高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.2 數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）學(xué)案 新人教B版必修

1、2.1.2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))學(xué)習(xí)目標1.理解遞推公式是數(shù)列的一種表示方法.2.能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項.3.掌握由一些簡單的遞推公式求通項公式的方法知識鏈接1數(shù)列中的項與數(shù)集中的元素進行對比，數(shù)列中的項具有的性質(zhì)有_答案(1)確定性；(2)可重復(fù)性；(3)有序性；(4)數(shù)列中的每一項都是數(shù)2數(shù)列的項與對應(yīng)的序號能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？類比函數(shù)的表示方法，想一想數(shù)列有哪些表示方法？答案數(shù)列的項與對應(yīng)的序號能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，an，.除了列舉法外，數(shù)列還可以用公式法、列表法、圖象法來表示預(yù)習(xí)導(dǎo)引1遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項

2、)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式2數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有列舉法、通項公式法、圖象法、列表法、遞推公式法要點一由遞推公式寫出數(shù)列的項例1已知數(shù)列an滿足下列條件，寫出它的前5項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.解(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011；a3a2(221)134；a4a3(231)459；a5a4(241)9716.故該數(shù)列的一個通項公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5，它的前5項依次是1，

3、.它的前5項又可寫成，故它的一個通項公式為an. 規(guī)律方法(1)根據(jù)遞推公式寫數(shù)列的前幾項，要弄清公式中各部分的關(guān)系，依次代入計算即可(2)若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式跟蹤演練1設(shè)數(shù)列an滿足寫出這個數(shù)列的前5項解由題意可知a11，a2112，a311，a411，a511.要點二由遞推公式求通項例2已知數(shù)列an滿足：a11,2n1anan1(nN，n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)這個數(shù)列從第幾項開始及其以后各項均小于？解(1)ana1()n1()n2()2()11()12(n1)，an

4、.(2)bn(n)2，nN時，bn遞增，即an為遞減數(shù)列，當n4時，6，an，當n5時，10，an.從第5項開始各項均小于.規(guī)律方法由遞推公式求通項公式的技巧(1)由數(shù)列的遞推公式求通項公式是數(shù)列的重要問題之一，是高考考查的熱點，累加法、累乘法、迭代法是解決這類問題的常用技巧(2)當anan1f(n)且滿足一定條件時，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1來求an.(3)當f(n)且滿足一定條件時，常用ana1來求an.跟蹤演練2已知數(shù)列an，a11，以后各項由anan1(n2)給出(1)寫出數(shù)列an的前5項；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)a11；a2a1；a3a2；a4a

5、3；a5a4.(2)由anan1得anan1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a11()()()(1)1112(nN)要點三數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例3f(x)log2x(0x1)，且數(shù)列an滿足f()2n(nN)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)判斷數(shù)列an的增減性解(1)f(x)log2x，又f()2nm，log22n，即an2n.整理得a2nan20，ann.又0x1，故01，于是an0，ann(nN)(2)1.anan，數(shù)列an是遞增數(shù)列規(guī)律方法數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，用函數(shù)與方程的思想處理數(shù)列問題在判斷數(shù)列an的單調(diào)性時，可以用作差法或作商法跟蹤演練3函數(shù)

6、f(n)數(shù)列an的通項anf(1)f(2)f(3)f(2n)(nN)(1)求a1，a2，a4的值；(2)寫出an與an1的一個遞推關(guān)系式(注：135(2n1)4n1)解(1)a1f(1)f(2)f(1)f(1)2.a2f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(3)f(1)f(2)13a16.a4f(1)f(2)f(3)f(16)86.(2)an1f(1)f(2)f(2n1)，anf(1)f(2)f(2n)，f(1)f(3)f(5)f(2n1)f(2)f(4)f(6)f(2n)135(2n1)f(1)f(2)f(3)f(2n1)，anan14n1(n2).1數(shù)列1,3,6,10,15，的遞推公

7、式是()Aan1ann，nNBanan1n，nN，n2Can1an(n1)，nN，n2Danan1(n1)，nN，n2答案B2已知數(shù)列an滿足a12，an1an10(nN)，則此數(shù)列的通項an等于()An21Bn1C1nD3n答案D解析an1an1.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(1)(1)(1)2(1)(n1)3n.3用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個數(shù)n之間的關(guān)系式可以是_答案an2n1解析a13，a2325，a33227，a432229，an2n1.4已知：數(shù)列an中，a11，an1an(1)寫出數(shù)列的前5項；(2)猜想

8、數(shù)列an的通項公式解(1)a11，a21，a3，a4，a5.(2)猜想：an.1遞推公式的理解與應(yīng)用(1)與所有的數(shù)列不一定都有通項公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式(2)遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法，遞推公式和通項公式一樣都是關(guān)于項數(shù)n的恒等式，如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(3)遞推公式通過賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出數(shù)列的任何一項和所需的項(4)運用遞推法給出數(shù)列，不容易了解數(shù)列的全貌，計算也不方便，所以我們經(jīng)常用它得出數(shù)列的通項公式或者得到一個特殊數(shù)列，比如具有周期性質(zhì)的數(shù)列2數(shù)列的通項公式與遞推公式的作用和聯(lián)系通項公式遞推公式作用通項公式是給出數(shù)列的主要形式，由通項公式可求出數(shù)列的各項及指定項，也可以解決數(shù)列的性質(zhì)問