第三章波動(dòng)方程

1、.,1,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),本章包括： 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的平面波 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn) 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),.,2,P波波動(dòng)方程 無限大、均勻各向同 S波波動(dòng)方程 性介質(zhì)中的平面波 SV波 SH波,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),.,3,位移方程 脹縮點(diǎn)震源球面縱波 震 脹縮力 物理含義 無限大、各向同性 源 介質(zhì)中的球面波 性 旋轉(zhuǎn)力 質(zhì) 位移方程 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)震源球面橫波 物理含義,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),.,4,球面縱波的傳播特點(diǎn) 視波長(zhǎng) 波剖面 視波數(shù)k 關(guān) 振動(dòng)圖（實(shí)際記錄） 視周期T 系 視頻率f 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn) 能量密

2、度 能量和球面擴(kuò)散 能流密度 球面擴(kuò)散 地震波的譜分析（傅立葉變換 ） 應(yīng)用 識(shí)別不同的地震波 識(shí)別巖性,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),.,5,惠更斯-夫列涅爾原理 地震波的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 射線積分理論-克希霍夫積分 費(fèi)馬原理和波的射線 時(shí)間場(chǎng)和視速度定理,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),.,6,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),在均勻、各向同性、理想彈性介質(zhì)中的彈性波方程為： 兩邊分別取散度和旋度，并且令 則可得縱波方程和橫波方程,.,7,3 波動(dòng)方程的解及地震波的特點(diǎn),波動(dòng)方程反映了物體波動(dòng)過程的普遍規(guī)律。波動(dòng)方程的求解通常是和定解問題聯(lián)系起來考慮。波動(dòng)方程的解就是波函數(shù)。 在不同的情況下可以得

3、到不同的解，即波函數(shù)有不同的形式。 為了定量地描述微觀粒子的狀態(tài)，量子力學(xué)中引入了波函數(shù)，并用表示。一般來講，波函數(shù)是空間和時(shí)間的函數(shù)，并且是復(fù)函數(shù)，即=(x，y，z，t)。,.,8,3.1 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的平面波,一、沿任意方向傳播的平面波 直接用位移向量所表示的波動(dòng)方程式求解 式中：A為振幅，決定位移的大小，為波的相位. 2f/V = w/V為簡(jiǎn)諧波參數(shù)，f頻率，w圓頻率，V波速。 i為虛數(shù)符號(hào)，僅考慮實(shí)數(shù)時(shí)為簡(jiǎn)諧波。 為傳播項(xiàng)。 此式表達(dá)的波函數(shù)為沿k方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波。,.,9,若 為常數(shù)，t固定，該方程代表一個(gè)以 為法向量的平面，波在每個(gè)這樣的平面上必然有相同的相位，即

4、平面波是垂直于 平面?zhèn)鞑サ?。不同的t，有不同的波前面。平面波的波前面是平行的。 是平面的法線方向數(shù)。有 取負(fù)號(hào)時(shí)，表示隨時(shí)間t的增加，波沿k方向前進(jìn)，即延遲一個(gè)時(shí)間。 取正號(hào)時(shí)，表示隨時(shí)間t的增加，波沿-k方向前進(jìn)，即提前一個(gè)時(shí)間 當(dāng)K是任意矢量的，則平面法向量為任意方向的。即表示沿任意方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波。,3.1 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的平面波,.,10,二、沿X軸方向傳播的平面波（即 ） 將上式代入波的Navier方程 整理簡(jiǎn)化，并令體力F=0，可得,.,11,無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的波動(dòng)方程的解有兩組。 第一組解：當(dāng) 時(shí)， 沿x方向的位移分量不為零，其他方向的位移為零，即波的傳

5、播方向與位移方向一致，所以稱為平面縱波，也稱為脹縮波，通常簡(jiǎn)稱為P波。 第二組解：當(dāng) 時(shí)， 其位移方向與波的傳播方向垂直，所以稱為平面橫波，也稱為剪切波，通常簡(jiǎn)稱為S波。S波有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向：沿Z軸振動(dòng)的S波分量為垂直偏振剪切波，稱為SV波，沿Y軸振動(dòng)的S波為水平偏振剪切波，稱為SH波。,.,12,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,下面進(jìn)一步討論在地震勘探的初始和邊界條件下，脹縮力divF和旋轉(zhuǎn)力rotF的作用下，求解波函數(shù)，并分析其性質(zhì)（以縱波為主） 2.2.1 脹縮點(diǎn)震源條件下的球面縱波 1、初始和邊界條件 初始條件：在均勻各向同性介質(zhì)中，炸藥爆炸后產(chǎn)生一個(gè)均勻的力垂直作用在半

