11-2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1、2020/9/14,11.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂,一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,若,定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,部分和序列,有界 .,若,收斂 ,部分和數(shù)列,有界,故,從而,又已知,故有界.,則稱,為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .,單調(diào)遞增,收斂 ,也收斂.,2,都有,定理2 (比較審斂法),設(shè),且存在,對(duì)一切,有,(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù),則弱級(jí)數(shù),(2) 若弱級(jí)數(shù),則強(qiáng)級(jí)數(shù),證:,設(shè)對(duì)一切,則有,收斂 ,也收斂 ;,發(fā)散 ,也發(fā)散 .,分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有,是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù) k 0 ),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故

2、不妨,3,(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù),則有,因此對(duì)一切,有,由定理 1 可知,則有,(2) 若弱級(jí)數(shù),因此,這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù),也發(fā)散 .,也收斂 .,發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù),4,例1. 討論 p 級(jí)數(shù),(常數(shù) p 0),的斂散性.,解: 1) 若,因?yàn)閷?duì)一切,而調(diào)和級(jí)數(shù),由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù),發(fā)散 .,發(fā)散 ,5,因?yàn)楫?dāng),故,故sn有界, 因此p 級(jí)數(shù)收斂 .,時(shí),2) 若,6,從而,綜上所述, 當(dāng)p1時(shí), 因此p-級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 當(dāng)p1時(shí), p- 級(jí)數(shù)收斂.,調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).,若存在,對(duì)一切,7,證明級(jí)數(shù),發(fā)散 .,證: 因?yàn)?而級(jí)數(shù),發(fā)散,根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .,

3、例2.,8,定理3. (比較審斂法的極限形式),則有,兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;,(2) 當(dāng) l = 0,(3) 當(dāng) l =,證: 據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù),滿足,(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),9,由定理 2 可知,同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ;,(3) 當(dāng)l = 時(shí),即,由定理2可知, 若,發(fā)散 ,(1) 當(dāng)0 l 時(shí),(2) 當(dāng)l = 0時(shí),由定理2 知,收斂 ,若,10,特別取,可得如下結(jié)論 :,對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),11,的斂散性.,例3. 判別級(jí)數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)比較審斂法的極限形式知,例4. 判別級(jí)數(shù),解:,根據(jù)比較審斂法的極限形式知,12,定理4 . 比值審斂法 ( DAlembert 判別法

4、),設(shè),為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且,則,(1) 當(dāng),(2) 當(dāng),證: (1),收斂 ,時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;,或,時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 .,由比較審斂法可知,13,因此,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.,時(shí),(2) 當(dāng),說(shuō)明: 當(dāng),時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.,例如, p 級(jí)數(shù),但,級(jí)數(shù)收斂 ;,級(jí)數(shù)發(fā)散 .,從而,14,例5. 討論級(jí)數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)定理4可知:,級(jí)數(shù)收斂 ;,級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,15,對(duì)任意給定的正數(shù) ,定理5. 根值審斂法 (Cauchy判別法),設(shè),為正項(xiàng)級(jí),則,證明提示:,即,分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確.,數(shù), 且,16,時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .,例如 , p 級(jí)數(shù),

5、說(shuō)明 :,但,級(jí)數(shù)收斂 ;,級(jí)數(shù)發(fā)散 .,17,例6. 證明級(jí)數(shù),收斂于S ,似代替和 S 時(shí)所產(chǎn)生的誤差 .,解:,由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .,令,則所求誤差為,并估計(jì)以部分和 Sn 近,18,二 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù),稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) .,定理6 . ( Leibnitz 判別法 ),若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:,則級(jí)數(shù),收斂 , 且其和,其余項(xiàng)滿足,19,證:,是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又,故級(jí)數(shù)收斂于S, 且,故,20,收斂,收斂,用Leibnitz 判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,收斂,上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?,發(fā)散,收斂,收斂,21,三、絕對(duì)收斂與條件收斂

6、,定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),若,若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原,收斂 ,級(jí)數(shù),為條件收斂 .,均為絕對(duì)收斂.,例如 ：,絕對(duì)收斂 ；,則稱原級(jí),數(shù),條件收斂 .,22,定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .,證: 設(shè),根據(jù)比較審斂法,顯然,收斂,收斂,也收斂,且,收斂 ,令,23,例7. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :,證: (1),而,收斂 ,收斂,因此,絕對(duì)收斂 .,24,(2) 令,因此,收斂,絕對(duì)收斂.,25,其和分別為,絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).,*定理8. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.,( P203 定理9 ),說(shuō)明: 證明參考 P203P2

7、06, 這里從略.,*定理9. ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 ),則對(duì)所有乘積,按任意順序排列得到的級(jí)數(shù),也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù),與,都絕對(duì)收斂,其和為,但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).,(P205 定理10),26,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性,2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,27,3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,為收斂級(jí)數(shù),Leibniz判別法:,則交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂,概念:,絕對(duì)收斂,條件收斂,28,思考與練習(xí),設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,能否推出,收斂 ?,提示:,由比較判斂法可知,收斂 .,注意:,反之不成立.,例如,收斂 ,發(fā)散 .,29,備用題,1. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:,解: (1),發(fā)