函數(shù)的奇偶性與對稱性

1、.蘇州市學案函數(shù)的奇偶性與對稱性一、課前準備：【自主梳理 】1.奇偶函數(shù)的定義：一般地， 對于函數(shù)f ( x) 的定義域內的 _一個 x ，都有 _ ，那么 f (x) 就叫做奇函數(shù)對于函數(shù)f ( x) 的定義域的 _一個 x ，都有 _ ，那么 f (x) 就叫做偶函數(shù)2奇偶函數(shù)的性質：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關于對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關于_對稱（ 2）一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖像關于 _ 對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖像關于 _對稱（ 3）若奇函數(shù)f (x) 的定義域包含0，則 f (0)_（ 4）定義在r 上的任意函數(shù)f (x) 都可

2、以表示成一個奇函數(shù)g (x)_ 和一個偶函數(shù) h( x) _的和（ 5）在定義域的公共部分內，兩個奇函數(shù)之積（商）為_；兩個偶函數(shù)之積（商）為 _；一奇一偶函數(shù)之積（商）為_ （注：取商時應使分母不為0）3函數(shù)圖像的對稱性： （ 1）定義在 r 上的函數(shù)f ( x) 滿足 f ( a x)f (ax) ，則 f ( x) 的圖像關于 _對稱（ 2）定義在 r 上的函數(shù) f ( x) 滿足 f (a x)f ( ax) ，則 f ( x) 的圖像關于 _對稱【自我檢測】1對于定義在 r 上的函數(shù) f (x) ，下列判斷正確的是_ 若 f (2)f (2)，則函數(shù) f (x) 是偶函數(shù)；若f (2

3、)f (2) ，則函數(shù) f (x) 不是偶函數(shù)；若 f (2)f (2)，則函數(shù) f ( x) 不是奇函數(shù)2給出4個函數(shù)：f ( x)1x2 ； f ( x)2x5 ；f ( x) lg1x ；f (x)x1 3x41xx1其中是奇函數(shù)；是偶函數(shù)；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3.已知 f (x)(m21) x2(m1)x n 2 為奇函數(shù)，則 m_, n_4.函數(shù) f (x)x3x 的圖像關于點 _對稱5.函數(shù) f (x)ax 3bsin x1，若 f ( 3)2 ，則 f (3) 的值為 _.6.已知函數(shù)f (x) 是定義在 r 的奇函數(shù)，則函數(shù)g( x)f (x)f (x) 的奇偶性是 _二、

4、課堂活動：【例 1】填空題：（ 1）函數(shù) f (x) x1x1 是 _函數(shù)（填奇偶性）（ 2）已知函數(shù) f ( x)ax2bx 3a b ，其定義域為 a 1,2a ，則 f ( x) 為偶函數(shù)的充要條件為 _ （ 3）已知 f (x) 是 r上的奇函數(shù) ,且當 x (0,) 時 , f ( x) x(13 x ) , 則 f (x) 的解析式為_（ 4）若函數(shù) f ( x)k2 x是奇函數(shù)，則 k_k2x1【例 2】判斷下列各函數(shù)的奇偶性：2x2x(x 0)（ 1） f ( x) ( x 1) 1x ；（ 2） f (x)lg(1x )；（ 3） f ( x)x2x( x 0)1x| x22

5、 | 2.【例 3】（ 1）已知函數(shù)f (x)是偶函數(shù)， 當 x0,1時， f ( x) 1x ，又 f ( x) 的圖象關于直線x 1對稱，求 f (x) 在2,1 上的解析式；（ 2）若函數(shù)f ( x) 是偶函數(shù)，定義域為1,1且在區(qū)間 1,0 上為增函數(shù)，解關于x 不等式f (5x 1)f (3x) 課堂小結三、課后作業(yè)1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是_. f (x) x2x f ( x)x 1 f ( x)x2x 2 f ( x)x2x x 2,2)2.若函數(shù) f (x)loga ( xx22a 2 ) 是奇函數(shù)，則實數(shù)a.3.奇函數(shù) f (x) 的定義域是 r ，當 x 0 時， f (