6、徑為a的球形空腔壁上。當(dāng) 或相對(duì)無限大空間而言，這個(gè)震源可以看成是點(diǎn)震源，其力位函數(shù)或者震源函數(shù)可以表示為,（初始條件）,是震源力,.,13,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,當(dāng)tt時(shí)，點(diǎn)震源作用完畢。 邊界條件：因已假設(shè)彈性介質(zhì)的空間是無限的，其內(nèi)不存在任何彈性分界面，故無邊界條件。 球面縱波：在在均勻各向同性介質(zhì)中激發(fā)點(diǎn)源，所產(chǎn)生的脹縮力作用面具有球?qū)ΨQ性，所產(chǎn)生的波前面是一個(gè)球面，當(dāng)研究任意一球半徑r方向上的縱波的傳播特點(diǎn)，就可以代表其他方向的傳播特點(diǎn)，稱此為球面縱波。,.,14,已知球面縱波傳播波動(dòng)方程如下： 此式是直角坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程，需轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系中，即 為矢量r和z

7、軸之間的夾角， 為矢量r在 xoy平面上的投影與x軸之間的夾角,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,2、坐標(biāo)變換和球坐標(biāo)下球面縱波的傳播方程解,.,15,各種算子在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,.,16,將各種算子帶入縱波的波動(dòng)傳播方程，得到著名的弦方程： 可用達(dá)朗貝爾法解得： 如果使 為常數(shù)，則t 隨 r 增大而增大， 代表了沿r向“外”傳播的波，稱為發(fā)散波。 代表了沿-r向“內(nèi)”傳播的波，即向震源方向傳播的波，稱為聚會(huì)波。聚會(huì)波只存在于t為負(fù)值的情況，這與實(shí)際不合，則該波是不存在的。,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,.,17,該式是

8、齊次方程的解，只反映了波的傳播特點(diǎn)。當(dāng)力位函數(shù)不為零時(shí)，需求非齊次方程的解，即達(dá)朗貝爾解。 將點(diǎn)震源用半徑r=a的小球代替，小球體積為W。對(duì)上式求體積分，并令r-0,其極限情況就是點(diǎn)震源的達(dá)朗貝爾解。,因此，上式又可寫為：,.,18,左端的第一項(xiàng)，其特解帶入則得， 左端的第二項(xiàng)，按奧斯特洛斯公式：任意一個(gè)矢量場(chǎng)，若在空間域W中該場(chǎng)的一階導(dǎo)數(shù)是存在，則該場(chǎng)邊界S上的通量等于在W域中散度的體積分。即：,.,19,.,20,.,21,力位函數(shù)不為零的波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾解為： 該式為用震源函數(shù)表示的波動(dòng)方程的位移位解。 在實(shí)際工作中，人們不可能接收到質(zhì)點(diǎn)的位移位，而只能接收到質(zhì)點(diǎn)的位移。 地震記錄上地

9、震波的振幅A值就是反映質(zhì)點(diǎn)的位移。所以必須把位移位轉(zhuǎn)換成位移。,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,.,22,3.2 無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波,3、球面縱波的位移解 球面縱波的位移為： 其物理含義為： 球面縱波以 的速度沿r方向向外傳播 縱波質(zhì)點(diǎn)的位移與震源強(qiáng)度及其一階導(dǎo)數(shù)成正比 質(zhì)點(diǎn)位移與波的傳播方向一致 縱波質(zhì)點(diǎn)位移與r及其平方成反比 表示延遲位 質(zhì)點(diǎn)位移在一維空間振動(dòng)，為線形極化波,.,23,平面波的波前代替球面波的波前,引起的誤差是平面波的傳播方向偏離了真正的傳播方向. 如果球面波的半徑足夠大或者PR足夠小時(shí)，可根據(jù)需要，使偏差變得很小。,.,24,3.2 無限大、均

