业皆陬}解不存在的情況下，事情則難辦的多這時，只停留在普通的幾何直觀上，幾乎不可能得到所需要的答案在這種情況下，可以對問題進行精確的代數(shù)分析，以便歸結(jié)為完成某些代數(shù)方程的不可能性證明解答這個問題的不可能性這樣，就要求助于代數(shù)！21 圓錐曲線自我檢測(1)以A,B為焦點的橢圓 (2) 以A,B為焦點的雙曲線，A(-2,0)、B(2,0) (3)拋物線，A(1