6、 x)x22x2 ，則 f ( x) 在 r 上的表達式為_.4.已知 f (x) 是偶函數(shù)， g (x) 是奇函數(shù)， 若 f ( x)g (x)1，則 f (x) 的解析式是 _.x 15.若函數(shù) f (x)( x a)(bx2a)(常數(shù)a,br) 是偶函數(shù)，且它的值域為,4，則該函數(shù)的解析式為 _.6. 若 函 數(shù) yf ( x) 是 定 義 在 1,1上 的 奇 函 數(shù) ， 且 在 1,0上 為 減 函 數(shù) ， 若f ( a2a 1)f (4a 5)0 ，則實數(shù) a 的取值范圍為 _.7.若奇函數(shù) f (x) 滿足 f (3) 1, f (x 3)f ( x)f (3), 則 f ( 3

7、 )_.28.已知 f (x) 是定義 r 在上的偶函數(shù)，并滿足f ( x1，當 2x 3 時， f ( x)x ，2)f ( x)則 f (5.5) 的值為 _.9. 函數(shù) yf ( x)( x 0) 是奇函數(shù)，且當x (0,) 時是增函數(shù)，若f (1) 0 ，求不等式f x( x1 ) 0 的解集 .210.已知函數(shù)f ( x) 對一切 x, yr ，都有 f (xy) f ( x) f ( y) .（ 1）求證：f (x) 是奇函數(shù)；（ 2）若 f ( 3)a ，用 a 表示 f (12) .四、糾錯分析題 號錯 題 原 因 分 析錯題卡.學案 10函數(shù)的奇偶性與對稱性答案一、課前準備：

8、【自主梳理 】1.任意，f ( x)f ( x) ，任意，f ( x)f ( x) .f (x)f ( x)f (x) f ( x)2.（ 1）原點，原點 .（ 2）原點， y 軸 .（ 3）0.（ 4） g( x)，h(x).（ 5）偶函數(shù)，偶函數(shù)，奇函數(shù) .223.1）直線 x.2a,0 .（a（ ）點【自我檢測】1. .2.， .3. m1, n2 .4.0,0.5.0.6.奇函數(shù) .二、課堂活動：【例 1】（ 1）偶 .（ 2） a1 , b0 .（ 3） f ( x)x(13x ), x0x(1x ), x.（ 4） 1.330【例2】【解析】（ 1）由 1x0 ，得定義域為 1,1

9、)，關于原點不對稱，f ( x) 為非奇非偶1x函數(shù)1x20得定義域為 (1,0) u (0,1) ， f ( x)lg(1x2 )lg(1 x2 )，（ 2）由( x2x2| x22 | 2 02) 2 f ( x)lg1(x) 2 lg(1x2 )f ( x) f ( x) 為偶函數(shù)(x)2x2（ 3）當 x0 時，x0 ，則 f ( x)( x)2x( x2x)f ( x) ，當 x0 時，x0 ，則 f ( x)( x)2x(x2x)f ( x) ，綜上所述，對任意的x(,) ，都有 f ( x)f(x) ， f ( x) 為奇函數(shù)【 例 3 】【 解 析 】（ 1 ） f ( x)

10、的 圖 象 關 于 直 線 x1 對 稱 ， f (1 x)f (1 x) ， 即f ( x)f ( 2x) 當 x1,2時， f ( x)f ( 2x) 1(2 x)x 1 .又 f (x) 為偶函數(shù)，x2, 1 時， f ( x)f (x)x1（ 2）函數(shù) f (x) 是偶函數(shù)，定義域為 1,1且在區(qū)間 1,0上為增函數(shù)， f (x) 在 0,1上為減函數(shù) .由 f (5x1)f (3x)得： f (5x1)f (3x) 5x 13x ，即： x1或 x111,13x1，即0x18，又 1 5x32不等式的解為：0x18三、課后作業(yè)1. .2.2 函數(shù)是實數(shù) r 上的奇函數(shù)f ( 0)0l

11、og a2a 20a222x22x2 x03.f ( x)0x0x22x2 x04.f ( x)1x 215.f ( x)2x24 6.1 a33327.128.2.5 【解析】f ( x 4)f ( x2)211f (x)函數(shù)的最小正周期為f ( x2)1t 4f ( x)f (5.5)f (1.54)f (1.5)f (1.5)f ( 1.54)f (2.5)q 2 x時，xf (2.5)2.5f (5.5)2.53f (x)9.【解析】由題得 f x( x10011) -1 ，)x( x )1或x( x222解之得 x | 1x1417 或 117x 0 ，24.所以不等式的解集為 x | 1x117 或 117x 0 .24410. 【解析】（ 1）顯然 f (x) 的定義域是 r ，它關于原點對稱在f ( x y)f ( x)f ( y) 中，令 yx ，得 f (0