10、勻各向同性介質(zhì)中的球面波,2.2.2 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)震源條件下的球面橫波 球面橫波有以下一些特點(diǎn)： 球面橫波以速度 沿r方向向外傳播 位移與震源強(qiáng)度及其一階導(dǎo)數(shù)有關(guān) 位移幅度與傳播距離r及其平方成反比 波的轉(zhuǎn)播方向和振動(dòng)方向垂直 質(zhì)點(diǎn)的位移方向有兩個(gè)，產(chǎn)生水平偏振的SH波和垂直偏振的SV波 為延遲位,.,25,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),地震波的動(dòng)力學(xué)特征：就是有地震波的動(dòng)力學(xué)參數(shù)來體現(xiàn)的。 地震波的動(dòng)力學(xué)參數(shù)：用于描述地震波振動(dòng)特征的參數(shù)，包括波的振幅（A）、頻率(f)或周期(T)、相位、波速、偏振及衰減等特點(diǎn)。 在實(shí)際工作中，縱波的激發(fā)可以利用炸藥、氣槍、電火花等很方便地得到，而橫波的激發(fā)則相對(duì)困

11、難一些，而且其激發(fā)能量一般也比較弱。特別是地表附近的含水風(fēng)化層有利于縱波的傳播和縱波的垂直出射，因此縱波的激發(fā)和接收都比較容易，而風(fēng)化層對(duì)橫波的傳播和接收都比較困難。因此，目前的橫波勘探的深度一般大致在1000米內(nèi)。 換句話說，目前的勘探方法主要還是縱波勘探。,.,26,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),2.3.1 球面縱波的傳播特點(diǎn) 在球坐標(biāo)中，縱波的質(zhì)點(diǎn)位移為： 1、遠(yuǎn)離震源的球面縱波(1/r1/r2) 2、近震源的球面縱波（ 1/r2 1/r）,.,27,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),在近震源區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)規(guī)律（波函數(shù)）主要與震源函數(shù) 有關(guān)；而在遠(yuǎn)震源區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)主要與震源函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 有關(guān)。

12、在近震源區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位移振幅主要與傳播距離的平方(r2)成反比，衰減較快；而在遠(yuǎn)震源區(qū)域，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的幅度主要與傳播距離r成反比，衰減較慢。當(dāng)傳播距離r很大時(shí)，地震波的振幅趨于穩(wěn)定，在一個(gè)波動(dòng)帶內(nèi)r可視為常數(shù)。,.,28,3、波前、波帶及波尾 地震勘探通常都是在遠(yuǎn)離震源處觀測(cè)質(zhì)點(diǎn)的位移，因此，在遠(yuǎn)震源情況下，進(jìn)一步討論有關(guān)波前、波帶和波尾的概念。 按照點(diǎn)震源的定義，則震源函數(shù) 有： 其一階導(dǎo)數(shù) 可表示為：,（初始條件）,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),.,29,由上式可知 的存在條件是： 即波從O點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過 到達(dá) (q點(diǎn))，再經(jīng)過 時(shí)間到達(dá) (p點(diǎn))，稱p點(diǎn)為波前,以 為半徑的球面為波前面,q

13、點(diǎn)為波尾，以為 半徑的球面為波尾面， 和 之間為波帶。相應(yīng)地，可以分為波前區(qū)（表示尚未波動(dòng)的區(qū)域）、波尾區(qū)（波動(dòng)已結(jié)束的區(qū)域）和波動(dòng)區(qū)（正在波動(dòng)的區(qū)域）。,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),注意：某個(gè)時(shí)刻的波前、波尾,.,30,在波動(dòng)區(qū)，相鄰質(zhì)點(diǎn)的位移狀態(tài)是不相同的，這是由于確定質(zhì)點(diǎn)位移的震源函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是變化的。 對(duì)于每個(gè)給定的時(shí)刻，波動(dòng)帶的質(zhì)點(diǎn)可以是相互靠近，形成質(zhì)點(diǎn)局部密集帶，稱為壓縮帶；也可以是彼此分開，形成局部的疏松帶，稱為膨脹帶。 壓縮帶和膨脹帶不斷交替更換，使地震波不斷向前傳播，即縱波（脹縮波）的傳播特點(diǎn)。,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),.,31,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),可用體應(yīng)變

