概率論課件-2-4二維隨機(jī)變量及其概率分布23p.ppt

1、,第二章,第四節(jié),二維隨機(jī)變量及其概率分布(23),一、二維隨機(jī)變量的概念,二、二維離散型隨機(jī)變量,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,以上我們只限討論一個(gè)隨機(jī)變量的情況,但在實(shí)際問題,一、二維隨機(jī)變量的概念,定義1,有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變,量來描述.,例如:,為了研究大學(xué)生身體發(fā)育狀況,中,學(xué)生進(jìn)行抽查,對某校大,對于每個(gè)學(xué)生都能觀察到他的身高H和體,重W,這里H和W是兩個(gè)隨機(jī)變量,類似的例子還有許多.,設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間為 ,X ,Y 是定義在, 上的兩個(gè)隨機(jī)變量,則二維向量( X , Y ) 稱為二維隨機(jī),向量或二維隨機(jī)變量.,二維隨機(jī)變量( X , Y )的性質(zhì)不僅

2、與 X 及 Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系,注意:,定義2,因此逐個(gè)研究,體來進(jìn)行研究.,還必須將( X ,Y ) 作為一個(gè)整,與一維的情況類似,我們也借助于分布函數(shù)來研究二,設(shè)( X , Y ) 是二維隨機(jī)變量,對任意實(shí)數(shù) x , y ,二元函數(shù),稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù).,隨機(jī)變量 X 與 Y 是不夠的,維隨機(jī)變量.,(1),在幾何上,若把二維隨機(jī)變量( X ,Y )看作平面上隨機(jī)點(diǎn),的坐標(biāo),那么聯(lián)合分布函數(shù) F (x ,y)在點(diǎn)(x , y)處的函數(shù),值,就是隨機(jī)點(diǎn)(X ,Y)落在以點(diǎn)(x , y)為頂點(diǎn)的左下方無,窮矩形域內(nèi)的概率.,由聯(lián)合分布函

3、數(shù)的幾何意義很容易得出,落在一個(gè)矩形區(qū)域,內(nèi)的概率,為:,(2),隨機(jī)點(diǎn)( X ,Y ),定理1,(1) F ( X , Y )關(guān)于x ,y 均是非減函數(shù);,(2),（3）關(guān)于均是右連續(xù)函數(shù)；,（4）對任意，均有,二維隨機(jī)變量( X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù) F (x , y),具有以下性質(zhì):,注意到:,同理:,分別稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y )關(guān)于X ,二維隨機(jī)變量( X , Y )的分量 X 與Y 分別是一維,隨機(jī)變量,通過( X , Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)F ( X , Y )可以求,出 X 與Y 各自的分布函數(shù),與,與,關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù).,即有:,(3),(4),二、二維離散型隨

4、機(jī)變量,則稱( X , Y ) 是二維離,若二維隨機(jī)變量( X ,Y )的全部可能取值是有限多對,或可列無窮多對,并稱,為二維離散型隨機(jī)變量( X , Y ) 的聯(lián)合分布律.,聯(lián)合分布律的性質(zhì):,(1),(2),散型隨機(jī)變量.,的聯(lián)合分布律通常用表格(矩陣)給出：,( X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)F ( x ,y),其中,由(X ,Y )的聯(lián)合分布律還可求出 X 與 Y 各自的分布律.,求出:,是對一切滿足,的,求和.,可由上面的聯(lián)合分布律,(5),記:,分別稱為( X ,Y )關(guān)于 X 關(guān)于 Y 的邊緣分布律.,在聯(lián)合分布律的表格中,將每行與每列相加即可得到,邊緣分布律.,例1.,設(shè)隨機(jī)變量

5、X 在1 , 2 , 3 , 4 這四個(gè)整數(shù)中等可能,另一個(gè)隨機(jī)變量 Y 在1 X 中等可能地取一整數(shù),解:,由于 X = i ,Y = j 的取值情況是:,j 取不大于i 的正整數(shù) ,由乘法公式容易求得:,所以( X , Y )的聯(lián)合分布律與邊緣分布律為:,試求二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的聯(lián)合分布律及邊緣,i = 1 , 2 , 3 , 4 ,取值,值,布律.,1 2 3 4,即有 X 邊緣分布律:,Y 邊緣分布律:,123 4,X,123 4,Y,也即有:,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,實(shí)數(shù) x ,y 都有,定義3.,函數(shù),( X ,Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù).,則稱( X ,Y )為二維

6、連續(xù)型隨機(jī)變量,設(shè)F (x , y) 為二維隨機(jī)變量( X , Y )的聯(lián)合分布,若存在一個(gè)非負(fù)二元函數(shù) f ( x ,y ) ,使對任意,(6),并稱 f (x ,y) 為,聯(lián)合概率密度函數(shù) f (x ,y) 的性質(zhì):,(1) f (x , y ) 0 ;,(3) 若 f ( x ,y ) 在點(diǎn)( x ,y ) 處連續(xù),(4),性質(zhì)(4)表明在幾何上,概率,則有,( X ,Y )落在某平面區(qū)域 D 中的,在數(shù)值上就是 f ( x ,y ) 在區(qū)域 D 上的二重積分.,由( X ,Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù) f ( x ,y ),變量 X 和 Y 的概率密度函數(shù),因?yàn)?而,所以,同理有,稱為( X , Y )關(guān)于 X 的邊緣概率密度函數(shù);,稱為( X ,Y )關(guān)于 Y 的邊緣概率密度函數(shù).,和,(7),(8),可求得一維隨機(jī),例3.,(2),X ,Y 的邊緣概率密度函數(shù);,求:,及,(3)求( X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù) F ( X ,Y ) .,解:,(1).,設(shè) ( X , Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,(1),(2).,當(dāng)x 0 或 x 1 時(shí),則,當(dāng)0 x 1時(shí),則有,同理:,(3).,當(dāng)x 0 或