清華大學(xué)數(shù)字信號處理課件第12章.ppt

1、,12.5 關(guān)于線性預(yù)測的進一步討論,上一節(jié)使用的AR模型等效于一個 p 階的線性預(yù)測器。即Yule-Walker方程等效于Wiener-Hopf 方程。但估計的功率譜的分辨率不理想，其原因是僅用了前向預(yù)測，即,對同樣一組數(shù)據(jù)，我們可以實現(xiàn)雙向預(yù)測：,令：,可以得到使 最小的 及 。當然也可使用正交原理得：,可以證明：,前、后向預(yù)測對等關(guān)系,上述結(jié)果表明，使用已知的 p 個數(shù)據(jù)，我們可以實現(xiàn)前向預(yù)測，也可以實現(xiàn)后向預(yù)測，兩種情況下可各自得到對等的Wiener-Hopf方程。將它們單獨使用，所得分辨率都不理想。可以設(shè)想，如將二者結(jié)合起來，即同時使前向、后向預(yù)測誤差功率為最小，應(yīng)能得到更好的分辨率

2、。人們在線性預(yù)測方面進行了大量的研究。,前、后向預(yù)測誤差序列有如下的關(guān)系：,上述關(guān)系引出了線性預(yù)測中的Lattice結(jié)構(gòu)。這一結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代譜估計、語音信號處理中有著重要的應(yīng)用。,上述的關(guān)系還是集總平均。對實際的信號：單個樣本有限長，求均值要簡化，對,取代,N點數(shù)據(jù)，前向預(yù)測誤差序列范圍,上三角+中間塊+下三角：上、下加窗；,中間塊：上、下不加窗；,中間塊+上三角：下不加窗、上加窗；,中間塊+下三角：上不加窗、下加窗；,12.6 AR模型系數(shù)求解算法,AR模型系數(shù)求解算法很多，人們目前仍在探討新的求解算法。目前，常用的算法是： 1. 自相關(guān)法 2. Burg算法 3. 協(xié)方差(covariance

3、)方法； 4. 改進的協(xié)方差算法（modified ) , 又稱：Marple 算法 5. 最大似然（Maximum Likelihood)估計,3. 遞推算法：由 求 ，由 遞 推，還是直接由 遞推,各算法之間的主要區(qū)別：,2. 僅用前向預(yù)測，還是前后向都預(yù)測？即 令 最小，還是 最??？,？,一、自相關(guān)法,令：,使用,使用前向預(yù)測,注意：矩陣 的結(jié)果，即是對有限長數(shù)據(jù)求出的自相關(guān)函數(shù)，因此，上式等效于：,自相關(guān)法的特點：,1. 只用前向預(yù)測，且 等效前、后加窗, 分辨率不好;,2. 用 ，得到的 是Toeplits陣，才可能用Levinson算法求解；,3. 實際上是我們前面討論過的Yule

4、-Walker 方 程。方法最簡單。,二、Burg算法,使用前、后向預(yù)測,令：,得到 的求解公式：,遞推步驟,1、 令： 求出 2、求 時的參數(shù) 3、求出 ，再求 4、用Levinson算法，求 時的 5、重復(fù)上述過程，直到,Burg算法：一個公認的較好的算法。,Burg 算法的特點：,2. 的選擇保證前、后不加窗，即,3. 在每一級， 僅對 最小，然后套用自相關(guān)法的Levinson遞推算法，影響分辨率；,4. 直接用數(shù)據(jù)遞推，方法簡單。,三、改進的協(xié)方差法Marple方法,同Burg算法,注意：這是Marple 算法和Burg算法的最大區(qū)別。Burg算法僅：,上述最小化的結(jié)果是得到一個協(xié)方差

5、方程：,注意：該矩陣不是Toeplitz矩陣，因此不能用Levinson算法求解。Marple于1983年給出的求解上式的快速遞歸算法。所以，該算法稱作“改進的協(xié)方差法，或Marple算法。該算法的估計性能最好，但計算復(fù)雜。,（e）Burg算法 Burg算法,（g）Marple算法 Marple算法,12.7 MA模型,再推導(dǎo)一步，有：,從譜估計的角度，MA模型等效于經(jīng)典法中的間接法，所以分辨率低。因此，MA模型用于譜估計無優(yōu)勢。但，MA模型： 1. 常用于系統(tǒng)辨識； 2. ARMA模型中包含了MA部分。,令其等效為 模型,求解算法：由于MA模型的正則方程是非線性方程，所以人們提出了很多的求解

6、算法，如譜分解、基于迭代的方法、基于高階AR模型近似的方法。后者最好用，基礎(chǔ)是Wold分解定理。,步驟： 1、由 ,建立 得 ; 2、對 建立 階線性預(yù)測器，系數(shù)為 ,即建立兩次AR模型。,12.8 ARMA(p,q)模型,ARMA模型的正則方程,對第二個式子，,可以先 求 ，然后再解第一個方程，求出 ；但這樣做的效果不好，一是 的性能不好，二是第一個方程也不好求解。首先，建立一個超定方程（方程個數(shù)未知數(shù)）：,用求偽逆的方法可求出 ；注意，偽逆可用 奇異值分解（SVD）的方法求解；求出 后， 剩下的工作是求,2、用 對 濾波； 3、 濾波輸出 相當于一 MA（q) 過程，按 上節(jié)MA模型的求解

