3-2積分與其路徑的無關(guān)性.ppt

1、1,例：求 其中 為整數(shù) 解： 的參數(shù)方程為： ，于是 有,2,解,例 5,(1) 積分路徑的參數(shù)方程為,y=x,3,(2) 積分路徑的參數(shù)方程為,4,(3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成,x軸上直線段的參數(shù)方程為,1到1+i直線段的參數(shù)方程為,5,注意1,這和高等數(shù)學(xué)中的曲線積分與路徑無關(guān)的關(guān)系 ？,6,觀察上一節(jié)最后兩例題后發(fā)現(xiàn)： 有的函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān)，而有的函數(shù)，其積分不僅與積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路徑的形狀還有關(guān) 前一類函數(shù)是解析函數(shù)知道 f(z)=1也是解析函數(shù)，其積分也只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān) 由此，

2、我們可提出猜想： 解析函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān),7,3-2 積分與其路徑的無關(guān)性,一、復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件 二、解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用 三、復(fù)閉路定理和閉路變形原理,8,命題1 設(shè) 和 在單連域D內(nèi)連續(xù)，積分路徑C在D內(nèi)，且記 ，則該積分與在D內(nèi)的積分路徑無關(guān)的充要條件為對D內(nèi)的任何閉路C其積分值I=0。,9,命題2 設(shè) 和 在單連域D內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù) 和 ，且滿足條件 則對D內(nèi)的任何簡單閉路C有,10,1. Cauchy積分定理,首先介紹高等數(shù)學(xué)中的Green定理:,11,柯西積分定理,說明：該定理的主要部分是Cauchy于18

3、25年建立； 它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)。,12,試著證明 Cauchy 積分定理:,由Green公式,該定理的證明如此簡單？,13,改進(jìn)的Green定理:,1925年 Cauchy 建立該定理時(shí)，對 u, v 加了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件；Gaursat 去掉了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的假設(shè)。,14,Cauchy 積分定理的證明:,由改進(jìn)的Green公式,15,注意2 若曲線 C 是區(qū)域 D 的邊界,注意1 定理中的 C 可以不是簡單曲線.,16,注意3 定理的條件必須是“單連通區(qū)域”.,注意4 定理不能反過來用.,17,解,例 1,根據(jù)Cauchy積分定理, 有,18,例 2,解,根據(jù)Cauchy積分定理得,19,2

4、0,一、復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件,定理1 Cauchy積分定理,若函數(shù) 在簡單閉曲線C上及其內(nèi)部解析，則一定有,Cauchy-Goursat基本定理,若 在單連域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)的任何閉路有,21,定理2 復(fù)積分與其積分路徑的無關(guān)性,若函數(shù) 在單連域D內(nèi)解析，則它在D內(nèi)從定點(diǎn)z0到動點(diǎn)z的積分值與在D內(nèi)所取路徑無關(guān)，而只與動點(diǎn)z有關(guān)。,D內(nèi)積分值為z的單值函數(shù),可簡記為：,(3-2-1),22,例 計(jì)算積分,解 因?yàn)?均在復(fù)平面上解析， 所以，它們的和在一包含積分路徑 的單連通區(qū)域G內(nèi)解析，而積分路徑 是圍線， 所以，由定理得,顯然，該例所用方法是最簡單的,23,1. 原函數(shù)的概念,原函

5、數(shù)之間的關(guān)系:,二、解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用,24,那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:,證,25,類似于高等數(shù)學(xué)的結(jié)果，可以得到,由此結(jié)論可知:,解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān), 即：,26,27,28,2. Newton-Leibniz 公式,說明: 有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.,29,證,根據(jù) Cauchy 積分定理,30,例1,解,例2,解,31,例3,解,32,例4,解,利用分部積分法可得,33,三、復(fù)閉路定理和閉路變形原理,問題：如果G是復(fù)連通區(qū)域，那么，定理是否仍然有效？,34,那末,35,證明,36,37

6、,當(dāng) n 為其它值時(shí)，可同樣證明。,38,特殊情況：閉路變形原理,由復(fù)合閉路原理,這就是閉路變形原理,39,解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.,在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn).,說明：,40,意義,1.揭示了解析函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)在一定條件下，解析函數(shù)沿復(fù)連通區(qū)域邊界的積分等于零； 2.提供了一種計(jì)算函數(shù)沿圍線積分的方法,閉路變形原理： 解析函數(shù)積分的積分路徑作不經(jīng)過被積函數(shù)奇點(diǎn)的連續(xù)變形，其積分值保持不變。,41,3.典型例題,例1,解,依題意知,42,根據(jù)復(fù)合閉路原理,43,例2,解,圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合原理,44,例3,解,45,故,這一結(jié)果很重要。,46,先觀