高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 第1課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案 新人教A版選修

1、2.3 第一課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值一、課前準(zhǔn)備1課時(shí)目標(biāo)(1) 理解離散型隨機(jī)變量的均值的定義；(2) 能熟練應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的均值公式求值；(3) 能熟練應(yīng)用二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布、超幾何分布的均值公式求值.2基礎(chǔ)預(yù)探1若離散型隨機(jī)變量X的分布列為XP則稱_為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.2.兩點(diǎn)分布：若X服從兩點(diǎn)分布，則EX_.3.二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，則_.4.超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從N，M，n的超幾何分布，故=_.二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的關(guān)系隨機(jī)變量的均值反映的是離散型隨機(jī)變量的平均取值水平隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣

2、本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來(lái)越接近于總體的均值2.求隨機(jī)變量的均值的步驟分析隨機(jī)變量的特點(diǎn)，若為兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布模型，則直接套用公式；否則，根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量，分析隨機(jī)變量的取值；列出分布列；利用離散型隨機(jī)變量的均值公式求解3. 試驗(yàn)次數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的均值有沒有影響假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行了次，其中出現(xiàn)了次， 出現(xiàn)了次，出現(xiàn)了次；故X出現(xiàn)的總值為.因此次試驗(yàn)中，X出現(xiàn)的均值，即.由此可以看出，試驗(yàn)次數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的均值沒有影響.三、典例導(dǎo)析題型一 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例1 某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，

3、其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.（）求第一天通過檢查的概率；（）求前兩天全部通過檢查的概率；（）若廠內(nèi)對(duì)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求該車間在這兩天內(nèi)得分X的數(shù)學(xué)期望思路導(dǎo)析：先利用古典概型的知識(shí)求的第一二天通過檢查的概率；再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法便可求的前兩天全部通過檢查的概率；列出X可能的取值，求出其分布列便可利用公式求X的均值解：（I）因?yàn)殡S意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9件正品所以，第一天通過檢查的概率為（II）同

4、（I），第二天通過檢查的概率為 因第一天，第二天是否通過檢查相互獨(dú)立 所以，兩天全部通過檢查的概率為：（）記該車間在這兩天內(nèi)得分X的值分別為0，1，2， 所以 ，因此，方法規(guī)律：求一般離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，需先找出隨機(jī)變量X的可能取值，求出X中每個(gè)值的概率，然后利用定義求期望變式訓(xùn)練：甲、乙兩人分別獨(dú)立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過面試的概率都是，則面試結(jié)束后通過的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是 ( )AB C D題型二 常見離散型分布模型的數(shù)學(xué)期望例2 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立（I）求該地1位

5、車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的l種的概率；（）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求X的期望. 思路導(dǎo)析：由題意可知A、B是互斥的，故可利用互斥事件的概率公式求解（II）顯然符合二項(xiàng)分布模型，故可直接利用公式得到均值解：記A表示事件：該地的1位車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該地的1位車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；C表示事件：該地的1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買；（I） （II）因?yàn)?，所以期望方法?guī)律：隨機(jī)變量如服從二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布，求其數(shù)學(xué)期望時(shí)可直接套用公式求解，回避繁瑣的求分布列計(jì)算過程變式

6、訓(xùn)練：某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.題型三 數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用例3 某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次.在A區(qū)每進(jìn)一球得2分，不進(jìn)球得0分；在B區(qū)每進(jìn)一球得3分，不進(jìn)球得0分，得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別為和，如果選手甲以在A、B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，問選手甲應(yīng)該選擇哪個(gè)區(qū)投籃？思路導(dǎo)析：顯然，選手甲投籃的進(jìn)球數(shù)服從二項(xiàng)分布，從而可利用公式分別求出選手甲在兩個(gè)區(qū)得分的期望，從而

7、選擇在那個(gè)區(qū)投籃解：設(shè)選手甲在A區(qū)投兩次籃的進(jìn)球數(shù)為，則，故，則選手甲在A區(qū)投籃得分的期望為 . 設(shè)選手甲在B區(qū)投籃的進(jìn)球數(shù)為，則，故 ， 則選手甲在B區(qū)投籃得分的期望為 . 因?yàn)椋赃x手甲應(yīng)該選擇A區(qū)投籃. 方法規(guī)律：數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，利用數(shù)學(xué)期望可以解決實(shí)際問題中質(zhì)量的好壞、產(chǎn)量的高低等問題變式訓(xùn)練：一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資50萬(wàn)元，開發(fā)成功的概率為0.9，若開發(fā)不成功，則只能收回10萬(wàn)元的資金，若開發(fā)成功，投放市場(chǎng)前，召開一次新聞發(fā)布會(huì)，召開一次新聞發(fā)布會(huì)不論是否成功都需要花費(fèi)10萬(wàn)元，召開新聞發(fā)布會(huì)成功的概率為0.8，若發(fā)布成功則可以銷售100萬(wàn)元，否則