14、 來定量闡述 又： 則有： 體應(yīng)變的符號(hào)取決于震源的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。,假設(shè)震源函數(shù)在t時(shí)間為一個(gè)簡(jiǎn)單的連續(xù)信號(hào)，則一階導(dǎo)數(shù)至少有一次經(jīng)過零點(diǎn)，二階至少有兩次零點(diǎn)。則體應(yīng)變將從正-負(fù)-正（或者負(fù)-正-負(fù)），即疏松帶-壓縮帶-輸松帶。因此，縱波在波動(dòng)帶內(nèi)至少有三個(gè)不同的脹、縮帶。,.,32,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),2.3.2 地震波的波剖面和振動(dòng)圖 波剖面：在某一固定時(shí)刻，觀測(cè)波動(dòng)帶內(nèi)，沿波的傳播方向(r)各質(zhì)點(diǎn)的位移狀態(tài)圖形(up-r)。正值表示壓縮，負(fù)值表示膨脹。正峰值為波峰，負(fù)峰值為波谷。 振動(dòng)圖：在某一傳播距離處，觀測(cè)波動(dòng)帶內(nèi)某個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的位移變化狀態(tài)圖形(up-t) 。振動(dòng)圖的極值

15、（正或負(fù)）稱為相位。極值的大小為振幅。 注意： 單道地震記錄是振動(dòng)圖。 多道地震記錄包含了振動(dòng)圖和波動(dòng)圖.,.,33,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),視波長(zhǎng) ：在波剖面上，正峰值為波峰，負(fù)峰值為波谷，波峰之間的距離為視波長(zhǎng)。 視波數(shù) ：視波長(zhǎng)的倒數(shù)稱為視波數(shù)。 視周期 ：在振動(dòng)圖上，相鄰正極值（或負(fù)極值）之間的距離為視周期。 視頻率 ：視周期的倒數(shù)稱為視頻率。 有如下一些關(guān)系： 這里引入了視周期、視波長(zhǎng)、視波數(shù)和視頻率等概念，因?yàn)槭菍?shí)際觀測(cè)到的數(shù)據(jù)。,.,34,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),2.3.3 能流密度和球面擴(kuò)散 1、能流密度 地震波的傳播實(shí)質(zhì)上就是能量的傳播。反射波通過的介質(zhì)體積為W，介質(zhì)

16、的密度為 ，對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則波的能量： 即波的能量與振幅平方、頻率平方、介質(zhì)密度和體積成正比。 能量密度：包含在介質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量： 能流密度或波的強(qiáng)度I：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)面積S的能量為能流通量，則單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的能量為能流密度或波的強(qiáng)度I 即波的強(qiáng)度正比于波的振幅平方、頻率平方、速度及介質(zhì)密度。,.,35,由上式可得出以下結(jié)論： 在其他條件相同時(shí)，地震波的振幅A與I,成正比，I大則A大； 在I、w、W一定時(shí)，密度大的巖石與密度小的巖石相比，其振幅要小，即在致密巖石中要獲得相同的振幅就需要更多的能量（未考慮吸收）。 高頻的波與低頻的波，要獲得相同的振幅，則需要更多的能量。,3.3

17、地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),.,36,.,37,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),2.3.3 能流密度和球面擴(kuò)散 2、球面擴(kuò)散 在遠(yuǎn)離震源區(qū)，地震波的振幅（位移）與r成反比。形成這種關(guān)系的物理原因是隨著r的增大，球面也越來越大，而從震源O發(fā)出的能量又必需守恒，即相同的能量必須分配在越來越大的球面上。這必然造成能流密度I隨r增大而越來越小。I 越小，按下式，振幅A也隨之減小。稱這種現(xiàn)象為球面擴(kuò)散或稱幾何擴(kuò)散。 特別注意：球面擴(kuò)散并不存在波的能量損失的問題，它只是能量隨r不同而重新分配。即隨r的增大，分配在單位面積上的能量越來越少。,.,38,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),2.3.4 波場(chǎng)的頻譜分析 時(shí)間域非周期

