立體幾何-空間距離與角(高一)

1、空間距離與角空間角1、異面直線所成角2、斜線與平面所成的角 （1）求作法（即射影轉(zhuǎn)化法）：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足.（2）向量法：（3）兩個(gè)重要結(jié)論 最小角定理： 空間距離1、求距離的一般方法和步驟（1）找出或作出有關(guān)的距離；（2）證明它符合定義；（3）在平面圖形內(nèi)計(jì)算（通常是解三角形）2、求點(diǎn)到面的距離常用的兩種方法（1）等體積法構(gòu)造恰當(dāng)?shù)娜忮F；（2）向量法3、直線到平面的距離，兩個(gè)平行平面的距離通常都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解4、異面直線的距離定義：和兩異面直線都垂直相交且?jiàn)A在異面直線間的部分（公垂線段）題型一：點(diǎn)面距離方法一：利用定義作垂線，解三角形例1：在棱長(zhǎng)為1

2、的正方體中,點(diǎn)P在棱上，且=4,求點(diǎn)到平面的距離方法二：轉(zhuǎn)化成其它點(diǎn)到面的距離例2：在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，PC面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PBC的距離. 方法三：利用三棱錐等體積法例3: 點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA面ABCD，Q為線段AP的中點(diǎn)，AB3，BC4，PA2，求點(diǎn)P到面BQD的距離.練習(xí)題：1.如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（兩種方法求解） 題型二：線面角1.如圖，四棱錐的底面是正方形，且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成角的大小.2.如圖，平面，分別為的中點(diǎn)求與平面所成角的正弦值3.如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的

3、中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值。4.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱,底面為直角梯形，其中，. () 求異面直線與所成角；() 求與平面所成的角； ()求點(diǎn)到平面的距離.5.如圖，在正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（1）證明平面平面； （2）求直線和平面ABC所成的角。 題型三：二面角方法一：定義法 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面A

4、BCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB2，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.（）練習(xí)1.如圖，三棱錐P-ABC中，PB底面ABC，ACBC，PB=BC=AC，點(diǎn)E、F分別是PC、PA的中點(diǎn)（）求證：PC平面BEF；（）求二面角A-EB-F的大小 2.如圖，在三棱錐中，側(cè)面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且 ，另一個(gè)側(cè)面是正三角形. （1）求證：；（2）求二面角的大小；方法二補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的

5、交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例2：如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2.（）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的正弦值.（） 練習(xí)：四棱錐P-ABCD中，E是CD中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2.（）若底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.（）若底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60，求平面PAD和平面PBE 所成二面角（銳角）的大小.方法三、射影面積法（）凡二面角的

6、圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。例3：如圖，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.（）A1D1B1C1EDBCA方法四：三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。策略一：過(guò)其中一平面已知點(diǎn)A，作AB垂直另一平面，垂足為點(diǎn)B，再過(guò)點(diǎn)B作BC垂直公共棱于點(diǎn)C，連接AC，則為二面角的平面角.策略二：過(guò)其中一平面已知點(diǎn)A，作AB垂直另一平面，垂足為點(diǎn)B，再過(guò)點(diǎn)A作AC垂直公共棱于點(diǎn)C，連接BC，則為二面角的平面角例4.直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，求二面角的大小。練習(xí)1.如圖，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()證明：；（）求二面角AB。 2.直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，求二面角的大小。3.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，.（1）求與面所成角大??；（2）求二面角大?。?.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面