8、將起到負(fù)面作用只能銷售60萬(wàn)元，而不召開新聞發(fā)布會(huì)則可以銷售75萬(wàn)元.（1）求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會(huì)上發(fā)布的概率.（2）求開發(fā)商盈利的最大期望值.四、隨堂練習(xí)1隨機(jī)變量，則( ) A B C3 D2已知隨機(jī)變量滿足，則等于（ ）A0.3 B0.6 C0.7 D13.某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量，鼓勵(lì)工人嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，制定了獎(jiǎng)懲規(guī)定：工人只要生產(chǎn)出一件甲級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金50元，生產(chǎn)出一件乙級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金30元，若生產(chǎn)出一件次品則扣獎(jiǎng)金40元某工人生產(chǎn)甲級(jí)品的概率為0.6，乙級(jí)品的概率為0.3，次品的概率為0.1，則此人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獎(jiǎng)金為（ ）. A. 30元 B. 35元 C. 37元 D. 4

9、2元4.已知X的分布列為則EX =_5一種投骰子的游戲規(guī)則是：交一元錢可擲一次骰子，若骰子朝上的點(diǎn)數(shù)是1，則中獎(jiǎng)4元；若點(diǎn)數(shù)是2或3，則中獎(jiǎng)1元；若點(diǎn)數(shù)為4或5或6，則無(wú)獎(jiǎng)，某人投擲一次，那么他賺錢金額的期望為 .6. 假定每人生日在各個(gè)月份的機(jī)會(huì)是相等的，求3個(gè)人中生日在第一季度的平均人數(shù).五、課后作業(yè)1設(shè)隨機(jī)變量等于（ ）A0.1 B0.2 C0.3 D0.42.甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，表示甲機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時(shí)間的考查，、的分布列分是X0l23P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷A甲比

10、乙質(zhì)量好 B乙比甲質(zhì)量好 C甲與乙質(zhì)量相同 D無(wú)法判定3考察一種耐高溫材料的一個(gè)重要指標(biāo)是看其是否能夠承受600度的高溫現(xiàn)有一種這樣的材料，已知其能夠承受600度高溫的概率是0.7，若令隨機(jī)變量，則的均值為_ 4從編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)大小完全相同的小球中隨機(jī)取出3個(gè)，用表示其中編號(hào)為奇數(shù)的小球的個(gè)數(shù)，則 . 5. 某城市有甲、乙、丙三個(gè)旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，用表示該游客離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值求的分布列及均值.6.在某電視節(jié)目的一次有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)中，主持人準(zhǔn)備了、兩個(gè)相互獨(dú)立的問

11、題，并且宣布：幸運(yùn)觀眾答對(duì)問題可獲獎(jiǎng)金元，答對(duì)問題可獲獎(jiǎng)金元，先答哪個(gè)題由觀眾自由選擇，但只有第一個(gè)問題答對(duì)，才能再答第二題，否則終止答題若你被選為幸運(yùn)觀眾，且假設(shè)你答對(duì)問題、的概率分別為、（）記先回答問題獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為隨機(jī)變量X， 則X的取值分別是多少？（）你覺得應(yīng)先回答哪個(gè)問題才能使你獲得更多的獎(jiǎng)金？請(qǐng)說明理由 參考答案2.3 第一課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值2基礎(chǔ)預(yù)探1. 2. 3.np 4.三、典例導(dǎo)析例1 變式訓(xùn)練答案：A解析：X的可能取值為0，1，2 ，則，所以例2 變式訓(xùn)練答案：解析：隨機(jī)變量X服從N=7，M=2，n=2的超幾何分布，故=例3 變式訓(xùn)練解：（1）設(shè)A=“軟件開發(fā)成功

12、”，B=“新聞發(fā)布會(huì)召開成功” ，則“軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會(huì)上發(fā)布”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.（2） 設(shè)不召開新聞發(fā)布會(huì)盈利為X，則X的可能取值為萬(wàn)元、25萬(wàn)元，故其盈利的期望值是(萬(wàn)元)；開發(fā)成功且新聞發(fā)布會(huì)成功的概率為，開發(fā)成功新聞發(fā)布會(huì)不成功的概率為設(shè)召開新聞發(fā)布會(huì)盈利為Y，則Y的可能取值萬(wàn)元、50萬(wàn)元、10萬(wàn)元、萬(wàn)元，故其盈利的期望值 （萬(wàn)元）故開發(fā)商應(yīng)該召開新聞發(fā)布會(huì)，且盈利的最大期望是24.8萬(wàn)元.四、隨堂練習(xí)1答案：B 解析：因?yàn)?，所?2答案：A 解析： 根據(jù)題意隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以3.答案：B解析: .4.答案：3解析：.5答案： 0解析: 設(shè)賺錢金額為X元，則X的可能取值為3，0，所以6.解：由題意知每人在第一季度的概率為，又得3人中生日在第一季度的人數(shù)為，則B(3,)，所以,因此，第一季度的平均人數(shù)為.五、課后作業(yè)1答案：D 解析：因?yàn)?，所?.答案：A解析：因?yàn)?=0.6；所以，說明平均來(lái)看，甲的次品數(shù)要少3答案：0.7 解析：依題意服從兩點(diǎn)分布，其分布列為X100.70.3所以的均值是=0.74答案：解析：隨機(jī)變量服從N=5，M=3，n=3的超幾何分布，故.5.解析：分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客