18、函數(shù)x(t)的傅立葉變換對(duì)為： 式中， 為頻率域復(fù)函數(shù)，稱為x(t)的頻譜，該式表明任何一個(gè)非周期函數(shù) x(t)都是由不同頻率，不同振幅和不同相位的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和組成。復(fù)函數(shù)可以表示為 其中： 稱為x(t)的振幅譜，表示了每個(gè)簡(jiǎn)諧分量對(duì) x(t)振幅的貢獻(xiàn)； 稱為x(t)的相位譜，表示了各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之間的相位關(guān)系。,.,39,.,40,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),由振幅譜可知時(shí)間函數(shù)x(t)中包含的簡(jiǎn)諧波頻率成分及相應(yīng)的幅度值，由相位譜可知參與疊加的各頻率簡(jiǎn)諧波的初相位。 如果研究波剖面，則將自變量時(shí)間t換為距離x，f換為k，相應(yīng)的傅立葉變換為 這就是波剖面的波數(shù)譜分析。 如果對(duì)二維地震記錄一次

19、完成二維傅立葉變換，則完成了頻率波數(shù)（頻波）分析。,.,41,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),頻譜分析就是將整個(gè)時(shí)間域中的信號(hào)F(t)通過傅立葉正變換求得振幅譜和相位譜。表示了整個(gè)時(shí)間域內(nèi)每個(gè)簡(jiǎn)諧分量對(duì)F(t)的貢獻(xiàn)；但是它們不能表示每個(gè)時(shí)刻的頻譜特征，即瞬時(shí)頻譜 三瞬數(shù)字處理技術(shù)是為了研究瞬時(shí)頻譜。該技術(shù)可以得到信號(hào)在每個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)頻譜。 瞬時(shí)頻譜分析技術(shù)在研究巖石的巖性和識(shí)別小斷層等地質(zhì)現(xiàn)象時(shí)很有價(jià)值。 瞬時(shí)頻譜分析是基于復(fù)信號(hào)分析為基礎(chǔ)的 復(fù)信號(hào)u(t)表示為 式中， 表示實(shí)際地震信號(hào)， 表示 的希爾伯特變換,.,42,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),則: 瞬時(shí)振幅 瞬時(shí)相位 瞬時(shí)頻率 這樣，就

20、可以得到三瞬剖面。,.,43,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),頻譜分析的應(yīng)用： 識(shí)別不同的地震波。不同的地震波的頻譜是不一樣的，也就是說它們的視波長(zhǎng)、視周期、視速度等特征不一樣。這樣，我們就可能利用各種方法（包括儀器、野外、處理等）剔除或壓制干擾波，而加強(qiáng)有效波。 識(shí)別巖性。不同巖石、巖性、厚度的的地層的頻譜是不一樣的。比如砂巖含油氣后其頻率可能變低，其速度也可能變低。,.,44,.,45,3.3.5 地震波的極化 波的極化：縱波質(zhì)點(diǎn)位移的方向與波的傳播方向一致，橫波質(zhì)點(diǎn)的位移方向與波的傳播方向垂直，這樣的現(xiàn)象叫做波的極化。 線性極化波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)在一條直線上的波，如縱波、橫波； 面極化波：質(zhì)點(diǎn)位移

21、是在一個(gè)平面內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng) 研究波的極化可以識(shí)別不同的波，還可以確定最有利的接收方向。,3.3 地震波的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn),.,46,3.3 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征就是研究波的傳播時(shí)間和空間的關(guān)系。波的傳播理論： 最早由荷蘭科學(xué)家惠更斯提出，但只是一個(gè)實(shí)驗(yàn)總結(jié)，只能給出波在傳播空間中的幾何位置，而且沒有數(shù)學(xué)證明。 夫列涅爾對(duì)波的傳播做了物理解釋和簡(jiǎn)單的定量計(jì)算，即惠更斯-夫列涅爾原理。計(jì)算結(jié)果雖不是很精確，沒有解決如何定量一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的波場(chǎng)問題，但形成波傳播的運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)。 1883年，德國(guó)科學(xué)家克?；舴蚶美@射積分理論解決了波場(chǎng)的定量計(jì)算問題。,.,47,3.3 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),2.3.1