7、方法，可求 出ARMA(p,q)模型 的 參數(shù)。,ARMA 模型系數(shù)求解的方法：,1 先求出： ，它們可構(gòu)成 ；,（a）MA(10) （b）MA(16) （c）ARMA(10,10) （d）ARMA(10,13),12.10 基于矩陣特征分解的功率譜估計,假定信號由 M 個復(fù)正弦加白噪聲組成：,已知：,目標：1. 由該矩陣估計 個正弦信號的頻率和幅度； 2. 估計信號 的功率譜；,定義：,為信號向量，它包含了 個復(fù)正弦，其頻率和原信號的頻率相同。,求解的關(guān)鍵是自相關(guān)矩陣的分解：,因為：,所以：,特征分解,構(gòu)成的M維信號空間,構(gòu)成的噪聲空間,基于噪聲子空間的頻率估計和功率譜估計：,噪聲空間只有一

8、個特征向量,即：,方法：,由 估計 ，由 構(gòu)成 ，并假定 ；,2. 對 作特征分解，找最小的 ，及,3. 代入上式，解出： 實現(xiàn)了頻率估計。,4. 由下式，求,按上述步驟，可求出正弦信號的參數(shù) Pisarenko 諧波分解,若噪聲空間向量不止一個，估計信號的頻率，可應(yīng)用譜估計的方法。,2. 若,EV(Eigenvector)方法,用特征分解求出的功率譜曲線,與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件：,1. pyulear.m 用AR模型的自相關(guān)法估 計信號的功率譜，其基本調(diào)用格式是： Px, F = pyulear(x, order, Nfft, Fs) 2. pburg.m 用AR模型的Burg算法

9、估計信 號的功率譜，其基本調(diào)用格式是： Px, F = pburg(x, order, Nfft, Fs),（一）、 有關(guān)功率譜估計的MATLAB文件,3. pcov.m 用AR模型方差方法估計信號的 功率譜，其基本調(diào)用格式是： Px, F = pcov(x, order, Nfft, Fs) 4. pmcov.m 用AR模型的改進的方差方法估 計信號的功率譜，其基本調(diào)用格式是： Px, F = pmcov(x, order, Nfft, Fs),5. pmem.m 最大熵功率譜估計，其估計 性能類似pyulear, 其基本調(diào)用格式是： Px, F = pmem(x, order, Nfft,

10、 Fs) 6. pmusic.m 用自相關(guān)矩陣分解的MUSIC 算法估計信號的功率譜，其基本調(diào)用格 式是： Px, F = pmusic(x, order, Nfft, Fs),7. peig.m 用自相關(guān)矩陣分解的特征向量 法估計信號的功率譜，其基本調(diào)用格式是： Px, F = peig(x, order, Nfft, Fs), Px, F，V, E = peig(x, order, Nfft, Fs), x :信號向量，order:模型的階次，F(xiàn)s:抽樣頻率，Nfft:對x作FFT時的長度。Px:估計出的功率譜，F(xiàn)是頻率軸坐標。對peig, 輸出的E 是由自相關(guān)矩陣的特征值所組成的向量，V

11、是由特征向量組成的矩陣。V的列向量張成了噪聲子空間，V的行數(shù)減去列數(shù)即是信號子空間的維數(shù)。,（二）有關(guān)AR模型參數(shù)估計的文件： 包括：aryule, arburg, arcov 及 armcov。 8. aryule.m 用自相關(guān)法(即Yule-Walker法)估 計AR模型的參數(shù)，其基本調(diào)用格式是： a, E = aryule(x, order), a, E，k = aryule(x, order),9. arburg.m 用Burg算法估計AR模型的參數(shù)， 其基本調(diào)用格式是： a, E = arburg(x, order) a, E，k = arburg(x, order) 10. arc

12、ov.m 用方差方法估計AR模型的參數(shù)， 其基本調(diào)用格式是： a, E = arcov(x, order),11. armcov.m 用改進的方差方法估計AR模型 的參數(shù)，其基本調(diào)用格式是： a, E = armcov(x, order) x ：信號向量；order：模型的階次； a：AR模型系數(shù)向量； E：AR模型輸入白噪聲的功率，或order階線 性預(yù)測器的最小預(yù)測誤差。 k： 反射系數(shù)向量。,（三）有關(guān)線性預(yù)測的MATLAB文件 lpc ： 用來計算線性預(yù)測系數(shù)。 a=lpc(x, order); 其作用等同于 aryule； ac2poly ：由自相關(guān)函數(shù)求線性預(yù)測系數(shù) a, E=ac2poly(R); 14. Poly2ac： 由線性預(yù)測系數(shù)求自相關(guān)函數(shù)。 Rpoly2ac(a, E);,ac2rc 由自相關(guān)函數(shù)得到反射系數(shù)及。 k, R0=ac2rc(R); 16 rc2ac 由反射系數(shù)及得到自相關(guān)函數(shù)。 Rrc2ac(k, R0); 17 poly2rc 由線性預(yù)測系數(shù)得到反射系數(shù) k=poly2rc(