22、 惠更斯-夫列涅爾原理 惠更斯原理:在空間中，任意時(shí)刻波前面上的每一個(gè)點(diǎn)都可以看成是一個(gè)新的點(diǎn)源，并由它產(chǎn)生二次擾動(dòng)形成元波前，各個(gè)元波前的包絡(luò)就是下一個(gè)時(shí)刻的新波前的位置。 惠更斯-夫列涅爾原理:波前面上各個(gè)新點(diǎn)源產(chǎn)生的二次擾動(dòng)，都可以傳播到空間上任意一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)M上，形成相互干涉的疊加振動(dòng)；該疊加振動(dòng)就是該觀測(cè)點(diǎn)M的總擾動(dòng)，即M點(diǎn)的波場(chǎng)。,.,48,2.3 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),2.3.2 繞射積分理論-克?；舴蚍e分式 波前面上任意一個(gè)新點(diǎn)源發(fā)出的元波前可稱為廣義繞射子波； 空間中任意一點(diǎn)的波場(chǎng)就是所有繞射子波的積分和。 具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，不僅給出了波的傳統(tǒng)的幾何（射線）傳播理論，而且給出了

23、質(zhì)點(diǎn)位移（波形）方程。克?；舴蚪o出了更普遍情況下的波動(dòng)方程的解，即達(dá)朗貝爾方程解。這種解法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于地震勘探中。 廣義克?；舴蚍e分式,.,49,2.3 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),1、延遲位 式中的前一項(xiàng)為體積分，后一項(xiàng)為面積分，實(shí)際中常常不能同時(shí)存在的。 如a圖，在t=0時(shí)刻從M1點(diǎn)的球體中向外發(fā)出彈性波，該波源區(qū)的半徑為a。則在t=t1時(shí)刻的波前將是半徑為“a+Vt1”球面。若積分域取得比W球體還大，即閉合面S在W球面之外，顯然，彈性波到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)M時(shí)，絕不可能到達(dá)S面上，S面上的位函數(shù)及導(dǎo)數(shù)必然為零，只有第一項(xiàng)。 這一結(jié)果稱為波場(chǎng)在M(x,y,z)的延遲位，表示了在t時(shí)刻M的波場(chǎng)是從震源 M1

24、在“t-R/V”時(shí)刻發(fā)出的。,圖b是任意波源區(qū)，任何一塊dW發(fā)出的波都要經(jīng)過R/V時(shí)延后才能到達(dá)M點(diǎn)。因此，在t 時(shí)刻波源區(qū)W0對(duì)M點(diǎn)的波函數(shù)是所有子波源發(fā)出的波，經(jīng)過不同R/V延遲后，于t1時(shí)刻到達(dá)M點(diǎn)的疊加積分和。,.,50,2、空間域W內(nèi)無體積波源，或者在震源作用時(shí)間t之后W域中無波源，此時(shí)，體積分為零，只有面積分： 3、若觀測(cè)點(diǎn)M1在空間域W以外，則克希霍夫積分式不成立，兩積分之差為零。則無法用格林公式求解波場(chǎng)。 若M點(diǎn)取在空間域W以內(nèi)，則兩積分之差為等于M點(diǎn)t時(shí)刻的波函數(shù)。,2.3 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),.,51,3.3 地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn),3.3.3 費(fèi)馬原理和波的射線 費(fèi)馬原理：波沿垂直于波前面的路徑傳播時(shí)，其時(shí)間最短。這個(gè)路徑就是波場(chǎng)的射線方向，因此也可以說波沿射線方向傳播的時(shí)間最短。 費(fèi)馬原理也叫費(fèi)馬最小時(shí)間原理。它是從射線原理來描述波的傳播，克希霍夫積分是從廣義繞射理論來描述波的傳播。 可以證明，波的主要能量集中在射線方向上或者是在射線附近。 注意：應(yīng)用費(fèi)馬原理不僅適用于均勻介質(zhì)，而且適用于非均勻介質(zhì)?？梢岳觅M(fèi)馬原理進(jìn)行射